中级宏观经济学(第5章)-拉姆齐模型ppt课件

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1、.,第五章 无限期界与代际交叠模型,第一节 拉姆齐问题,第二节 拉姆齐模型的动态分析,第三节 代际交叠中的两期寿命,第四节 戴蒙德模型的动态分析,.,引 言,索洛模型将储蓄看成是一种外生变量，并且模型对技术进步不予解释。拉姆齐-卡斯-库普曼模型（RamseyCassKoopmans ）与索洛模型的最大区别在于将经济总量的动态分析建立在微观层次上。在模型中，资本存量的变动是从竞争性市场中的家庭效用最大化和厂商利润最大化之间的相互作用中推导出来，这样，储蓄就不是外生的了。,附录拉姆齐模型概述,.,第一节 拉姆齐问题,模型假设条件,拉姆齐提出的问题是一个国家应当储蓄多少，并用模型去求解，此模型就是现

2、在研究资源的跨期最优配置的原型。模型假设条件如下： (1)存在着大量相同的厂商，每个厂商的生产函数为Y=F(K,AL)。厂商在竞争件要素市场上雇佣工人、租借资本，并在竞争性产出市场出售产品。与索洛模型相同，厂商将A取做给定的，A以g速率外生地增长。厂商以利润最大化为目标。由于企业由家庭所有，因此企业利润归于家庭。 (2)同样存在着大量相同的家庭。家庭的规模以n速率增长。家庭的每个成员在每个时点供给一单位的劳动。家庭将其拥有的资本租借给厂商。家庭拥有数量为K(0)H的初始资本其中K(0)是经济中的资本初始量，H为家庭数量。假设没有折旧。在每个时点上，家庭将其收入在消费与储蓄之间进行分配，以服从其

3、终生效用最大化的目标。,.,上式中，C(t)是在t时刻家庭每个成员的消费。U()是瞬时效用函数。L(t)是经济的总人口，L(t)H是每个家庭的成员人员。 是t时刻家庭的总瞬时效用。是贴现率， 越大，则家庭对未来消费的估价就越小。,第一节 拉姆齐问题,家庭效用函数,设家庭具有以下效用函数：,.,第一节 拉姆齐问题,家庭效用函数（续）,瞬时效用函数可以采取如下的形式：,这个函数形式表现了使经济收敛于平衡的增长路径。它就是著名的相对风险厌恶不的效用函数，这是因为该函数的相对风险厌恶系数(它被定义为 )是，它独立于C。,.,第一节 拉姆齐问题,家庭效用函数（续）,由于在这个模型中不存在不确定性，因此与

4、家庭的风险态度并不直接相关，其实也决定了家庭将消费在不同时期的转移意愿：越小，随着消费的上升，边际效用的下降速度越慢，导致家庭越愿意允许其消费随时间变动而变动。如果接近于零，这样，效用对于C来说几乎是线性的，这样家庭就更愿意接受大的消费变动，这样就可以充分利用贴现率与从储蓄中获得的报酬率之间的差额。,.,第一节 拉姆齐问题,厂商行为,厂商行为相对简单。在每个时点上，他们租用劳动与资本进行生产，并按这些要素各自的边际产品支付报酬，并出售所生产的产出。由于生产函数具有不变的规模报酬，经济是竞争性的，厂商因此获得正常利润。我们知道，资本的边际产品为 。由于市场是竞争性的，资本只能获得其边际产品。由于

5、不存在折旧，资本的真实报酬率等于其每单位时间的收入，因此，在t时刻，真实利率为：,.,第一节 拉姆齐问题,厂商行为（续）,劳动的边际产品为 ，它也等于 。根据上述生产函数的紧凑形式，它可写成 。因此在c时刻，真实工资是：,这样，每单位有效劳动的工资是：,.,第一节 拉姆齐问题,家庭行为预算约束,假设家庭对于r和w的路径给定，家庭的预算约束是其终生消费的贴现值不能超过其初始的财富与其终生劳动收入的现值之和。设每个家庭有L(t)H个成员，在t时刻其劳动总收人为W(t)L(t)H，其消费支出为C(t)L(t)H。在初姑时刻，家庭的初始财富是经济总初始财富的1H，或等于K(0)H。因此，家庭预算为：,

