粘弹性半空间内负载沿梁的运动

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1、Eur. J. Mech. A/Solids 19 (2000) 3613712000年 ditions科学等医学Elsevier公司的SAS。保留所有权。S0997-7538(99)00148-5/FLA粘弹性半空间内负载沿梁的运动Alexei V. Kononov *, Rogier A.M. Wolfert代尔夫特理工大学土木工程学院,Stevinweg 12628 CN 代尔夫特,荷兰(1998.11.4 收录; 1999.7.5 修改)摘 要：粘弹性半空间等效的基础与欧拉-伯努利梁相互作用的表达式已推导出来。结果显示：等效粘弹性基础取决于梁上波动的频率和波数。等效基础真实和虚构的部分

2、与瑞利波和剪切波速度之间的相位差有本质的不同。比此间隔的一些速率还大的速率会发生弹性波的辐射。对于不同的速率，可以计算出由均匀移动恒定负载产生的稳态梁位移。负载之下的最大位移发生于瑞利波速率法则的速率。2000年ditions科学等医学Elsevier公司的SAS关键词：粘弹性半空间/欧拉伯努利梁/均匀移动恒定负载/临界速度1.引言在过去的几十年，随着在铁轨现有系统高速列车的快速部署，很多理论和实际工作致力于与轨道接触火车的动力学，并且路堤基底也已经出现。特别是, 列车振动本质扩大的问题已经由不同的作者研究。更早进行的研究是1961年由Filipov进行的。他分析了粘弹性半空间的欧拉-伯努利梁

3、上匀速移动载荷的问题，该空间相当于的火车、铁轨与地基相互作用的模型。结果表明，当火车运动的速度与瑞丽波的速率相等时，火车震动变得无限强烈。之后，Labra于1975年将铁轨轴向压力考虑进去，使这些结果得以延伸。在这两人的论文中，载荷速度的考虑范围取决于瑞利波的速率，同时梁位移也没有派生。因此,不久前在1996年、1997年，Dieterman和Metrikine的论文中这个模型得到了全面的研究。本文假设底层半空间也拥有粘性(或内摩擦)属性。这样一个改进的模型是由物理和实际两方面描述的。因为实际中任何过程总是伴随着能量耗散,这种性质应该被考虑。因此,本文研究了沿着处于粘弹性半空间的欧拉-伯努利梁

4、的一个定载荷的运动。本研究的目的是定性的分析半空间响应相关的内摩擦对动载的效应,该处的半空间响应是E-B梁的相互作用。在这个关键上, Dieterman和Metrikine在1996年、1997年得到的结果可被解释为粘性参数倾向于零时的限制。作为一种研究方法,随时间变化的指数傅里叶变换和空间坐标被用来获得一个表达式，此式作为一个相对荷载速度的函数是对与E-B梁相互作用之粘弹性半空间的等效基础而言的。该式是使用围道积分的方法推导而来的。由于很多铁路工程师模拟了作为Winkler地基梁的被支撑铁轨，等效粘弹性基础才得以被详加研究。该结果一个额外的好处就是可用在车-轨-基相互作用更广范围的模型上。另

5、外，不同的荷载速度可以计算出沿着在此等效粘弹性基上的梁的荷载运动稳态位移。最后,对负载产生的位移还进行的分析。2.傅氏域的模型和通解沿着静止在粘弹性半空间内宽2b的E-B梁的恒定载荷的匀速运动如图1。作为该模型一个视觉例子，我们可以使用一个例子,比如一个大质量（火车头）在土层之上的混凝土板式轨道上运动。该处假定在梁和半空间之间的接触式连续光滑的,这样接触面的剪应力 、 为零。此外,它假定xzy梁和半空间的正常应力一致分布在梁和半空间的宽度上,还假定位移沿梁的中心线等效。对于粘弹性连续介质，所谓的沃伊特固体(Kolsky,1963)被使用。这里可能会注意到，这个假设是对模型适用性的限制,但另一方

