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1、数学与计算机学院,1,概率论与数理统计,教材：浙江大学 盛骤 谢世千 潘承毅编 高等教育出版社,2,概率论-研究随机现象统计规律性的一门学科。,序 言,概率论是研究什么的？,?,随机现象：不确定性与统计规律性,概 率 论,3,4,关键词： 样本空间 随机事件 频率和概率 古典概型 条件概率 事件的独立性,第一章 概率论的基本概念,在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象,“可导必连续”,“水从高处流向低处”,实例,确定性现象的特征:,条件完全决定结果,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,称为随机现象.,实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观
2、察正反两面出现的情况”.,2. 随机现象,结果有可能出现正面也可能出现反面.,结果有可能为:,“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.,实例3 “抛掷一枚骰子,观 察出现的点数”.,实例2 “用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况”.,结果: “弹落点会各不相同”.,实例4 “从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.,其结果可能为:,正品 、次品.,实例5 “过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯”.,实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可短.,随机现象的特征:,条件不能完全决定结果,2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,
3、 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,说明,1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.,1 随机试验,随机试验的例子,E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；,E2: 掷两颗骰子，,E3: 记录110报警台一天接到的报警次数；,在区间 上任取一点，记录它的坐标。,E6:,E5: 记录某物理量的测量误差；,E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命；,观察出现的点数；,上述试验的
4、特点： 1.试验的可重复性可在相同条件下重复进行； 2.一次试验结果的随机性一次试验之前无法确定具体 是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。 3.全部试验结果的可知性所有可能的结果是预先可知的。 在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验， 简称试验。随机试验常用E表示。,13,2 样本空间随机事件,(一)样本空间 定义：随机试验E的所有可能结组成的集合称为E的样本空间，记为S.样本空间的元素，即为E的每个结果，称为样本点,下面分别写出1上述各试验 所对应的样本空间,E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况,E2: 掷两颗骰子，观察出现的点数,E3: 记录110报警台一天接到的
5、报警次数,在区间 上任取一点，记录它的坐标,E6:,E5: 记录某物理量的测量误差,E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命,14,(二) 随机事件 一般我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件， 简称事件.当且仅当这一子集所包含的一个样本点出现时， 称这一事件发生.,S0,1,2,；,例：观察221路公交车西华大学站候车人数，,如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，故又称S为必然事件。,记 A至少有10人候车10,11,12, S，,A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。,为方便起见，记为不可能事件，不包含任何样本点。,我们把必然事件和不可能事件看成是随机事件的极端情况，则基
6、本事件、复杂事件、必然事件和不可能事件就是随机事件。,由前面得知： （1）基本事件的全体组成了样本空间； （2）随机事件由若干基本事件构成，它是样本 空间的子集； （3）样本空间就是必然事件，都用表示； （4）空集为不可能事件，都用表示。,B,A,如右图：,A,B,A+B,如图所示:,A,B,如图所示：,AB,A-B,B,A-B,A,B,AB=,A,也称为对偶律,25,“和”、“交”关系式,例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,3 频率与概率,1. 理解事件频率的概念，了解概率的定义；,2. 熟练掌握概率的性质；
7、,3. 掌握古典概型的计算。,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.,概率是随机事件 发生可能性大小 的度量,事件发生的可能性 越大，概率就 越大！,了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.,了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？,我先给大家举几个例子，也希望你们再补充几个例子.,例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.,了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.,(一)频率的定义,频率：,34,* 频率的性质： 且 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p,抛掷钱币试验记
