第1章 动态系统的状态空间描述

《第1章 动态系统的状态空间描述》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第1章 动态系统的状态空间描述（209页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1,_天气预报_,摘自中国天气网尽供参考！,2,信箱： 专业：自动化、电气 答疑：周日晚8-9:30 6教702 周三 2604 5309 周五5113 6501 共享信箱： 密码：123456789,现代控制理论,3,绪 论,0.1 控制理论的发展历程简介 0.2 现代控制理论的主要内容 0.3 经典控制理论与现代控制理论的联系与比较,4,0.1 控制理论的发展历程简介,0.1.1 经典控制理论(PID:稳、快、准) 形成和发展 在20世纪30-40年代，初步形成。 在20世纪40年代形成体系。 频率理论 根轨迹法,5, 以SISO线性定常系统为研究对象。 以拉氏变换为工具，以传递函数为基础

2、在 频率域中分析与设计。 经典控制理论的局限性 难以有效地应用于时变系统、多变量系统 难以有效地应用于非线性系统。,6, 在20世纪50年代形成 动态规划法 极大值原理 卡尔曼滤波, 上世纪60年代末至80年代迅速发展。 非线性系统 大系统 智能系统,0.1.2 现代控制理论 现代控制理论的形成和发展,7,(2) 以MIMO线性、非线性、时变与非时变系 统为主要研究对象。 (3) 以线性代数和微分方程为工具，以状态 空间法为基础。 现代控制理论的状态空间方法以计算机作为系统建模、分析、设计、控制的工具。,8,0.1.3 上世纪80年代以来出现了新的控制思想 和控制理论 (1) 多变量频率域控制

3、理论。 (2) 模糊控制理论。,9,0.2 现代控制理论的主要内容, 线性系统理论 最优滤波理论 系统辨识 最优控制 自适应控制 非线性系统理论,10,0.3 经典控制理论与现代控制理论,经典控制理论：单输入单输出（单变量） 现代控制理论：多输入多输出（多变量）、线 性或非线性、定常或时变系统。,方法：频域与时域 综合方法：校正与最优化 数学工具：拉普拉斯变换与矩阵论,11,0.4 MATLAB控制系统工具箱简介,SIMULINK Control System Toolbox System Identification Toolbox Model Predictive Control Tool

4、box Fuzzy Logic Toolbox Neural Network Toolbox Nonlinear Control Design Blockset,12,0.5 矩阵理论知识点要求,线性相关与线性无关 N阶矩阵行列式的值的求解 矩阵的逆 矩阵的特征值及特征向量 矩阵的运算 二次型 标准型,13,0.6 参考教材,现代控制理论 王宏华 电子工业出版社 现代控制理论 刘豹 机械工业出版社 线性系统理论 郑大钟 清华大学出版社 现代控制理论 于长官 哈尔滨工业大学出版社,14,第一章 动态系统的状态空间描述,15,主要内容 1.1 引言 1.2 动态系统的状态空间模型 1.3 动态系统

5、数学模型变换 1.4 离散系统的状态空间描述 1.5 MATLAB在系统数学模型变换中的应用,16,20世纪60年代,人们将状态空间的概念引入控制理论，产生了以状态空间描述为基础,最优控制为核心的现代控制理论。,1.1 引言,状态空间描述,状态方程,输出方程,反映系统内部状态变量和输入变量间因果关系,表征系统内部状态变量及输入变量与输出变量间的转换关系,17,1.2 动态系统的状态空间模型,1.2.1 状态空间的基本概念 1.2.2 动态系统状态空间表达式的一般形式 1.2.3 状态空间模型的图示 1.2.4 由系统机理建立状态空间模型示例,18,1.系统的基本概念,系统: 是由相互制约的各个

