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1、第三章 线性方程组,3.1 消元法,引例 用消元法解下列线性方程,通常把过程 称为消元过程，矩阵是行阶梯形 矩阵，与之对应的方程组则称为行阶梯形方程组。,消元过程就是对方程组重复三种变换：,1）变换某两个方程的位置；,2）用一个非零的数乘某一个方程的两边；,3）将一个方程的倍数加到另一个方程上去。,这三种变换称为线性方程组的初等变换。,消元法的过程就是用初等变换将方程组化为阶梯形方程 组的过程，也就是将对应矩阵化为行阶梯形矩阵的过程。,消元过程不唯一，阶梯形方程组也不唯一。,注意：, 称为回代过程。,从上面的例子可得到如下启示：,用消元法解三元线性方程组的过程，相当于对该方程 组的系数与右端的
2、常数项按对应的位置构成的矩阵作 初等行变换。,那么对一般的线性方程组是否有同样的结论呢？ 答案是肯定的！,设有线性方程组,其矩阵形式：,其中,称为非齐次的。,定理 设A=(aij)mn，n元齐次线性方程组Ax=0有非零 解的充要条件是系数矩阵r(A)n。,例,自由未知量,非自由未知量,证明,定理 设A=(aij)mn，n元非齐次线性方程组Ax=b有解 的充要条件是r(A)=r()。,例,总结如下：,线性方程组的求解方法：,1）对齐次线性方程组，将系数矩阵化为行最简形矩阵， 便可直接写出其全部解；,2）对非齐次线性方程组，将增广矩阵化为行阶梯形， 便可直接判断其是否有解，若有解，化为行最简形， 便可直接写出其全部解。其中要注意，当r(A)=r()=sn 时，的行阶梯形含有s个非零行，把这s行的第一个非 零元对应的未知量作为非自由未知量，其余的n-s个作为 非自由未知量。,例 解线性方程组,小 结,线性方程组的求解方法,作 业,P96页 习题31 3.(3) 6.(3) 8.(3),
