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1、随机过程的定义 随机过程的分类 随机过程的概率分布 随机过程的数字特征 随机过程的特征函数 复随机过程,3 随机过程的基本概念,例1 贝努里序列。掷一枚硬币，记出现正面为1，出现反面为0。每一次掷的结果是一个随机变量，第i次结果的随机变量记为Xi，由概率论知，其概率分布为,如果无限多次的抛一枚硬币，各次的结果随着抛的次数（时间）是随机变化的，即表示每次试验结果的随机变量是随次数变化的，所有这些结果就形成了一个随机过程，可用一族随机变量Xi表示。,3.1 随机过程的定义,例2 电话问题。当t(t0)固定时，电话交换站在0，t时间内接到的呼唤次数是个随机变量，它可以取非负整数值0，1，2，。如果t
2、 从0变到， t 时刻前接收到的呼唤次数就需要用一族随机变量表示，是一个随机过程。,做一次试验，可得到一条表示t 时刻前接收到的呼唤次数的非降阶梯曲线（样本函数）。各次试验所得的曲线是随机的。所有这些样本函数组成一随机过程。,3.1 随机过程的定义,定义1 设(,P)是一个概率空间，T是一个实数集。X(t,)（t T, )是定义在T和上的二元函数。若对于任意固定的t T， X(t,)是(,P)上的随机变量，则称随机变量族X(t,),t T, 是(,P)上的随机过程。 t 称为参数，T 称为参数集。 把随机过程X(t,)在t 时刻的取值称为该随机过程在t 时刻所处的状态；一个随机过程所有状态构成
3、的集合称为状态空间（或值域），记为 。,3.1 随机过程的定义,定义2 设(,P)是一个概率空间，T是一个实数集。X(t,)（t T, )是定义在T和上的二元函数。若对于任意固定的 ，总有一个t 的函数X(t,)（t T）与之对应,对于所有的 ，就得到一族确知的t的函数，则称这一族 t 的函数的集合X(t,),t T, 是(,P)上的随机过程。 其中，每一个函数称为样本函数，或该随机过程的一个实现。,3.1 随机过程的定义,随机过程X(t,)（t T, )在不同情况下的含义： （1）当t 和都是变量时，是一个时间函数族，或依赖与t 的随机变量族； （2）当t 是变量、固定时，是一个确定的时间函
4、数（样本函数）； （3）当t固定、是变量时，是一个随机变量； （4）当t 和固定时，是一个确定的值。 为简便起见，书写时常省略随机因素，将随机过程X(t,)（t T, )简记为X(t)（t T）。,3.1 随机过程的定义,随机变量 随机试验结果实数,随机过程：随机变量实数 随机试验结果时间函数,函数、随机变量、随机过程有何不同？,函数：实数实数,3.1 随机过程的定义,例：随机相位正弦波 ，其中a,为常数， 是在（0,2)内服从均匀分布的随机变量。 对于每一个固定的t=ti , 是一个随机变量； 若在（0,2)内随机地取一个数=i，就有 ，表示一个样本函数； 若t和均给定时，取t=ti, =i
5、，有 ，是一个实数。,3.1 随机过程的定义,1、按参数集和状态空间是连续还是离散取值分类： （1）若参数T是可数有限集，即T=tk, k=0, 1, 2, , n，称为有限随机变量序列；若参数T是可数无限集，即T=tk, k=0, 1, 2, 或T=tk, k= , 0, 1, 2, ，称为无限随机变量序列；统称离散时间随机过程，简称随机序列。 若参数T是不可数有限集，即T=t, at b或 T=t, t t0 ,或者若参数T是不可数无限集，即T=-t+ ,或 T=0 t+ ； 称为连续时间随机过程。 （2）若随机过程X(t)在任意时刻的状态X(ti)是离散型的，称为离散型随机过程；若X(t
