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1、第1页(共21页) 2015 年第年第 20 届届“华杯赛华杯赛”少年数学邀请赛初赛试卷少年数学邀请赛初赛试卷 C(小高组)(小高组) 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 10 分,共分,共 60 分) 分) 1 (10 分)计算: (+)120 () A42B43C15D16 2 (10 分)如图,有一排间距相同但高度不等的小树,树根成一条直线,树顶也成一条直 线,这两条直线成 45 度角,最高的小树高 2.8 米,最低的小树高峰 1.4 米,那么从左向右数 第 4 棵树的高度是()米 A2.6B2.4C2.2D2.0 3 (10 分)春季开学后,有不少同学都将部分压岁钱 捐给山区的贫困学
2、生;事后,甲、乙、 丙、丁 4 位同学有如下对话: 甲:“丙,丁之中至少有 1 人捐了款” 乙:“丁,甲之中至多有 1 人捐了款” 丙:“你们 3 人之中至少有 2 人捐了款” 丁:“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款” 已知这 4 位同学说的都是真话且其中恰有 2 位同学捐了款,那么这 2 位同学是() A甲,乙B丙,丁C甲,丙D乙,丁 4 (10 分)六位同学数学考试的平均成绩是 92.5 分,他们的成绩是互不相同的整数,最高 的 99 分,最低的 76 分,那么按分数从高到低居第 3 位的同学的分数至少是() A94B95C96D97 5 (10 分)如图,BH 是直角梯形 ABCD
3、的高,E 为梯形对角线 AC 上一点,如果DEH、 BEH、BCH 的面积依次为 56、50、40,那么CEH 的面积是() A32B34C35D36 第2页(共21页) 6 (10 分)一个由边长为 1 的小正方形组成的 nn 的方格网,用白色或黑色对每个小正方 形涂色,要求满足在任意矩形的 4 个角上的小正方形不全同色,那么正整数 n 的最大值是 () A3B4C5D6 二、填空题: (每小题二、填空题: (每小题 10 分,满分分,满分 40 分)分) 7 (10 分)在每个格子中填入 16 中的一个,使得每行、每列及每个 23 长方形内(粗线 框围成)数字不重复;如果小圆圈两边格子中所
4、填数的和是合数,其它相邻两格所填数的和 是质数,那么四位数“相约华杯”是 8 (10 分)整数 n 一共有 10 个因数,这些因数从小到大排列,第 8 个是 那么整数 n 的 最大值是 9 (10 分)在边长为 300 厘米的正方形 中,如图放置了两个直角扇形和一个半圆,那么两 块阴影部分的面积差是平方厘米,两块阴影部分的周长差是厘 米 (取 3.14) 10 (10 分)A 地,B 地,C 地,D 地依次分布在同一条公路上甲,乙,丙三人分别从 A 地,B 地,C 地同时出发,匀速向 D 地行进当甲在 C 地追上乙时,甲的速度减少 40%, 当甲追上丙时,甲的速度再次减少 40%,甲追上丙后
5、9 分钟,乙也追上了丙,这时乙的速 度减少 25%;乙追上丙后再行 50 米,三人同时到 D 地已知乙出发时的速度是每分钟 60 米, 那么甲出发时的速度是每分钟米, A、 D 两地间的路程是米 第3页(共21页) 2015 年第年第 20 届届“华杯赛华杯赛”少年数学邀请赛初赛试卷少年数学邀请赛初赛试卷 C (小 高组) (小 高组) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 10 分,共分,共 60 分) 分) 1 (10 分)计算: (+)120 () A42B43C15D16 考点:整数、分数、小数、百分数四则混合运算菁优网版 权所有 专题:运算顺序及
