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1、第1页（共21页） 2015 年第年第 20 届届“华杯赛华杯赛”少年数学邀请赛初赛试卷少年数学邀请赛初赛试卷 C（小高组）（小高组） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 10 分，共分，共 60 分） 分） 1 （10 分）计算： （+）120 （） A42B43C15D16 2 （10 分）如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直 线，这两条直线成 45 度角，最高的小树高 2.8 米，最低的小树高峰 1.4 米，那么从左向右数 第 4 棵树的高度是（）米 A2.6B2.4C2.2D2.0 3 （10 分）春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱 捐给山区的贫困学
2、生；事后，甲、乙、 丙、丁 4 位同学有如下对话： 甲：“丙，丁之中至少有 1 人捐了款” 乙：“丁，甲之中至多有 1 人捐了款” 丙：“你们 3 人之中至少有 2 人捐了款” 丁：“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款” 已知这 4 位同学说的都是真话且其中恰有 2 位同学捐了款，那么这 2 位同学是（） A甲，乙B丙，丁C甲，丙D乙，丁 4 （10 分）六位同学数学考试的平均成绩是 92.5 分，他们的成绩是互不相同的整数，最高 的 99 分，最低的 76 分，那么按分数从高到低居第 3 位的同学的分数至少是（） A94B95C96D97 5 （10 分）如图，BH 是直角梯形 ABCD
3、的高，E 为梯形对角线 AC 上一点，如果DEH、 BEH、BCH 的面积依次为 56、50、40，那么CEH 的面积是（） A32B34C35D36 第2页（共21页） 6 （10 分）一个由边长为 1 的小正方形组成的 nn 的方格网，用白色或黑色对每个小正方 形涂色，要求满足在任意矩形的 4 个角上的小正方形不全同色，那么正整数 n 的最大值是 （） A3B4C5D6 二、填空题： （每小题二、填空题： （每小题 10 分，满分分，满分 40 分）分） 7 （10 分）在每个格子中填入 16 中的一个，使得每行、每列及每个 23 长方形内（粗线 框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所
4、填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和 是质数，那么四位数“相约华杯”是 8 （10 分）整数 n 一共有 10 个因数，这些因数从小到大排列，第 8 个是 那么整数 n 的 最大值是 9 （10 分）在边长为 300 厘米的正方形 中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两 块阴影部分的面积差是平方厘米，两块阴影部分的周长差是厘 米 （取 3.14） 10 （10 分）A 地，B 地，C 地，D 地依次分布在同一条公路上甲，乙，丙三人分别从 A 地，B 地，C 地同时出发，匀速向 D 地行进当甲在 C 地追上乙时，甲的速度减少 40%， 当甲追上丙时，甲的速度再次减少 40%，甲追上丙后
5、9 分钟，乙也追上了丙，这时乙的速 度减少 25%；乙追上丙后再行 50 米，三人同时到 D 地已知乙出发时的速度是每分钟 60 米， 那么甲出发时的速度是每分钟米， A、 D 两地间的路程是米 第3页（共21页） 2015 年第年第 20 届届“华杯赛华杯赛”少年数学邀请赛初赛试卷少年数学邀请赛初赛试卷 C （小 高组） （小 高组） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 10 分，共分，共 60 分） 分） 1 （10 分）计算： （+）120 （） A42B43C15D16 考点：整数、分数、小数、百分数四则混合运算菁优网版 权所有 专题：运算顺序及
