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1、.,第四节 多元复合函数求导法则,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,.,一、链式法则,定理,且其导数可用下列公式计算,一元复合函数,求导法则,.,证,t0 时, 取“”号,.,例1 设 而,其中 可导,求,解,.,1.上定理的结论可推广到,以上公式中的导数 称为全导数.,推广,中间变量多于两个的情况:,.,的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:,则复合函数,在对应点,2.上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况:,.,复合结构如图示,链式法则的规律:,“连线相乘,分线相加”,.,解,.,在对应点,的两个偏导数存在,且可用下列公式计算,链式法则的规律:,“连
2、线相乘,分线相加”,设,.,即,其中,两者的区别,区别类似,3.中间变量即有一元函数,也有多元函数的情况:,.,解,.,解,令,记,.,于是,.,全微分形式不变性的实质: 无论z是自变量x,y的函数或中间变量u,v 的函数,它的全微分形式是一样的.,二、全微分形式不变性,.,.,例5 设 而,求,解,比较,.,1、链式法则(连线相乘,分线相加),2、全微分形式不变性,(特别注意特殊情况:函数的复合结构的层次),小结,.,思考题,设,,而,试问,与,是否相同?为什么?,.,等式左端的z是作为一个自变量x的函数,,写出来为,不相同.,.,作 业,p.30 习题8-4,2; 4; 5; 8; 9; 11; 12.(1);(3).,