6、面,模型变得对分析研究更容易理解。该问题的控制方程为：其中,u=iux +juy +kuz (i,j,k是基向量), ， ， 是粘弹性半空间=i/x+jyk/z=+/t=+/t、的Lam常量， 是粘性参数， 是半空间质量密度， 梁的垂直、(x,t)U位移。m和EI分别是梁的单位长度质量和抗弯刚度,P是恒定负载,V是负载速度,是Dirac函数， 是 Heaviside阶梯函数。():()H:式(1)的解如下：u= a （4）+其中，标量势 (x,y,z,t)、矢量势a(x,y,z,t)可以满足所谓的约束条件a=0(见(Achenbach, 1993)。式(4)代入式(1)得下列方程：:其中， 、

7、 分别是纵波和横波的速度，c=(2)/Lc/T、 是粘性系数( 这里假设 )。/T(2)T应用下面随时间变化的傅里叶变换和平面空间坐标：图 1. 模型与参考系代入到式(2)、(3)、(5)，得以下傅氏域内的方程组：半空间运动：约束条件：以z=0的边界条件：协调条件：另外:表示了自由E-B梁的竖向振动的色散关系。式(6)的通解解释了对于较大的正值z适当的行为，表示如下：其中：将上式代入(7)、(8)式的下列线性代数方程：(11)式的解如下：其中：为了满足相容性条件,半空间位移z轴分量的傅立叶图像应该被推导出来。这样有：将上面的(13)式代入协调条件(9)得到：其中：为了能推导，方便的方法是将式(

8、14)改写如下：方程(15)描述了受到与均匀移动定载荷作用的粘弹性半空间相互作用的E-B梁的振动。为了确定 的物理意义，描述沿着傅氏域内弹性1(,)kWinkler基上的E-B梁的定载荷的运动方程在此文中用术语描述如下：其中， 指弹性基的Winkler常量(例如,见(Duffy Dean,1990)或0(Dieterman和Metrikine,1996)。因此，很明显 可以理解为某种等1(,)k效的粘弹性基，这种粘弹性基处于无限E-B梁所伴随的额外运动所处的粘弹性半空间的傅氏域之中。在垂直梁位移的最终结果被算出之前，等效粘弹性基表达式(16)要先被详加分析。3.等效粘弹性基的求解为了说明由梁中

9、波的相位速率决定的等效粘弹性基，式(15)的积分应该写成：引进一个新的变量 和参数 、 ，其中， 是x,y方向波数量的比TL率，记 ， 和 分别是x方向相速和半空间纵横波速之间的比21(/)kTL率，记 ，这样积分J得到如下的傅里叶积分形式：,/)phphvvc其中：另外，应该记住的是 。21(,)=-/TkcJ将积分 降为对数值计算有用的形式的一种有效方法是围道积分。这J样，式(17)中的被积函数映射到一个复杂的s平面。该被积函数包含自由基和 ，故此应该找分叉点和被其诱发的切口。求解 包含了*LRT *,()0LTRs分叉点，结果如下：假定k1 0，从而 位于复杂s平面的一、三象限。此外，适

10、当的切口,LT应该在积分路径都符合必要条件： 0和 0。为了满足上述*Re()L*e()TR两个条件，切口须沿着满足下述条件的曲线：以及自由基参数 。2*,()1/(1)LTLTsi将 代入此参数并利用(18)式，就可以发现分叉切口的下述参sit数表示：其中：通过选择顺着图2所示分叉切口的 的标志来保持在复*,Re()LT *,Im()LTR杂s平面正向。复杂s平面的其它奇异点都是极点，(17)式被积函数的分母等于0时才会发生，并导致极点的 及 可通过求解 而得具体0s1,2*0(=s值最后,等值线接近图2所示的上半面。图2 奇异点和积分的等值线这样，方可算出式(17)中的积分J。由于顺着分叉

11、点周围的大半圆等值线 和循环的等值线是随着它们的半径而减小至消失，因此下式0()Cs是有依据的：其中， 是式(17)的被积函数， 沿着分叉切口的积分。 参数()f:,LTI ,LTI化得到的最终形式为：其中：依据式(19)，(17)式的积分通过给出如下等效粘弹性基表达式而被细化：利用式(20), 结果如图3,其参数设置: ，()T0.31/.9LTvc。由数据可得以下结论：10.7bk(1)等效粘弹性基取决于梁中波的频率和波数，且当 时它Rphv会有本质的改变( 是零粘性参数下稳定的Rayleigh波速)。Rc(2)等效粘弹性基的实部有个局部最小值 ( )。当*T*/1RTc粘性参数趋于0时，