6、法则 分析： 首先根据乘法分配律， 求出算式 （+ +） 120 的值是多少； 然后用所得的结 果减去 除以 所得的商，求出算式的值是多 少即可 解答： 解： （+）120 =120120+120 120+120 =5444+37 32 =10+5+27 =42 故选：A 点评：此题主要考查了整数、分数四则混合运算，要 熟练掌握，注意运算顺序，注意加法、乘法运 算定律的应用 2 （10 分）如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直 线，这两条直线成 45 度角，最高的小树高 2.8 米，最低的小树高峰 1.4 米，那么从左向右数 第 4 棵树的高度是（）米 第4页（
7、共21页） A2.6B2.4C2.2D2.0 考点：数与形结合的规律菁优网版 权所有 专题：探索数的规律 分析： 因为A=45，最高的小树高 2.8 米，所以 AC=2.8 米，又因为树根成一条直线，树顶也 成一条直线，所以所有的树都互相平行，所以 AB=1.4 米，BC=ACAB=1.4 米，因为这排树 的间距相同，则每个间距是 1.47=0.2 米，假 设从左向右数第 4 棵树的高度：0.24+1.4，据 此解答即可 解答：解：因为： 树根成一条直线，树顶也成一条直线 A=45， 最高的小树高 2.8 米， 最低的小树高 峰 1.4 米 所以 AC=2.8 米， AB=1.4 米， BC=
8、ACAB=1.4 米 又因为：这排树的间距相同 所以： 1.47=0.2（米） 0.24+1.4 =0.8+1.4 =2.2（米） 答： 那么从左向右数第 4 棵树的高度是 2.2 米 故选：C 点评：解答本题的关键是：正确应用等腰直角三角形 的性质，两直角边相等解决问题 3 （10 分）春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱 捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、 丙、丁 4 位同学有如下对话： 甲：“丙，丁之中至少有 1 人捐了款” 乙：“丁，甲之中至多有 1 人捐了款” 第5页（共21页） 丙：“你们 3 人之中至少有 2 人捐了款” 丁：“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款” 已知这 4
9、位同学说的都是真话且其中恰有 2 位同学捐了款，那么这 2 位同学是（） A甲，乙B丙，丁C甲，丙D乙，丁 考点：逻辑推理菁优网版 权所有 专题：逻辑推理问题 分析：因为有 2 位同学捐了款，所以根据： 丙： “你们 3 人之中至少有 2 人捐了款， 说明捐款的只 能是甲乙丁中的两个人，而丙没捐钱； 甲：“丙，丁之中至少有 1 人捐了款”因为丙没捐钱， 所以只能是丁捐款； 乙：“丁，甲之中至多有 1 人捐了款”只能是丁，所以 甲没捐款； 这恰好印证了丁：“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款” 是正确的 据此解答即可 解答：解：根据分析可得： 丙： “你们 3 人之中至少有 2 人捐了款， 说
10、明捐款的只 能是甲乙丁中的两个人，而丙没捐钱； 甲：“丙，丁之中至少有 1 人捐了款”因为丙没捐钱， 所以只能是丁捐款； 乙：“丁，甲之中至多有 1 人捐了款”只能是丁，所以 甲没捐款； 这恰好印证了丁：“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款” 是正确的，只有乙和丁捐了款 故选：D 点评：解答本题的关键是：根据题意及其每个人说的话进而 推出 4 （10 分）六位同学数学考试的平均成绩是 92.5 分，他们的成绩是互不相同的整数，最高 的 99 分，最低的 76 分，那么按分数从高到低居第 3 位的同学的分数至少是（） A94B95C96D97 考点：平均数问题菁优网版 权所有 专题：平均数问题
11、 分析：要求第三名同学至少要考多少分，知道六名同 学的总平均分，能求出总成绩，用总成绩最 高分最低分=另四名同学的总成绩， 要想第 3 个同学成绩最小，则第 2 个同学成绩取最大值 为：98，进而求出另三位同学的总成绩，进而 根据“总成绩总人数=平均分”能求出另三名同 学的平均分，继而分析、推导得出所求问题的 答案 解答：解：92.569976=380（分） ， 由于最高分是 99 分，所以第二个的最好成绩 第6页（共21页） 最多是：98 剩余三人成绩和为：38098=282（分） ， 第 3 个同学成绩最小，第 4、5 个同学的成绩 尽可能接近第三个同学的成绩，则这 3 个数相 差为 1，
