《2020届新高考高中数学核心知识点专题22.1 直线与圆锥曲线的位置关系（精讲精析篇）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届新高考高中数学核心知识点专题22.1 直线与圆锥曲线的位置关系（精讲精析篇）（解析版）（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题22.1 直线与圆锥曲线的位置关系（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2BxC0.记该一元二次方程根的判别式为，若0，则直线与椭圆相交；若0，则直线与椭圆相切；若0，则直线与椭圆相离(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系2直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或（2）弦中点问题，适用“点差法”.【典例1】（2018年全国卷文）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点线段的中点为（1）证明
2、：；（2）设为的右焦点，为上一点，且证明：【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（2）由题意得F（1，0）设，则由（1）及题设得，又点P在C上，所以，从而，于是同理所以故【典例2】（2019江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（1、0），F2（1，0）过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1已知DF1=（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c
3、=1.又因为DF1=，AF2x轴，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为.（2）解法一：由（1）知，椭圆C：，a=2，因为AF2x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=4.因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由，得，解得或.将代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.由，得，解得或.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.将代入，得.因此.解法二：由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+
4、EF2=2a，所以EF1=EB，从而BF1E=B.因为F2A=F2B，所以A=B，所以A=BF1E，从而EF1F2A.因为AF2x轴，所以EF1x轴.因为F1(-1，0)，由，得.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.因此.【总结提升】1.涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断（2）弦长、弦中点问题（3）轨迹问题（4）定值、最值及参数范围问题（5）存在性问题2常用思想方法和技巧有：（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系3. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或，求距离4.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关
5、系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率5解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题6.提醒：(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式热门考点02 直线与双曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即消去y，得ax2bxc0.(1)当a0
6、时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0直线与圆锥曲线C相离(2)当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合【典例3】（2019湖南高三月考（理）已知双曲线：的左右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】如图，由题可知，则，又，又，作，可得，则在，即，又，化简可得，同除以，得解得双曲线的离心率为【典例4】（2019湖南高
7、三期末）已知为坐标原点，双曲线上有两点满足，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】（1）当直线的斜率不存在时，由点到直线的距离为可知直线的方程为所以线段因为，根据等腰直角三角形及双曲线对称性可知，即双曲线中满足所以，化简可得同时除以 得，解得 因为，所以（2）当直线的斜率存在时，可设直线方程为 ，联立方程可得化简可得 设 则，因为点到直线的距离为则，化简可得又因为所以化简得即所以，双曲线中满足代入化简可得求得，即 因为，所以综上所述，双曲线的离心率为所以选A【总结提升】直线与双曲线位置关系的解题策略(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方
8、程，消元，得关于x或y的一元二次方程当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验(3)弦长公式：设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|x1x2|.热门考点03 直线与抛物线的位置关系（1）将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为.若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若 0 直线和抛物线相交，有两个交点；0直线和抛物线相切，有一个
9、公共点；0直线和抛物线相离，无公共点（2）直线与抛物线的相交弦设直线交抛物线于点两点，则=同理可得来源:Z*xx*k.Com这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：【典例5】（2019年高考全国卷理19）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|【答案】（1）；（2）.【解析】设直线（1）由题设得，故，由题设可得由，可得，则从而，得所以的方程为（2）由可得由，可得所以从而，故代入的方程得故【典例6】（浙江省宁波市2019届高三上期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线
10、交于.（1）求证：；（2）设，当时，求的面积的最小值.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】（1）显然斜率存在，设直线的方程，代入抛物线方程中，得，设，由韦达定理得到，直线的斜率为，易知切线方程，切线的方程，当时，联立求得：，故，. ，又当时，显然有.所以.（2）由，得，结合韦达定理，从而，又，由于在区间上为减函数，因此当有最小值.【总结提升】解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|xA|xB|p或|
11、AB|yA|yB|p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.热门考点04 弦长问题和中点弦问题处理中点弦问题的常用求解方法1处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：2解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意“如果点A，B关于直线l对称，则l垂直于直线AB且A，B的中点在直线l上”的应用【典例7】（2018浙江镇海中
12、学高三期末）已知从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，（）求椭圆C的方程；（）在椭圆C中，求以点为中点的弦MN所在的直线方程【答案】（）；（）.【解析】（）由题意知：，故，即，解得，又，解得， 故椭圆C的方程为； （）因为点在椭圆内，且显然直线MN的斜率存在， 故设直线MN的方程为，代入椭圆方程得故，解得， 故直线MN的方程为【典例8】（2018年全国卷文）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点线段的中点为（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且证明：【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（2）由题意得F（1，0）设，则由
13、（1）及题设得，又点P在C上，所以，从而，于是同理所以故【总结提升】1.处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足2.中点坐标公式一个作用是可以利用“设而不求”技巧解题，其二是可以将未知点坐标和已知点坐标联系起来；涉
14、及求范围问题，注意方程不等式思想的运用3.涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.巩固提升1（江西省新八校2019届高三第二次联考）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则为（ ）ABCD【答案】B【解析】设准线与轴交于点，作垂直于准线，垂足为.由，得：，由抛物线定义可知：，设直线的倾斜角为，由抛物线焦半径公式可得：，解得：，解得：，本题正确选项为B.2.（2019浙江高三期末）已知椭圆的离心率的取值范围为，直线交椭圆于点为坐标原点且，则椭圆长轴长的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】联立方程得，设，则，由，得，化简得，化简得，即椭圆的长轴长的取值范围为，故选C3.（2019