6、部分有机结合，且具有一定功能的整体。 静态系统: 对于任意时刻t，系统的输出唯一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。,静态系统亦称为无记忆系统,例：电阻电路,静态系统的输入、输出关系为代数方程,1.2.1 状态空间的基本概念,19,动态系统:对任意时刻t，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关。,动态系统亦称为有记忆系统,动态系统的输入、输出关系为微分方程,例：电感电路,系统的基本概念,20,2.动态系统的两类数学描述,动态系统的数学描述,外部描述,内部描述,直接反映了输出变量与输入变量间的动态因果关系,传递函数,21,考察下图所示的n级RC网络。图中虚线框内为

7、具有放大器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻抗为无穷大，输出阻抗为零，放大倍数为1。,系统以输入u、输出y作为变量的外部描述为下式所示的高阶线性常系数微分方程,即,22,(2)内部描述（状态空间表达式）,内部描述（状态空间描述）,状态方程,输出方程,反映系统内部状态变量x1,x2,xn和输入变量u1,u2,ur间因果关系,表征系统内部状态变量x1,x2,xn及输入变量u1,u2,ur 与输出变量y1,y2,ym间的转换关系,连续时间系统:一阶微分方程组，,离散时间系统:一阶差分方程组,数学表达式的形式为代数方程,23,考察下图电网络,利用电路知识容易得到如下一阶微分方程组,外部描述的传递函数

8、？,24,3.系统状态空间描述的基本概念,动态系统的状态是完全地描述动态系统运动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。,定义完全表征动态系统时间域运动行为的信息组中的元素为状态变量。状态变量组常用符号x1(t),x2(t),xn(t)表示，且它们相互独立（即变量的数目最小）。,(1)动态系统的状态,(2)状态变量,含义？,25,【例】 确定图1-5所示电路的状态变量。,要唯一地确定t时刻电路的运动行为，除了要知道输入电压u(t)外，还必须给出流过电感上的初始电流i(t0)和电容上的初始电压uC (t0) ， 或者说uC (t)和i

9、(t)这两个变量可用来完全地描述该电路的运动行为，且它们之间是独立的，故uC (t)和i(t)是该电路的状态变量。,图1-5 RLC电路,q(t)?,26,设x1(t),x2(t),xn(t)是系统的一组状态变量，把这些状态变量看作向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态向量，记为,以x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧氏空间,(3)状态向量,(4)状态空间,27,系统的状态是时间t的函数。在不同时刻，系统状态不同，则随着t的变化,状态向量的端点不断移动，其移动的路径就称为系统的状态轨迹。,(5)状态轨迹,(6)状态方程,描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量间关系的

10、一个一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组（离散系统）,28,【例】 建立图1-5所示RLC电路的状态方程。,取电容上的电压uC (t)和电感中的电流i(t)作为状态变量，根据电路原理有,图1-5 RLC电路,29,将状态变量的一阶导数放在方程左边，其余项移至方程右边，整理得一阶微分方程组为,上式即为RLC电路的状态方程,并将其写成向量-矩阵形式，即,30,令,(*),31,在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量及输入变量间的函数关系式,将上式写成向量-矩阵形式,得,或,(7)输出方程,例: RLC电路中，若指定uC (t)为输出，且输出一般用y(t)表示，则输出方程为,32,(8)状态

11、空间表达式,状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述,例: RLC电路中，若 uC(t) 为输出,取 x1= uC(t),x2=i(t)作为状态变量,则其状态空间表达式为,33,正确理解状态空间的基本概念，注意如下几点：,(1) 系统的输出和系统状态在概念上的不同性。 输出是期望得到的信息，状态是描述系统运动行为的一组信息； 输出为状态的线性组合； 输出一般可以测量，状态一般不可测量。,(2) 状态变量的非唯一性。 系统的内部变量个数一般大于状态的维数。 n个线性无关的内部变量可取为系统的状态变量。,例：RLC电路的状态变量选取 uC (t) i(t) q(t) 。,34,(3)任