6、.,第一节 拉姆齐问题,在许多情况下，对式(5-6)进行求解是困难的。因此，我们可以用家庭的资本持有量的极限行为来表示其预算约束。为此，我们对式(5-6)整理如下：,我们可以写出从t0到t=的积分形式作为一种极限。这样，式(5-7)就等价于：,家庭行为预算约束（续）,.,第一节 拉姆齐问题,在s时刻，家庭资本持有量为：,上式中， 表示在s时刻家庭初始财富对其总财富的贡献。在t时刻，家庭的储蓄是 (可以是负值)； 则表明从t时刻到s时刻该储蓄值的变动状况。 式(5-9)表达式是 与式(5-8)的大括号中的表达式的乘积，预算约束写成下式：,家庭行为预算约束（续）,.,第一节 拉姆齐问题,式(510

7、)就是著名的非蓬齐博弈条件(No-Ponzi-game)。蓬齐博弈是指这样一种计划：一些人发行债券并永久性地滚动这些债务。也就是说，当发行人通过新债券获得借款时，他总能够用所获得的借款去支付旧债务。这样，这种计划就允许发行人拥有的终生消费现值超过其终生资源现值。从式(5-6)或式(5-10)中可以看出，这里的预算是排除这样一种计划的。,家庭行为预算约束（续）,附录非蓬齐条件,.,第一节 拉姆齐问题,理性家庭总是想在上述预算约束条件下将其终生效用最大化。定义c(t)为每单位有效劳动的消费，因此每个劳动力的消费C(t)等于A(t)c(t)。这样，家庭的瞬时效用等于：,把式(5-11)以及在前面已提

8、到的 代入目标函数式(5-1)和式(5-2)，得到：,家庭行为目标函数,.,第一节 拉姆齐问题,再来讨论式(5-6)的预算约束。在t时刻，家庭总消费C(t)L(t)H等于每单位有效劳动的消费乘以家庭的有效劳动数量A(t)L(t)H。同理，在t时刻家庭的总劳动收入等于每单位有效劳动的工资w(t)乘以A(t)L(t)H ，其初始资本持有量等于0时刻每单位有效劳动的资本量k(0)乘以A(t)L(t)H 。因此，可以把式(5-6)家庭预算约束改写成下式：,由于A(t)L(t)等于 ，将这一结果代入上式，同时两边除以 ，可以得到下式：,家庭行为目标函数（续）,.,第一节 拉姆齐问题,最后，由于K(s)与

9、k(s)e(n+g)s成比例，就可以把式(5-10)预算约束的非蓬齐博弈条件表达式改写成：,研究家庭的基本问题就是在式(5-14)的预算约束条件下，如何选择c(t)的路径去实现如式(5-12)所表示的终生效用最大化。由于消费的边际效用总是为正，家庭将以等式满足其预算约束。可以利用目标函数式(5-12)和预算约束式(5-14)来构造拉格朗日函数：,家庭行为目标函数（续）,.,第一节 拉姆齐问题,家庭行为效用最大化,在每个时点家庭选择c，这样就会形成无限多个c(t)。对每一单个c(t)，其一阶条件是对于任意的t：,家庭行为的特征实际上就是由式(5-17)和预算约束式(5-14)来刻画的。,.,第一

10、节 拉姆齐问题,为了理解式(5-17)对消费行为的含义，可以对这一公式展开进一步的分析。首先给公式两边取对数：,式(5-18)中利用了 的定义。注意到，对于每个t，式(5-18)两边相等，因此给两边求关于t的导数后也相等。这个条件就是：,这里利用了一个变量的对数关于时间的导数等于其增长率的概念。由式(5-19)可以求解出 ，从而得到：,式(5-20)利用了 的定义。,家庭行为效用最大化（续）,.,第一节 拉姆齐问题,由于C(t)(指每个工人的消费，而不是每单位有效劳动的消费)等于c(t)A(t)，因此C的增长率等于c的增长率加上A的增长率。从式(5-20)中可以看出，式中隐含着每个工人的消费以

11、r(t)-的速率增长。因此，式(5-20)表明：如果实际报酬超过了家庭用于贴现未来消费的速率，每个工人的消费将上升。如果相反的情况出现，则每个工人的消费将下降。越小，随着消费的变化，其边际效用的变化就越少，从而为对实际利率与贴现率之间的差异作出反应，消费变动就越大。,家庭行为效用最大化（续）,.,第一节 拉姆齐问题,方程(5-20)是求解这类最大化问题的著名的欧拉方程(Euler equation)，也就是连续时间的随机形式(continuous-stochastic version)。这一方程描述了在任何最优路径上都必须被满足的必要条件，因此这一条件也叫作凯思斯一拉姆齐规则(Keynes R