6、i)是连续型的，称为连续型随机过程。,3.2 随机过程的分类,按参数集和状态空间是连续还是离散可分为四类：,（3）参数连续、状态离散的随机过程。如计数过程；电话呼叫次数， T=0，), E=0,1,2,3,。 （4）参数连续、状态连续的随机过程。如，热噪声电压， T=0，), E=-，+。,（1）参数离散、状态离散的随机过程，或离散随机序列。如，伯努利过程；例1，T=1,2,3, E=0,1。 （2）参数离散、状态连续的随机过程，或（连续）随机序列。如，数字信号；每隔一定时间对随机噪声进行采样， T=,-2t,-1t,0,1t,2t, E=-，+ 。,3.2 随机过程的分类,2、按随机过程概率
7、分布规律可分为： 独立过程、独立增量过程、高斯过程、泊松过程、维纳过程、马尔可夫过程、瑞利过程、平稳过程，等等。 3、按随机过程统计平稳特性可分为： 严平稳过程、宽平稳过程、周期平稳过程、非严平稳过程，等。 4、按随机过程的遍历特性可分为： 遍历过程、非遍历过程。 5、按随机过程的功率谱特性可分为： 宽带过程、窄带过程，等。,3.2 随机过程的分类,概率分布函数（概率分布函数和密度函数） 数字特征函数 与随机变量之区别?,随机过程的统计描述,1、一维分布函数 设X(t), t T是一随机过程，对于任意一固定的 t T，X(t)是个随机变量，其分布函数 称为随机过程X(t), t T的一维分布函
8、数。,如果存在 或 称f(x, t)为随机过程X(t), t T的一维概率密度函数。,3.3 随机过程的概率分布（概率分布函数和密度函数）,2、二维分布函数 设X(t), t T是一随机过程，对于任意二个固定的t 1, t2T，X(t1), X(t2)是一个二维随机变量，其联合分布函数 称为随机过程X(t), t T的二维分布函数。 如果存在 或 称f(x1, x2, t1, t2)为随机过程X(t), t T的二维概率密度函数。,3.3 随机过程的概率分布,2、二维分布函数 显然，一维概率分布可以看成是二维概率分布的边缘分布，有下列关系：,一维分布与二维分布的关系,3.3 随机过程的概率分布
9、,3、n 维分布函数 设X(t), t T是一随机过程，对于任意n个时刻的t 1, t2,，tn T，X(t1), X(t2), , X(tn)组成n维随机变量，其联合分布函数 称为随机过程X(t), t T的n维分布函数。 如果存在,3.3 随机过程的概率分布,3、n 维分布函数 或 称 f(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn )为随机过程X(t), t T的n维概率密度函数。,3.3 随机过程的概率分布,4、有限维分布函数族 随机过程X(t), t T的一维分布函数、二维分布函数、n维分布函数等的全体 称为随机过程X(t), t T的有限维分布函数族。 同样地，概率密度的
10、全体 称为随机过程X(t), t T的有限维概率密度族。 它们描绘了随机过程的概率分布。,3.3 随机过程的概率分布,5、n+m 维联合分布函数 设X(t), t T和Y(t), t T是二个随机过程，称X(t), Y(t)T, t T为二维随机过程。对于任意的t i T, tjT，i=1,2,n, j=1,2,m, 把n+m 维随机变量X(t1), X(t2), ,X(tn), Y(t1 ), Y(t2 ) , , Y(tn ) 的联合分布函数 称为二维随机过程X(t), Y(t)T, t T的 n+m维联合分布函数。,3.3 随机过程的概率分布,5、n+m 维联合分布函数 若存在 或 称
11、fXY(x1, ,xn; y1, ,ym; t1, , tn; t 1, , t m)为随机过程X(t), t T和Y(t), t T的n+m维联合概率密度。,3.3 随机过程的概率分布,6、分布函数的性质 （1）对称性。 对于（1, 2, , n)的任意一种排列（j1, j2, , jn)，有 事实上，,3.3 随机过程的概率分布,6、分布函数的性质 （2）相容性。 对于任意整数mn,有,3.3 随机过程的概率分布,6、 分布函数的性质 （3）存在性定理（Kolmogorov)。 若分布函数族 满足对称性和相容性，则必存在一个随机过程X(t), t T，使得 恰好是X(t), t T的有限维