12、意两组状态变量之间的线性非奇异变换关系。,(4)选取不同的状态变量，系统为不同的状态空间表达式 同一个系统的不同状态空间表达式可以通过非奇异变换相互转换。,35,(9)工程问题中状态变量的选取,(1) 动态系统需用微分方程描述是因为动态系统含有储能元件。 对同一系统的任何一种不同的状态空间表达式而言,其状态变量的数目是唯一的,必等于系统的阶数,即系统中独立储能元件的个数。 在具体工程问题中，可选取独立储能元件的能量方程中的物理变量作为系统的状态变量。,36,(2) 状态变量不一定是物理可测量的，有时仅有数学意义而无任何物理意义。 在具体工程问题中，为了实现状态的反馈控制，以选择容易测量的量作为

13、状态变量为宜。 例如,选择电路中电容上的电压和流经电感的电流作为状态变量。,(3) n阶微分方程描述的系统状态变量的选取。 当n个初始条件x(t0) x(n-1)(t0)及tt0的输入给定时，可唯一确定微分方程的解，即状态。,37,1.单输入单输出线性定常连续系统,设单输入单输出线性定常 n 阶连续系统， n 个状态变量为x1(t),x2(t),xn(t),其状态方程的一般形式为,输出方程的一般形式为,1.2.2 动态系统状态空间表达式的一般形式,38,则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为,39,称为系统矩阵或状态矩阵;,称为输入矩阵或控制矩阵；,称为输出矩阵或观测矩阵；,D是标量，反映输

14、出与输入的直接关联。,上式简记为,40,2.多输入多输出线性定常连续系统,对于有 r 个输入u1,u2,ur ,m 个输出y1,y2,ym的多输人多输出 n 阶线性定常连续系统，状态方程的一般形式为,输出方程的一般形式为,41,则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为,42,是 m 维输出向量;,是 r 维输入向量;,43,44,3.多输入多输出线性时变连续系统,多输入多输出线性定常连续系统的状态空间表达式的系数矩阵的各元素均为常数。,若 A、B、C、D 矩阵中的某些元素或全部元素是时间t的函数，对应的系统称为线性时变连续系统 其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为,45,式中,46,4.非线

15、性系统,用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即,式中, F、G 均为向量函数,47,由于上式中显含时间t,其所描述的系统为非线性时变系统。 若式中不显含时间,则为非线性定常系统, 其状态空间表达式的一般形式为,48,练习：考察电路，取电压源 e 为输入变量，R1上的电压为输出变量,建立该电网络的状态空间表达式, 电压和电流为关联参考方向。,49,网络中只含有电容C、电感L两个独立储能元件，选电容端电压uC、流经电感的电流iL作为状态变量。,解 （1）选取状态变量,（2）利用电路基本定理列原始方程,回路:,回路:,50,（3

16、）导出状态变量的一阶微分方程组,（4）导出状态方程和输出方程,将状态变量的一阶导数看成待定量，用解代数方程方法求解上式即可求出状态方程。,51,解之,得向量-矩阵形式的状态方程,52,输出方程为,53,(5) 列写状态空间表达式,将两式合并即为状态空间表达式,则可得状态空间表达式的一般式,即,54,1.2.3 状态空间模型的图示,1.结构图 线性系统状态空间表达式可用结构图来表示。 它形象地表明了系统输人与输出的因果关系,状态与输入、输出的组合关系。,图1-7 线性定常系统结构图,在结构图中,每一方块的输入、输出关系规定为 输出向量=(方块所示矩阵)(输入向量),55,2 状态模拟图,状态模拟图,积分器,加法器,比例器,-数目应等于状态变量数,各积分器的输出表示相应的某个状态变量,采用计算机仿真中的模拟图来表示系统的状态空间表达式,56,例 3阶系统的状态空间表达式为,解：该系统有3个状态变量，对应3个积分器的输出，而每个积分器的输入量就是对应状态变量的导数。,试画