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1、,第8-9节 同态 同构,对于带有运算的集合来说,集合是一盘散沙,运算把沙子结合成有机的整体,所以运算是其灵魂,所有研究的内容要和运算建立良好的和谐关系。 本节主要研究、比较两个带有运算的集合之间的关系。首先当然要用反映集合之间关系的映射,并且我们感兴趣的是与两个运算有很好的和谐关系的映射。只有这样的映射才能很好反映它们之间的关系和运算性质。 所谓和谐指的是什么?,定义 如果对于两个代数系统,和,,存在映射,满足,称,是 同态映射.,和,同态,,简称,A与,同态,记为,代数系统(体系):非空集合连同上面定义的代数运算,例1,,运算均为通常意义的数的乘法。,不是同态映射;,是同态映射,但不是满射
2、;,是同态映射,且是同态满射.,例2,为全体方阵的集合,运算为矩阵乘法,运算为数的乘法,证明:显然,因为每个方阵都有唯一的行列式,这 是一个映射,又,而且,,所以它是同态满射。,研究两个带有代数运算的集合的性质,利用同态映射还是远远不够的。为此我们先研究同态满射。,假设对于代数运算 和 来说,有一个 到 满射的同态映射存在,我们就说这个映射是一个同态满射。并说对于代数运算 和 来说, 与 同态。,同态满射,可以反映两个代数体系的运算之间的许多联系。,定理1,如果,和,同态,那么,(1)若,满足结合律 ,则,也满足结合律 ;,(2)若,满足交换律 ,则,也满足交换律 .,证明:,于是由同态满射有
3、,【证明思路】,满射,存在,同态,逆用同态映射,任取 。,定理2,设,和,都是代数系统,而映射,关于,以及,都是同态满射,,满足第一分配律,也满足第一分配律;,那么,(1)若,满足第二分配律,也满足第二分配律.,(2)若,思考?,代数性质(结合律、交换律及分配律)“传递”,中,那么(注意:满射的条件是如何起作用的),到,定义,是个一一映射,那么称,是同构映射.,.,例3 设,通常的加法“+”,现作,那么,是同构映射.,都是整数中,例4,分析:令,例5设,为数域,,证明:,是同构的。,为矩阵的加法),(其中+为数组间的加法,,分析:令,性质:,设,是,到,的同构映射。则,的逆映射是 到 的同构映
4、射。,证明:,的逆映射,任取,定理3,如果,和,同构,那么,(1),满足结合律,也满足结合律 ;,(2),满足交换律,也满足交换律 ;,(3),满足分配律,也满足分配律 .,注意:由上述表明,同构的两个代数体系运算 所带来的规律性是相同的,抽象的看,它们仅 为元素和运算命名上的不同,而本质是一样的。,代数性质:一个代数体系经同构映射而保持不变的性质。,研究代数体系的首要目的,就是确定所有互不同构的代数体系以 及它们的代数结构。,而为了确定一个代数体系的代数结构, 只须让它与一个代数结构已经清楚的代数 体系同构则可。,因此:同构的代数体系由于完全相同的代数结构。,对于与来说的一个A与A间的同构映射,叫做一个关于的A的自同构。,例5 A=1,2,3.代数运算由下表给定:,1 2 3,1 2 3,3 3 3 3 3 3 3 3,求关于此运算的A的自同构,定义,两个代数体系如果同构,它们之间的同构映射,注:,不一定唯一.,A的全部一一变换有6个,因此,只有,课堂练习:,设,证明:,不同构.,证明:(反证法)如果,设,0不在N中,矛盾。,不同构.,练习:,证明:,(1),不同构(普通乘法).,(2),不同构.,(3),不同构.,(其中,为非零有理数集).,