12、分布函数族，即,3.3 随机过程的概率分布,6、分布函数的性质 （4）独立性（充要条件） 。 对于随机过程X(t), t T，若X(t1)、 X(t2)、 X(tn)统计独立，则有,3.3 随机过程的概率分布,6、分布函数的性质 （4）独立性（充要条件）。 如果随机过程X(t), t T和Y(t), t T相互独立，则有,3.3 随机过程的概率分布,例1：贝努里随机序列X(n) , n =1, 2, .在t=n时刻，事件发生，X(n) =1；在t=n时刻，事件不发生，X(n) =0. 已知PX(n) =1=p, PX(n) =0=1-p=q, 计算该随机序列的一维、二维概率分布和密度函数。 解
13、： X(n) 分布率,p+q=1,3.3 随机过程的概率分布,一维概率分布函数,按照定义，有 其中，U(x)是单位阶跃函数， 一维概率密度函数为 其中，(x)为单位冲激函数。,3.3 随机过程的概率分布,二维概率分布函数,按照定义，有 二维概率密度函数为 其中，U(x,y)= U(x) U(y), 是二维单位阶跃函数， (x ,y)= (x) (y)为二维单位冲激函数。,X(n1)与X(n2)统计独立,3.3 随机过程的概率分布,例2：脉冲位置调制信号。通信系统每隔T秒输出一个脉冲宽度为T/6，幅度为A的脉冲。脉冲开始时间为X，在0, 5T/6上均匀分布。第i个脉冲开始时间为Xi，i=1,2,
14、，且相互独立。求该脉冲位置调制信号Y(t)的 一维概率密度函数。 解：一个样本函数,X1,T/6,X2,2T,3.3 随机过程的概率分布,例2：考虑第一个周期t0,T 由于信号只取A或0，概率密度可表示为 0tT/6, T/6 t 5T/6 , 5T/6 t T 0 x t, t-T/6 x t, t-T/6 x 5T/6,3.3 随机过程的概率分布,例2： X在0, 5T/6上均匀分布:,3.3 随机过程的概率分布,（用随机变量和随机向量的数字特征定义） 1、数学期望（均值函数） 随机过程X(t), t T的数学期望定义为 若X(t), t T的状态空间是连续的，一维概率密度为f(x, t)
15、,则 若X(t), t T的状态空间是离散的，则 均值函数表示X(t)的所有样本函数在时刻t的平均值。,3.4 随机过程的数字特征,2、方差函数 随机过程X(t), t T的方差函数定义为 若X(t), t T的状态空间是连续的，一维概率密度为f(x, t),则 若X(t), t T的状态空间是离散的，则 随机过程X(t), t T的均方差函数（标准差函数）定义为,3.4 随机过程的数字特征,2、方差函数 方差函数描述了随机过程X(t), t T的诸样本函数在各个时刻对其均值的偏离程度。,3.4 随机过程的数字特征,3、相关函数和协方差函数 随机过程的均值函数和方差函数仅描述了各个孤立时刻状态
16、的数字特征，不能反映两个不同时刻状态之间的联系。,3.4 随机过程的数字特征,3、相关函数和协方差函数 定义随机过程X(t), t T的自相关函数为 定义随机过程X(t), t T的自协方差函数为,（二阶混合原点矩）,（二阶混合中心矩）,3.4 随机过程的数字特征,3、相关函数和协方差函数 相关函数反映了任意两个时刻状态之间的相关程度；协方差函数反映了任意两个时刻状态相对于均值的起伏之间的相关程度。两者之间的关系： 当 当t1=t2=t时，,协方差函数与相关函数一致,相关函数与均方值一致,协方差函数与方差一致,3.4 随机过程的数字特征,4、相关系数 协方差函数反映了同一随机过程任意两个时刻状态相对于均值的起伏值