12、amsey rule or condition)。直觉上，欧拉方程描述了结定c(0)时，c必须随时间变化而变化。如果c不按照式(5-20)演化，那么家庭就会在不改变终生费用现值的条件下，用提高终生效用的方式重新安排其消费。这样，c(0)的选择就由如下条件决定：在所形成的路径上，终生消费的现值等于初始财富与未来收入的现值之和。当c(0)被选择得太低，沿满足式(5-20)路径上的消费支出并不会用尽其终生财富，因此，较高的路径是可能的。当c(0)确定得太高，消费支出大于其可用尽的终生财富，这种路径反而成为不可行。,家庭行为效用最大化（续）,.,第一节 拉姆齐问题,家庭行为效用最大化（续）,.,第二节

13、 拉姆齐模型的动态分析,C的动态变化,假定全部家庭相同，因此式(5-20)中所描述的c的演化不仅适合单个家庭，也适合扩整个经济。 由于 ，可以把式(520)改写成：,.,第二节 拉姆齐模型的动态分析,图5-1 c的动态变化,C的动态变化（图示）,.,第二节 拉姆齐模型的动态分析,k的动态变化,与索洛模型一样， 等于实际投资减去持平投资。由于假设不存在折旧，持平投资就是(n十g)k。实际投资是产出减去消费，即f(k)-c。因此就有：,对于既定的k， 的c的水平是由f(k)-(n十g)k给出的。当消费等于实际产出与持平投资线的差额时， 等于零。c这个值关于k是递增的，一直可以增至 (即A的黄金律水

14、平)，接着c关于k则会下降。当c超过或获得 的水平时，k开始下降；当c小于该水平时，k则上升。对于充分大的k，持平投资超过总产出，在此条件下，对于一切c的正值， 是负的。这些信息归纳在图5-2中，箭头表明了k的运动方向。,.,第二节 拉姆齐模型的动态分析,图5-2 k的动态变化,k的动态变化（图示）,.,可以把图5-1和图5-2的信息结合在图5-3中，箭头表明了c与k的运动方向。在 轨迹的左边与 轨迹的上方， 为正， 为负。因为如果c在上升，k则下降，因而箭头指向上方与左边。图的其他部分的箭头依据同样的推理推出。在 与 曲线上c与k中只有其中一个正在变化。例如，在处在 的轨迹上，同时又处在 轨

15、迹上方c不变，而k下降，这样，箭头就指向左方。最后，在E点处 与 等于零，在这里不存在由这点开始的变动。,第二节 拉姆齐模型的动态分析,图5-3 c和k同时运行的动态变化,C和k的动态变化,.,第二节 拉姆齐模型的动态分析,考虑到索洛模型，自然要提出的重要的问题是，这种经济的均衡是否代表着一个可期望的结果。微观经济学和第一福利定理告诉我们，如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，那么分散化的均衡是帕累托最优的，也就是说，在不使其他人不恶化的条件下，使任何人得到改善是不可能的。由于第一福利定理在上述模型中成立，均衡就可视为是帕累托有效的。并且，由于所有家庭拥有相同的效用，意味着分散化均衡在对所有

16、家庭采用相同方式的配置中会产生最高的可能效用。,均衡的实现,.,第二节 拉姆齐模型的动态分析,为了更清楚地理解这点，假设存在下面这种情况：一个社会计划者可对每个时点的产出在消费和投资之间进行分配，并且其目标也想使代表性家庭的终生效用最大化。除了不把w与r的路径取为固定外，计划者考虑的问题都由k的路径决定，反过来后者则由式(5-22)决定。这个问题等同于单个家庭所面临的问题。 式(5-20)和式(5-21)的连续时刻消费同样适用于社会计划者。在t时减少数量为c的c，并把该收入进行投资，这便可允许计划者在t+ t时刻将c增加 。因此，沿着由计划者选择的路径，c(k)必须满足式(5-21)。最后，像家庭的最优化问题一样，那些要求资本存量为负的路径必定会以它们不可行的理由被排除，并且那些引致消费倾向于零的路径也会以它们无法使家庭效用最大化而被排除在外。,均衡的实现（续）,.,第二节 拉姆齐模型的动态分析,资本积累的黄金律水平,索洛模型与拉姆齐-卡斯-库普曼