8、录,注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义,（二）概率的定义,(三) 概率的性质,(三) 概率的性质,例,例,例,解,得,所求概率为,若某实验E满足： 1.有限性：样本空间含有有限个样本点; 2.等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的，即有 则称E为古典概型也叫等可能概型.它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称为古典概型,4 等可能概型（古典概型）,古典概型中事件概率的计算公式:,根据概率的有限可加性知：,于是,对任意一个随机事件A,如果A是r个基本事件的和，即,则有,P(A
9、)具有如下性质,(1) 0 P(A) 1； (2) P()1； P( )=0 (3) AB，则 P( A B ) P(A) P(B),也即,例1: 有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概 率相等,则至少有一个男孩的概率是多少? 解:设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩,=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,50,可解析为一个64人的班上，至少有两人在同一天过 生日的概率为99.7%,有许多问题和本例具有相同的数学模型,例如：若取n64，N365,再如 ：一单位有5个员工，一星期共七天，让每位员工独
10、立地挑一天休息，求不出现至少有2人在同一天休息的概率。 解：将5为员工看成5个不同的球，7天看成7个不同的盒子，记A= 无2人在同一天休息 ， 则由上例知：,51,例5: (抽签问题) 一袋中有a只红球，b只白球，个人依次在袋中取一只球，（1）作放回抽样；（2）作不放回抽样，求第i(i=1,2,k)人取到白球（记为事件B）的概率（k=a+b） 解(1)：放回抽样。显然有,52,解（2）不放回抽样,可设想将a+b=n个球进行编号，其中前面a个 为白球,视 的任一排列为一个样本点，每点出现的概率相等。,-与k无关,解1：设 第k人取到白球 ，k1,2,a+b,53,解2 将第k次摸到的球号作为一样
11、本点：,原来这不是等可能概型,红色,解3：记第k次摸到的球的颜色为一样本点： S红色,白色，,55,解： 假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周二、周四的概率为 212/712 =0.000 000 3.,例8： 某接待站在某一周曾接待12次来访，已知 所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问 是否可以推断接待时间是有规定的?,56,但是：切记：小概率事件是会发生的， 小概率事件一旦发生后果“不堪设想” 比如：中彩票和车祸，人生的大喜大悲呀,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(称之为
12、实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。,例1：箱中有同型的7件产品，其中4件正品，3件次品，无放回地取两次，每次取1件。 (1)求第2次取到次品的概率； (2)已知第1次取到的是正品，求第2次取到次品的概率。,解:(1) 设A=“第1次取到的是正品” B=“第2次取到次品”,5 条件概率,(2) 因为已经知道第1次取到正品，所以剩下的6件产品中有3件次品,例2 已知一个人活到60岁的概率为0.8，能活到90岁的概率为0.3。现在一个人已经60岁了，问他能活到90岁的概率 .,解：设
13、A=“一个人能活到60岁” B=“一个人能活到90岁时”,则：B|A=“已活到60岁还能活到90岁”,“条件概率”是“概率”吗？,不难验证，条件概率符合概率定义中的三个条件， (1)非负性；对于每一个事件P(B|A) 0； (2)规范性；对于必然事件S，有P(S|A)1; (3)可列可加性：设B1，B2，, 是一列两两互不相容的事件，则有 P( B1 B2 |A ) P(B1|A) P(B2|A )+. 既然符合，则概率中的一些重要结果都适用于条件概率 例如：,?,62,由上面讨论知，P(B|A)应具有概率的所有性质。 例如：,二、乘法公式 当下面的条件概率都有意义时：,二、乘法公式（p16）
14、,设，P（A）0,则 P(AB)P(A)P(B|A). (5.3） 式(5.3）就称为事件A、B的概率乘法公式。,还可推广到三个事件的情形： P（AB）0 P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An-1)0 P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1),例3 袋中有r只红球，t只白球,每次从袋中任取一只，观察颜色后放回，再放入a只与所取球颜色相同的球，若从袋中连续取球4次,求第1、2次取到红球且第3、4次取到白球的概率。,解：设Ai为第i（i=1,2,3,4）次取球时取到红球，则,解： 设 Ai= 这人第i次通过考核 ，i=
15、1,2,3 A= 这人通过考核 ，,65,例4：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。,亦可：,66,例5：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。,利用乘法公式,与 不相容,（1）若为放回抽样：,（2）若为不放回抽样：,解： 设 Ai=第i次取到红牌，i=1,2 B=取2张恰是一红一黑,67,三、全概率公式与Bayes公式,定义：设S为试验E的
16、样本空间，B1,B2,Bn为E的一组事件。若： 则称B1,B2,Bn为S的一个划分,即：B1,B2,Bn至少有一发生是必然的，两两同时发生又是不可能的。,68,定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件。 为S的一个划分， 则称：,为全概率公式,证明:,A,70,例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为 80%，若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差， 则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率；2) 若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。,Bayes公式,全概率公式,解：设A=甲出差，B=乙出差,71,例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A=试验反应是阳性，C=被诊断患有癌症则有： 现在对自然人群