12、 2823=94（分） ， 则第三位同学至少是：94+1=95（分） 答：第三名至少得 95 分 故选：B 点评：此题做题的关键是先求出总成绩，用总成绩 最高分最低分=另四名同学的总成绩，进而 分析得出第二个的最好成绩，进而求出另三位 同学的总成绩，进而根据“总成绩总人数=平 均分”能求出另三名同学的平均分，继而分析、 推导得出结论 5 （10 分）如图，BH 是直角梯形 ABCD 的高，E 为梯形对角线 AC 上一点，如果DEH、 BEH、BCH 的面积依次为 56、50、40，那么CEH 的面积是（） A32B34C35D36 考点：三角形面积与底的正比关系菁优网版 权所有 专题：平面图形
13、的认识与计算 分析：如下图所示： 分别过点 E 作 EFDC， EGBH， 连接 AF，BF，BD，由等底等高的三角形面积 相等，可得 SBDF=SADF，SADC=SBDC，因 此有：SCDE=SADCSADE=SBDC SBDF=SBFC，而 SBFC=SBFH+SBCH=SBEH+SBCH=90； 因此 SCHE=SEDCSHDE=9056=34，据 此即可解决 解答：解：如上图所示，分别过点 E 作 EFDC， EGBH，连接 AF，BF，BD， 则 SBDF=SADF，SADC=SBDC， 所以 SCDE=SADCSADE=SBDC SBDF=SBFC， 第7页（共21页） 又因为
14、SBFC=SBFH+SBCH=SBEH+SBCH=90， 所以 SCHE=SEDCSHDE=9056=34 故选：B 点评：本题解决的关键是能够正确的作出辅助线，并 利用等底等高的三角形面积相等以及三角形面 积的和差关系进行面积转化，从而解决问题 6 （10 分）一个由边长为 1 的小正方形组成的 nn 的方格网，用白色或黑色对每个小正方 形涂色，要求满足在任意矩形的 4 个角上的小正方形不全同色，那么正整数 n 的最大值是 （） A3B4C5D6 考点：最大与最小菁优网版 权所有 专题：竞赛专题 分析：因只用黑色或白色来进行涂色，考虑当最差 情况，就是当涂色的格子横涂或竖涂为黑、 白、黑、白
15、时，这时任意矩形 4 个角上的小 正方形不同色，这时不论横行和竖行怎样涂 色，都会出现四个角上同色据此解答 解答：解：因只用黑色或白色来进行涂色，当涂色 的格子为黑、白、黑、白时，这时任意矩形 4 个角上的小正方形不同色，这时不论怎样涂 色，都会出现四个角上同色 故选：B 点评：本题主要考查了学生根据排列的知识和抽届 原理来解决问题的能力 二、填空题： （每小题二、填空题： （每小题 10 分，满分分，满分 40 分）分） 7 （10 分）在每个格子中填入 16 中的一个，使得每行、每列及每个 23 长方形内（粗线 框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的
16、和 是质数，那么四位数“相约华杯”是4123 考点：幻方菁优网版 权所有 专题：传统应用题专题 第8页（共21页） 分析： 通过分析： 如图： 因为第三行存在 1 、3、4，所以 A 为 2，5， 6 之一， 而 3 与 A 的和是质数， 所以 A 为 2 在 A 所在的长方形中，还剩下 1、4、5、6 没有 使用而 3 与“相”的和是质数，所以“相”是 4“相”与”“约”的和为质数，“约”为 1，“约” 与”“月”的和为质数， “月”为 6， 剩下的 C 为 5 第三行只剩下数字 5， 所以 B 为 5； 在 B 所在 的长方形中，还剩下 2、3、6 没有使用而 4 与“杯”的和是质数，所以“杯”为 3，“杯” 与”“华”的和为质数， 所以“华”为 2， 剩下的 D 就是 6， ；所以四位数“相约华杯”是 4123，据 此解答即可 解答： 解：如图： 因为第三行存在 1 、3、4，所以 A 为 2，5， 6 之一， 而 3 与 A 的和是质数， 所以 A 为 2 在 A 所在的长方形中，还剩下 1、4、5、6 没有 使用 而 3 与“相”的和是质数，所