6、法则 分析: 首先根据乘法分配律, 求出算式 (+ +) 120 的值是多少; 然后用所得的结 果减去 除以 所得的商,求出算式的值是多 少即可 解答: 解: (+)120 =120120+120 120+120 =5444+37 32 =10+5+27 =42 故选:A 点评:此题主要考查了整数、分数四则混合运算,要 熟练掌握,注意运算顺序,注意加法、乘法运 算定律的应用 2 (10 分)如图,有一排间距相同但高度不等的小树,树根成一条直线,树顶也成一条直 线,这两条直线成 45 度角,最高的小树高 2.8 米,最低的小树高峰 1.4 米,那么从左向右数 第 4 棵树的高度是()米 第4页(
7、共21页) A2.6B2.4C2.2D2.0 考点:数与形结合的规律菁优网版 权所有 专题:探索数的规律 分析: 因为A=45,最高的小树高 2.8 米,所以 AC=2.8 米,又因为树根成一条直线,树顶也 成一条直线,所以所有的树都互相平行,所以 AB=1.4 米,BC=ACAB=1.4 米,因为这排树 的间距相同,则每个间距是 1.47=0.2 米,假 设从左向右数第 4 棵树的高度:0.24+1.4,据 此解答即可 解答:解:因为: 树根成一条直线,树顶也成一条直线 A=45, 最高的小树高 2.8 米, 最低的小树高 峰 1.4 米 所以 AC=2.8 米, AB=1.4 米, BC=
8、ACAB=1.4 米 又因为:这排树的间距相同 所以: 1.47=0.2(米) 0.24+1.4 =0.8+1.4 =2.2(米) 答: 那么从左向右数第 4 棵树的高度是 2.2 米 故选:C 点评:解答本题的关键是:正确应用等腰直角三角形 的性质,两直角边相等解决问题 3 (10 分)春季开学后,有不少同学都将部分压岁钱 捐给山区的贫困学生;事后,甲、乙、 丙、丁 4 位同学有如下对话: 甲:“丙,丁之中至少有 1 人捐了款” 乙:“丁,甲之中至多有 1 人捐了款” 第5页(共21页) 丙:“你们 3 人之中至少有 2 人捐了款” 丁:“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款” 已知这 4
9、位同学说的都是真话且其中恰有 2 位同学捐了款,那么这 2 位同学是() A甲,乙B丙,丁C甲,丙D乙,丁 考点:逻辑推理菁优网版 权所有 专题:逻辑推理问题 分析:因为有 2 位同学捐了款,所以根据: 丙: “你们 3 人之中至少有 2 人捐了款, 说明捐款的只 能是甲乙丁中的两个人,而丙没捐钱; 甲:“丙,丁之中至少有 1 人捐了款”因为丙没捐钱, 所以只能是丁捐款; 乙:“丁,甲之中至多有 1 人捐了款”只能是丁,所以 甲没捐款; 这恰好印证了丁:“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款” 是正确的 据此解答即可 解答:解:根据分析可得: 丙: “你们 3 人之中至少有 2 人捐了款, 说
10、明捐款的只 能是甲乙丁中的两个人,而丙没捐钱; 甲:“丙,丁之中至少有 1 人捐了款”因为丙没捐钱, 所以只能是丁捐款; 乙:“丁,甲之中至多有 1 人捐了款”只能是丁,所以 甲没捐款; 这恰好印证了丁:“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款” 是正确的,只有乙和丁捐了款 故选:D 点评:解答本题的关键是:根据题意及其每个人说的话进而 推出 4 (10 分)六位同学数学考试的平均成绩是 92.5 分,他们的成绩是互不相同的整数,最高 的 99 分,最低的 76 分,那么按分数从高到低居第 3 位的同学的分数至少是() A94B95C96D97 考点:平均数问题菁优网版 权所有 专题:平均数问题
11、 分析:要求第三名同学至少要考多少分,知道六名同 学的总平均分,能求出总成绩,用总成绩最 高分最低分=另四名同学的总成绩, 要想第 3 个同学成绩最小,则第 2 个同学成绩取最大值 为:98,进而求出另三位同学的总成绩,进而 根据“总成绩总人数=平均分”能求出另三名同 学的平均分,继而分析、推导得出所求问题的 答案 解答:解:92.569976=380(分) , 由于最高分是 99 分,所以第二个的最好成绩 第6页(共21页) 最多是:98 剩余三人成绩和为:38098=282(分) , 第 3 个同学成绩最小,第 4、5 个同学的成绩 尽可能接近第三个同学的成绩,则这 3 个数相 差为 1,
