第2章静电场分析2010

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1、第2章 静电场分析,21 静电场的基本规律 22 静电场的边条件 23 泊松方程和拉普拉斯方程 24 唯一性定理 25 导体系统的电容 26 静电场的能量与力 27 恒定电场（恒定电流场） 28 静电场的应用,21 静电场的基本规律,当电荷在某一空间体积内连续分布时，用体电荷密度来描述电荷在空间的分布特性，体电荷密度定义为空间某点处单位体积中的电荷量，即,211 电荷与电荷分布,电荷是产生静电场的源, 根据电荷分布区域的具体情况，可以用体电荷密度 (电荷可以连续地分布在一个体积中，) 、面电荷密度 (可以连续地分布在一个面上，) 和线电荷密度 (或连续地分布在一条线上。) 来描述电荷在空间体积

2、、曲面和曲线中的分布。当然，电荷也可以集中在空间某点上。如图所示。电荷的分布用电荷密度来描述。,1 体电荷密度,可以将电荷在一个极薄的薄层空间中的连续分布视为面电荷分布，例如电荷在导体表面和电介质表面的分布。用面电荷密度来描述面电荷的分布特性，面电荷密度定义为某点处单位面积上的电荷量，即 的单位是C/m2 。 是一个空间位置的连续函数，,2 面电荷密度,的单位是C/m3。 是一个空间位置的连续函数，描述了电荷在空间的分布情况，构成一个标量场。若在电荷分布的空间内任取一个微小体积 ，则该体积元的电荷量为,通过体积分可以求出某个体积V 中总的电量,的单位是C/m，通过线积分可以求出某段曲线l上总的

3、电量,3线电荷密度 将电荷在半径极小的管形空间中的分布视为线电荷分布。用线电荷密度来描述线电荷的分布特性，线电荷密度定义为某点处单位长度上的电荷量，即,描述了电荷在某一曲面上的分布情况，构成一个标量场。利用 通过面积分可以求出某个曲面S上总的电量,直线上线元电荷量,曲面上面元电荷量,可以用函数表示点电荷的体电荷密度,对于点电荷，空间任意体积 V中总的电量Q可以由下式给出,4 点电荷与点电荷的函数表示法 点电荷是电磁场理论中的一个理想模型，点电荷的电量为q，占据的体积为趋近于零的一个几何点。显然，点电荷所在处的体电荷密度趋近于无穷大。为了定量地描述点电荷的分布，定义函数,212 场强和电位,电场

4、强度是一个矢量，在空间构成一个矢量场 ，所以可以用研究矢量场的方法研究静电场，例如利用电力线、高斯定理、环路定理、矢量场的散度、矢量场的旋度等。 空间某点电位的定义为,电场强度 和电位是研究静电场最基本的两个物理量。空间某点处的电场强度定义为单位正的试探电荷在该点受的电场力,其中P是待求电位的场点，Q 是电位的参考点。,电位参考点的选择：1）选择参考点尽可能使电位表达式比较简单， 且要有意义。 2）电荷在有限区域，无穷远点为参考点。 3）电荷分布到无穷远，在有限区域任选一点作参考点。 4）同一物理问题，参考点应该统一。,一般选取一个固定点，规定其电位为零，称这一固定点为参考点。,和之间满足以下

5、关系式,电位是一个标量，在空间构成一个标量场 ，所以也可以用研究标量场的方法研究静电场，例如利用等位面、电位梯度、泊松方程、拉普拉斯方程等。 两点之间的电位差称为电压，可以写为,5）场中任意两点的电位差与参考点无关。,结论：两点的电位差只与两点所在位置有关，而与积分路径无关。,213 静电场的基本方程,其中,有电介质时，静电场的基本方程可以写为,其中,是S面内包围的所有自由电荷。,是S面内包围的所有电荷（包括自由电荷和极化电荷）。,静电场的基本方程包括高斯定理和环路定理,立体角,如图2.1所示，立体角的单位是球面度。整个球面对球心的立体角,图2.1 球面上的面元对球心的立体角,球面度。,在一个

