第2章静电场与恒定电场

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1、第二章 静 电 场,2.1 电荷与电荷的分布 2.2 库伦定律与电场强度 2.3 静电场的基本方程 2.4 泊松方程 拉普拉斯方程 2.5 介质中的高斯定律 电位移矢量 2.6 介质分界面上的边界条件 2.7 电场的能量和能量密度,2.1电荷与电荷分布,精确地说，任何带电物体的电量都是以e为正负整数倍,微观上：与物体质量一样，电荷以离散方式分布于空间 工程上：可以认为电荷以连续的方式分布于空间。 （或某个体积之内）,1、电荷,电荷分布,电荷可以连续地分布在一个宏观的体积中，可以连续地分布在一个宏观的面上，或连续地分布在一条宏观的线上。当然，电荷也可以集中在空间某点上。如图2.1.1所示。,图2

2、.1.1 电荷的体分布、面分布和线分布,电荷的分布用电荷密度来描述。当电荷在某空间体积内连续分布时，电荷体密 度定义为空间某点单位体积的电荷量，即,若在电荷分布的空间内任取一个微小体积 ，则该体积元的电荷量为,计算某一体积内的电荷总量，可应用体积分的方法求得：,定义面电荷密度为空间某点单位面积上的电荷量：,定义线电荷密度为线上某点单位长度上的电荷量：,理论上，电荷q可以被想象地集中在一个几何点上，该电荷称为点电荷,如图2.1.2所示。 点电荷的电荷密度用 函数来描述。一个带电荷量为q的点电荷位于 ，其电荷密度为,而且,图2.1.2 点电荷分布,例题2.1.1某一电子束,其电荷体密度为r = -

3、5*10-6 exp(-1010 r2) C/m3 (柱面坐标) 求z轴上单位长度内两平行面体积空间的电荷量。,解：先定性作图，r =0, r= -5*10-6C/m3 ; r =, r= 0,对于r=10-5m 的园柱:,可见大部分电荷均集中于该圆柱内，故对于远场区来讲， 可认为全部电荷仅均匀分布于此小圆柱内，即：,称r=r0为电子束的有效作用半径。 另外由于r0非常细小，对于远场区，也可看成为线电荷：,图2.2.1电荷与电荷的相互作用,电荷间的相互作用规律由库仑定律描述。真空 中静止的电荷 对 的相互作用力 为,2.2 库伦定律与电场强度,1、库伦定律,2、叠加原理（principle o

4、f superposition),Coulombs law所说明的只是空间存在的两个点电荷之间的相互作用。实际上，往往同时存在多个电荷，这时任意两个电荷之间的相互作用的规律是什么呢？每个电荷受到多大的作用力呢？总结了许多实验以后, 人们发现：若空间存在n个电荷q1, q2qn，这时任意一个电荷qj，受到其它所有电荷对它的作用力为,此式称为线性叠加原理。,原理是假设性的，它并不能从理论本身中产生，其可靠性由实验来检验。迄今为止，在经典范围内和我们可以达到的场强下还没有找到一个反例显示出线性叠加原理的失效。,因此，一个点电荷q受到一个电荷连续分布的带电体的作用力为,电荷密度,叠加原理的应用,空间某

5、点静电场的电场强度在数值上等于静电 场对放置在该点的单位电荷的作用力的大小， 它的方向与正电荷在该点所受电场力的方向一 致，它表征了静电场对放置在该点的电荷的作 用能力。若在电场强度为 的空间某点放置点 电荷q ，则 q受到的静电力为,图2.2.2 场源坐标的表示,库仑定律可导出空间点电荷q 的电场强度为,即,当空间有 n个点电荷时，场点 的电场强度可由各点电荷独立在该点激励的电场强度的矢量和来计算，即,3、电场强度,对于体分布的电荷，可将其视为一系列点电荷的叠加，从而得出r点的电场强度为,同理，面电荷和线电荷产生的电场强度分别为,由亥姆霍兹定理可知:静电场在空间中的分布特征和场源关系由静电

6、场的环流和旋度、通量和散度来决定。,2.3 真空中静电场的基本方程,图2.2.8 空间面元 对一定点O的立体角,空间某一面元 对一定点O所张的立体角 定义：以O为球心，以 点O到面元 的距离R 为半径作一球面，如图2.2.8所示，则立体角 为 在球面上的投影 与 的比，即,图2.2.9 闭合面对定点的立体角,闭合面对定点O的立体角一定等于球面对O点的立体角,即 。 如果O点在闭合面外，则该闭合面在球面上投影的带数和为零， 如图2.2.9b所示，因此，该闭合面对定点O的立体角一定等于零。,验证高斯定理,先研究一个点电荷的情况:,在点电荷q的电场中任选一闭合面S ，电场强度在S面上的通量为：,上式

7、中 是面元对点电荷q所张的立体角,若 点在闭合面内，则该立体角为,若q 点在闭合面内，则该立体角为,若S面内有N个点电荷，则根据叠加原理：,式中Q为闭合面的总电荷。,若闭合面S包围的体积 内，电荷以体密度 分布，则 内总 电荷量为,根据高斯散度定理有：,则：,因为闭合面是任取的，所包围的体积也是任意的，于是有,高斯定律的积分形式,高斯定律的微分形式,环流方程和旋度方程：,在点电荷的场中取一条曲线连接A、B两点，如图2.2.10所示， 沿此曲线的积分为：,图2.2.10 的计算,当积分路径是闭合路径时，点A和点B重合，因此,利用斯托克斯定理，上式可写成：,因此：静电场是一种无旋场，或者说是一种发