12、该最值变成 ，成为0。*/TRc(3)与完全弹性半空间矛盾的是，这里的等效粘弹性基总有个不为0的虚部 。()T(4)当 ，此时耗能过程是半空间和弹性波辐射中的粘滞损失导*T致的，故此等效粘弹性基的虚部显著增加。图3. 的等效粘弹性基 ;(a) ,(b)/TphTvc0.3,.1LT0.9,.3LT4.临界速度及梁的位移此处，我们用前面得到的等效粘弹性基的结果来计算垂直稳态梁位移。该位移是用来研究载荷的临界速度的。本文中临界速度指的是梁位移在有负载速度功能的负载下所具有的速度有一个最大值。为了得到梁位移，以下的傅里叶映像(见式(15)应该被反积：得到：为了求得该积分的数值解，应该改写上式，为此，

13、可用如下的函数的对称关系：如果将 (见式(20)的表即可达式推演得到上边这些关系，其中假设k1 0。值得注意的是，这样的话等值线会近似于复杂s域的下半部分。 的性质也可物理化。自等效粘弹性基(动态响应函数)作为时空域中的真值函数以来，众所周知的是它的傅里叶映像都有式(22)一样的对称性(Landau和Lifshitz,1975)。由(22)式，可将(21)式改写成：其中：这里 ， ， ， ， 。式=/PEI2/TmcI/TVc21/EIxVt(23)(24)分别描述了对于装载点梁位移的对称与非对称部分。最后，梁位移的计算被推导并呈现在图4上，(a)(d)对应了四种不同相对负载速率(其它所有参数

14、都是定值， 和 )。0.928RTc:*0.97Tc:在图4(a)中，描述了准静态的情况。所谓的本征场即是随负载运动。该场由于粘性损失而稍微不对称( )。随着增加负载速率，负载下Im(的位移逐渐增大。如果负载速率是具有 的性质，则对于准静态情况而言Rc负载下的位移会显著增大，见图4(b)。 的反应显示，两种情况下的弹性波都不会产生辐射。图4(c)中 ，可以看到波依赖于负载而产生辐射。这很容易*(1)T理解，是由于 的切线显著增加(见图3)。主波(Dbefore负载)波长要Im比尾波(Dbehind负载)的小很多。由于尾波、主波的不同振幅，波场也是相当的不对称。辐射仅仅导致波沿表面移动。对于 波

15、不仅沿着表面辐射1还还会进入粘弹性半空间以至于辐射变得更强，如图4所示。从图4(a)-(d)中，易知负载下的梁位移依据负载速率而不同。因此，有趣的是寻找使该位移为最大值的速率。图5中显示了与 相对的负载 下的梁位移绝对值，其中 是三套粘性PU参数 所对应的相对负载速率。分析该图,可得以下结论:()LT(1)对于一个比 略小的速度即对于所有相对较小的粘性参数Rc，负载下的最大位移才会产生。随着粘性,0.10.97ritalRVc:参数的增大，最大位移转向更小的速率，但同时最大值的相对值显著增加(显然，在这些情况下,术语“临界速度 变得毫无意义 )。(2)负载下的最大位移对于所有负载速率任然是有限的。应该指出的是，负载下的位移不总是等于梁最大位移的(例如图4(c)-(d)图4.梁位移(a) (b) (c) (d)0.2.90.81.5图5.不同粘弹性参数下 对应的载荷下的梁位移5. 结论本文分析了沿着粘弹性半空间上欧拉-伯努利梁的恒定载荷的均匀运动。首先，导出等效粘弹性基。该等效基由两部分组成，实部描述半空间的弹性特性，而虚部描述了由弹性波的内摩擦和辐射导致的能量损失。结果显示，实部、虚部都严重依赖于梁内波的频率和波数，其中该梁是伴随着Rayleigh波、剪切波速率间相速度的。另外，实部在此间隔内对某些速