6、半径为R的球面上任取一个面元dS，此面元边上各点与球心的连线构成一个该面元对球心的立体角,为了证明（2.17）式，先介绍有关立体角的概念。,图2. 2 任一面元对一点的立体角,以O点为球心，以O点到dS的距离R为半径作一个球面， 为dS在球面上的投影，则,如图2. 2所示。,为了计算不在球面上的任一面元dS 对一点（O点）的立体角,一个任意形状的闭合曲面对一点O所张立体角，如果O点在闭合曲面内，可以以O点为球心，在闭合曲面内作一个球面，如图2. 3（a）所示，可以看出该闭合曲面对O点所张的立体角和球面对O点的立体角是相等的，即为4球面度。如果O点位于闭合曲面之外，如图2. 3（b）所示。从O点

7、向闭合曲面作切线，所有的切点构成的曲线把闭合曲面分成两部分：S1面和S2面，S1面对O点的立体角是1，是负值；S2面对O点的立体角是2，与1等量异号，所以整个闭合曲面对O点所张的立体角,图2. 3 闭合面的立体角,(a) O点在闭合曲面内,(b) O点位于闭合曲面外,o,证明高斯定理（2.17）式,上式中 是面元dS对点电荷q0所张的立体角d，对闭合,（2.22）,曲面积分就是闭合曲面对电荷q0所张的立体角。若电荷q0在闭合面内，则该立体角为4，若电荷q在闭合面之外，则该立体角为零。因此（2.21）式可以写为,先研究无界真空中只有一个点电荷的情况,如果无界真空中有N个点电荷q01，q02，q0

8、k，q0N，而闭合曲面内包围的点电荷为q01，q02，q0k，则穿过闭合面S的电位移通量为,尽管空间各点的Di 与产生它的所有场源点电荷有关，但（2.23） 式表明穿过闭合曲面S的电位移通量 仅与闭合曲面S内 场源电荷的代数和 有关。,N个点电荷,产生N个D,闭合曲面内只包围k个点电荷,由（2.22）式,0,（2.22）,（2.25）式表明，电位移矢量D在某点的空间变化率等于该点的电荷体密度0。,（2.23）式可推广到体电荷、面电荷和线电荷的情况。电荷以体 密度分布时，（2.23）式的右边 变成积分 ， 利用散度定理，（2.23）式可以写为,因为S是任意的闭合曲面，高斯定理的微分形式为,高斯定

9、律的积分形式,高斯定律的微分形式,穿过任何闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的净电荷。,图2. 4 E沿曲线的积分,当积分路径是闭合回路，即A、B两点重合时，可得,下面证明（2.18）式。在点电荷q的电场中任取一条曲线连接A、B两点，如图2. 4所示。求场变量E（r）沿此曲线的积分,投影,即当电荷q在电场中移动一周回到出发点时，电场力作的功为零，电场能量不变，这说明静电场是保守场。 利用斯托克斯定理可以写出（2.27）式的微分形式,上式（2.27）是从点电荷的电场中得到的结论，很容易推广到任意电荷分布的电场中，所以（2.27）式表示了静电场的一个共同特性。以电场力作功为例，当一试验电荷q在电

10、场中沿闭合回路移动一周时，电场力所作的功为 ,（2.25）式和（2.28）式给定了静电场的散度和旋度，根据亥姆霍兹定理，静电场的性质是完全确定的。,矢量场由其散度和旋度唯一确定,2.1.4 场强和电位的计算,电荷连续分布的场强：,1 方法1 第一步：利用点电荷场强公式和场强的迭加原理求E 点电荷的场强：,电荷连续分布包括线分布、面分布和体分布，,点电荷组的场强：,对于线电荷分布 对于面电荷分布 对于体电荷分布,例题2. 1 真空中有一电偶极子,如图2. 5所示,电偶极子是由一对点电荷组成,一个是正电荷 ,另一个是负电荷 ，,其中P是待求电位的场点，Q是电位的参考点。如果电荷分布在有限区域内，一

11、般取无穷远处作参考点，如果电荷不是分布在有限区域内，需要根据具体情况选择参考点。,图2. 5,解：选用球坐标系，点电荷的场强为,正负点电荷之间的距离非常小，是一段微分线元l，试求电偶极子在远处产生的场强。,第二步：,其中 。利用幂级数展开式,上面的推导中利用了（1.101）式。电偶极子在p点产生的场强为,可以写出,定义 为电偶极子的电矩矢量， 的方向规定为由q指向q。（2.38）式可以写为,把上式代入（2.37）式可得,例题2. 2,图2. 6 例题2. 2,解：采用圆柱坐标，使线电荷与z轴重合，原点位于线电荷的中点。电荷及电场的分布具有轴对称性，可以只在为常数的平面内计算电场的分布。直线上线