8、散场。 从力场的角度来看，又可以把静电场说成是一种保守场。,静电场基本方程的积分形式,静电场基本方程的微分形式,例题2.1：求无限空间有限长导线l （带电的线电荷密度为rl)在空间的电场。,取圆柱坐标，令z轴与导线重合，显见由场的对称 性，可取f=0（常数）的面进行讨论：,当导线变为无限长时：q1=0 ,q2=p,由静电场的表达式出发，即,所以,由于,2.4 泊松方程 拉普拉斯方程,1、 电位函数,静电场是无旋的矢量场，它可以用一个标量函数的梯度表示， 此标量函数称为静电场的电位函数或简称电位。 静电场中，电位函数 的定义为：,在直角坐标系中：,将上式在空间A、B两点间积分可得A、B两点的电位

9、差:,电场强度沿一路径从A点到B点的线积分等于电位从A点到B点的下降. 由此可见：电场强度的线积分反应了空间两电位的差。,若在空间中任选P点作为电位的参考点，即 ，则A点的电位,参考点的选定最好使电位函数的表达式比较简单，通常电荷分布在有限区域时， 最好选无穷远点为参考点；如果电荷分布到无穷远处，则不能选无穷远点为参 考点，而必须将参考点选在有限远处。 对于点电荷的电位：,若选取无穷远点为参考点，则 ，于是,体电荷、面电荷和线电荷分布的电位函数表达式为：,2、 泊松方程 拉普拉斯方程,拉普拉斯算符,无源区域,拉普拉斯方程,泊松方程,在直角坐标系中，拉普拉斯算符可以写成：,2.5 介质中的高斯定

10、律 电位移矢量,1、 电介质的极化,电介质简称介质，是一种电阻率很高、导电性能很差的物质。 当介质被放入电场中时，介质在电场作用下会使介质表面或介质 中出现某种电荷分布，这种现象称为介质的极化，这种因极化而 产生的电荷称为极化电荷或束缚电荷。,引入极化强度矢量 ：在电场作用下，介质中某点单位体积 内电偶极子电矩的矢量和，即,显然，极化强度矢量等于分子的平均电矩 与子密度N的乘积,对于常用的各向同性的线性均匀介质：,极化电荷体密度与极化强度的关系,图2.4.1 极化介质的物理模型,介质的分子密度为N， 分子的平均电矩为,在dS为底、斜高为 的一个小柱体 积内的正电荷都将从dS穿过，其电 荷量为,

11、从闭合面S上穿出的电荷总量 为： 闭合面S内的极化电荷为： 应用高斯散度定理： 则 因此极化体电荷密度为：,图2.4.2 面极化电荷密度,在S面上取一面元矢量 ，从面元矢量 穿出的电荷量为 其中 为表面的单位法向矢量 介质表面上的极化电荷密度为：,2 、介质中的高斯定律 电位移矢量,源电荷分布激励电场,束缚电荷分布要激励电场,介质中的高斯定律,电位移矢量,介质中高斯定律的积分形式和微分形式,对以各向同性的均匀介质,与 的关系称为介质的本构方程或组成关系,相对电容率,2.4.3 介质中静电场的基本方程,积分方程： 微分方程： 本构方程：,2.6 介质分界面上的边界条件,介质分界面上的边界条件是指

12、：静电场中电场强度 和电位移矢量,在不同介质的分界面上遵循的变化规律。,图2.5.1 分界面上 的边界条件,在分界面上取一个小的柱形闭合面，其上、下 两底面与分界面平行，并分居于分界面两侧， 高h为无限小量，如图2.5.2所示。 对于此闭合面，由于两底面积很小，面上的场 量可以视为增均匀分布，因此，高斯定律写成,或,为分界面上的自由电荷密度,当分界面上无自由电荷分布时：,即,由此可得 的法向分量在介质面两侧的关系： （1）如果介质分界面上无自由电荷，则分界面两侧 的法向分量连续 （2）如果介质分界面上分布电荷密度 ， 的法向分量从介质1跨过分界面 进入介质2时将有一增量，这个增量等于分界面上的

13、面电荷密度 。,边界条件可用电位表示为：,在分界面上取一小的矩形闭合路径， 使两个边 与分界面平行，并分居于 分界面的两侧，高 ，如图2.5.2所示， 对于此小矩形闭合回路，由于 很小， 电场强度可以认为在 上均匀分布， 而电场强度 在此回路上的环量为零， 因此：,即,电场强度的切向分量在不同介质的分界面上总是连续。,图2.5.3 不同介质的分界面,由于电场的切向分量在分界面上总连续，法向 分量有限，故在分界面上电位函数连续，即：,对于没有电荷分布的介质分界面，若分界 面两侧电场强度 和 与法线的夹角分 别为 和 则：,对于导体与空气的分界面，由于导体内无电场， 故在空气侧的导体表面上有：,2

14、.7 电场能量与能量密度,1、 带电系统的静电能,设每个带电体的最终电位为1、2、n，最终电荷为q1、 q2、qn。带电系统的能量与建立系统的过程无关，仅仅与系统的最终状态有关。假设在建立系统过程中的任一时刻，各个带电体的电量均是各自终值的倍(1)，即带电量为qi，电位为i，经过一段时间，带电体i的电量增量为d(qi)，外源对它所作的功为id(qi)。外源对n个带电体作功为,因而，电场能量的增量为,在整个过程中，电场的储能为,2 、能量密度,图 2 7.1 能量密度,将 和 代入上式，有,由于 ， ， 所以,故得到： 对于各向同性介质：,凡是静电场不为零的空间中都储存着静电能。静电能是以电场 的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的。 场中任一点的能量密度为：,