12、 2823=94(分) , 则第三位同学至少是:94+1=95(分) 答:第三名至少得 95 分 故选:B 点评:此题做题的关键是先求出总成绩,用总成绩 最高分最低分=另四名同学的总成绩,进而 分析得出第二个的最好成绩,进而求出另三位 同学的总成绩,进而根据“总成绩总人数=平 均分”能求出另三名同学的平均分,继而分析、 推导得出结论 5 (10 分)如图,BH 是直角梯形 ABCD 的高,E 为梯形对角线 AC 上一点,如果DEH、 BEH、BCH 的面积依次为 56、50、40,那么CEH 的面积是() A32B34C35D36 考点:三角形面积与底的正比关系菁优网版 权所有 专题:平面图形
13、的认识与计算 分析:如下图所示: 分别过点 E 作 EFDC, EGBH, 连接 AF,BF,BD,由等底等高的三角形面积 相等,可得 SBDF=SADF,SADC=SBDC,因 此有:SCDE=SADCSADE=SBDC SBDF=SBFC,而 SBFC=SBFH+SBCH=SBEH+SBCH=90; 因此 SCHE=SEDCSHDE=9056=34,据 此即可解决 解答:解:如上图所示,分别过点 E 作 EFDC, EGBH,连接 AF,BF,BD, 则 SBDF=SADF,SADC=SBDC, 所以 SCDE=SADCSADE=SBDC SBDF=SBFC, 第7页(共21页) 又因为
14、SBFC=SBFH+SBCH=SBEH+SBCH=90, 所以 SCHE=SEDCSHDE=9056=34 故选:B 点评:本题解决的关键是能够正确的作出辅助线,并 利用等底等高的三角形面积相等以及三角形面 积的和差关系进行面积转化,从而解决问题 6 (10 分)一个由边长为 1 的小正方形组成的 nn 的方格网,用白色或黑色对每个小正方 形涂色,要求满足在任意矩形的 4 个角上的小正方形不全同色,那么正整数 n 的最大值是 () A3B4C5D6 考点:最大与最小菁优网版 权所有 专题:竞赛专题 分析:因只用黑色或白色来进行涂色,考虑当最差 情况,就是当涂色的格子横涂或竖涂为黑、 白、黑、白
15、时,这时任意矩形 4 个角上的小 正方形不同色,这时不论横行和竖行怎样涂 色,都会出现四个角上同色据此解答 解答:解:因只用黑色或白色来进行涂色,当涂色 的格子为黑、白、黑、白时,这时任意矩形 4 个角上的小正方形不同色,这时不论怎样涂 色,都会出现四个角上同色 故选:B 点评:本题主要考查了学生根据排列的知识和抽届 原理来解决问题的能力 二、填空题: (每小题二、填空题: (每小题 10 分,满分分,满分 40 分)分) 7 (10 分)在每个格子中填入 16 中的一个,使得每行、每列及每个 23 长方形内(粗线 框围成)数字不重复;如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数,其它相邻两格所填数的
16、和 是质数,那么四位数“相约华杯”是4123 考点:幻方菁优网版 权所有 专题:传统应用题专题 第8页(共21页) 分析: 通过分析: 如图: 因为第三行存在 1 、3、4,所以 A 为 2,5, 6 之一, 而 3 与 A 的和是质数, 所以 A 为 2 在 A 所在的长方形中,还剩下 1、4、5、6 没有 使用而 3 与“相”的和是质数,所以“相”是 4“相”与”“约”的和为质数,“约”为 1,“约” 与”“月”的和为质数, “月”为 6, 剩下的 C 为 5 第三行只剩下数字 5, 所以 B 为 5; 在 B 所在 的长方形中,还剩下 2、3、6 没有使用而 4 与“杯”的和是质数,所以“杯”为 3,“杯” 与”“华”的和为质数, 所以“华”为 2, 剩下的 D 就是 6, ;所以四位数“相约华杯”是 4123,据 此解答即可 解答: 解:如图: 因为第三行存在 1 、3、4,所以 A 为 2,5, 6 之一, 而 3 与 A 的和是质数, 所以 A 为 2 在 A 所在的长方形中,还剩下 1、4、5、6 没有 使用 而 3 与“相”的和是质数,所