12、元电荷 在P点产生的场强为,真空中长度为l 的直线上的线电荷密度为l ，如图2. 6所示，求此线电荷周围的电场。,点电荷,Z,其中P点处的位置矢量为 ，线元 的位置矢量为 ，所以 ，代入（2.40）式可得,上式可以分解为两个标量积分， 分量的积分为,由,所以,分量的积分为,（2.41）、（2.42）式中的1、2如图2. 6中所示。,写成矢量形式为,方法1评述：这种方法要用矢量的迭加或积分，运算比较复杂。,如果该均匀带电的直线在两端无限延长变为无限长线电荷，其周围的电场可以从（2.41）、（2.42）式求出，只要令10，2180，可得,2 方法2,电荷分布具有对称性时，包括球对称、面对称、轴对称

13、。 第一步：利用高斯定理求E； 第二步： 。,例题2. 3 已知球坐标系中电荷的分布,，,求球体内外场强和电位的分布。,解：本题中电荷的分布是球对称的，所以电场的分布也是球对称的。首先利用高斯定理求E，在rRa的区域中，过待求场强的P1点作一个与球体同心的球形高斯面，半径为r，如图2. 7所示。利用高斯定理,图2. 7,r,（2.44）式的左边,把以上两式代入高斯定理（2.44）可得,等式的右边为,场圆周对称,在r R的区域中，过待求场强的P2点作一个与球体同心的球形高斯面，半径为r，如图2. 7所示。可以求出高斯定理等式的左边仍为E4r 2 ，等式的右边为,代入高斯定理（2.44）可得,所以

14、在r R的区域中的场强为,所以在rR的区域中的场强为,图2. 7,r,下面计算电位，在r R 的区域中,方法2评述：这种方法计算比较简单，只要场的分布具有对称性，都应当选用这种方法。,在r R的区域中，,3 方法3,点电荷组的电位：,电荷连续分布的电位：,第一步：利用点电荷电位的公式和电位的迭加原理求，点电荷的电位：,线电荷元、面电荷元、体电荷元的表达式仍为（2.32）（2.34）式，代入（2.49）式，可以分别求出线电荷、面电荷、体电荷产生的电位的表达式,第二步：利用电位梯度求场强,对于线电荷分布 对于面电荷分布 对于体电荷分布,例2. 4 利用方法3求电偶极子在远处产生的电位和场强。 解：

15、选用球坐标系，仍如图2. 5所示，场点P处的电位等于两个点电荷电位的叠加,图2. 5,从图2. 5中可以看出 ，所以 由于 ，利用幂级数展开式可以写出,代入（2.54）式可得 电偶极子在远处产生的场强为 与例题2. 1中的结果完全相同。,半径为a的圆平面上均匀分布面密度为s的面电荷，求圆平面中心垂直轴线上任意点处的电位和电场强度。 解：本题中的圆平面是有限大的，不能用高斯定理，需要用电位的叠加原理和微积分的方法来解。首先把圆平面无限分割，比较简单的方法是分割成无数多个同心的细圆环，如图2. 8所示。任取一半径为r的细圆环， 圆环上任一面元上的电量为 ，该面元距P点的距离为 ，细圆环上的电荷在P点产生的电位为,例题2. 5,图2. 8 例题2.5,无限远处为参考点,对每个小面元积分,从图2. 8中可以看出，由对称性，P点的电场强度E沿z方向，所以,整个圆平面上的电荷在P点产生的电位为,方法3评述：由于这种方法是利用标量场的叠加或积分，计算比较简单。若场的分布没有对称性，这是求解电位和电场强度的一般方法。,对每个小圆环积分,215 静电场中的导体,下面列出静电平衡时导体的电特性，在分析一些问题时非常有用。 导体内电场强度处处为零。 导体是等位体，导体的表面是等位面。 导体内无电荷分布，电荷只分布在导体的表面。孤立导体表面的电荷分布与曲率有关，曲率比较大（凸出而尖锐）的地方