《第3讲 8-9节同态与同构》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3讲 8-9节同态与同构（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第8-9节 同态 同构,对于带有运算的集合来说，集合是一盘散沙，运算把沙子结合成有机的整体，所以运算是其灵魂，所有研究的内容要和运算建立良好的和谐关系。 本节主要研究、比较两个带有运算的集合之间的关系。首先当然要用反映集合之间关系的映射，并且我们感兴趣的是与两个运算有很好的和谐关系的映射。只有这样的映射才能很好反映它们之间的关系和运算性质。 所谓和谐指的是什么？,定义 如果对于两个代数系统,和,，存在映射,满足,称,是 同态映射.,和,同态，,简称,A与,同态，记为,代数系统（体系）：非空集合连同上面定义的代数运算,例1,，运算均为通常意义的数的乘法。,不是同态映射；,是同态映射，但不是满射
2、；,是同态映射，且是同态满射.,例2,为全体方阵的集合，运算为矩阵乘法,运算为数的乘法,证明：显然，因为每个方阵都有唯一的行列式，这 是一个映射，又,而且，,所以它是同态满射。,研究两个带有代数运算的集合的性质，利用同态映射还是远远不够的。为此我们先研究同态满射。,假设对于代数运算 和 来说，有一个 到 满射的同态映射存在，我们就说这个映射是一个同态满射。并说对于代数运算 和 来说， 与 同态。,同态满射，可以反映两个代数体系的运算之间的许多联系。,定理1,如果,和,同态，那么,(1)若,满足结合律 ，则,也满足结合律 ；,(2)若,满足交换律 ，则,也满足交换律 .,证明：,于是由同态满射有
3、,【证明思路】,满射,存在,同态,逆用同态映射,任取 。,定理2,设,和,都是代数系统,而映射,关于,以及,都是同态满射，,满足第一分配律,也满足第一分配律；,那么,（1）若,满足第二分配律,也满足第二分配律.,（2）若,思考?,代数性质（结合律、交换律及分配律）“传递”,中，那么(注意：满射的条件是如何起作用的),到,定义,是个一一映射，那么称,是同构映射.,.,例3 设,通常的加法“+”，现作,那么,是同构映射.,都是整数中,例4,分析：令,例5设,为数域，,证明：,是同构的。,为矩阵的加法）,（其中+为数组间的加法，,分析：令,性质：,设,是,到,的同构映射。则,的逆映射是 到 的同构映
4、射。,证明：,的逆映射,任取,定理3,如果,和,同构，那么,(1),满足结合律,也满足结合律 ；,(2),满足交换律,也满足交换律 ；,(3),满足分配律,也满足分配律 .,注意：由上述表明，同构的两个代数体系运算 所带来的规律性是相同的，抽象的看，它们仅 为元素和运算命名上的不同，而本质是一样的。,代数性质：一个代数体系经同构映射而保持不变的性质。,研究代数体系的首要目的,就是确定所有互不同构的代数体系以 及它们的代数结构。,而为了确定一个代数体系的代数结构， 只须让它与一个代数结构已经清楚的代数 体系同构则可。,因此：同构的代数体系由于完全相同的代数结构。,对于与来说的一个A与A间的同构映射，叫做一个关于的A的自同构。,例5 A=1，2，3.代数运算由下表给定:,1 2 3,1 2 3,3 3 3 3 3 3 3 3,求关于此运算的A的自同构,定义,两个代数体系如果同构，它们之间的同构映射,注：,不一定唯一.,A的全部一一变换有6个,因此，只有,课堂练习：,设,证明：,不同构.,证明：（反证法）如果,设,0不在N中，矛盾。,不同构.,练习：,证明：,（1）,不同构（普通乘法）.,（2）,不同构.,（3）,不同构.,（其中,为非零有理数集）.,
