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1、混沌理论与应用混沌理论与应用 自动化学院自动化学院 禹思敏禹思敏 2012.10 一一. . 混沌的研究方法混沌的研究方法 自动化学院自动化学院 School of Automation 1. 混沌研究与方法混沌研究与方法 混沌研究包括混沌系统混沌研究包括混沌系统的的分析分析、混沌系统、混沌系统的的设计设计、混沌应用三、混沌应用三大部分，概括如下：大部分，概括如下： 1) 混沌系统的分析: 对于一个给定的动力系统, 分析该系统是否为真正的混沌系统? 分析方法主要包括: (1) 定性分析方法: 计算李氏指数、分岔图、吸引子相图等 (2) 机理分析方法: 分析是否存在马蹄映射、同宿轨道和异宿环等
2、(3) 回归排斥子法: 分析系统中是否存在回归排斥子? 2) 混沌系统的设计: 根据某种理论或方法, 设计出一个混沌系统, 并证明它是混沌的? 设计方法主要包括: 混沌研究 (1) 数值试验法: 参数错试、数值仿真、计算李氏指数三步曲设计混沌系统 (2) 反控制方法: 根据全局有界性和正的李氏指数设计混沌系统 (3) 根据Smale马蹄映射、Shilnikov定理等设计混沌系统, 如异宿环的设计等 3) 混沌应用: 利用混沌具有稠密不稳定周期轨、不可预测性、对参数和初始条件敏感性等 (1) 混沌广义控制(包括混沌控制、反控制、混沌同步) (2) 混沌电路分析与设计 (3) 保密通信和信息安全
3、1) 混沌系统的分析: 对于一个给定的动力系统, 分析该系统是否为真正的混沌系统? 分析方法主要包括: (1) 定性分析方法: 计算李氏指数、分岔图、吸引子相图等 (2) 机理分析方法: 分析是否存在马蹄映射、同宿轨道和异宿环等 (3) 回归排斥子法: 分析系统中是否存在回归排斥子? 2) 混沌系统的设计: 根据某种理论或方法, 设计出一个混沌系统, 并证明它是混沌的? 设计方法主要包括: 混沌研究 (1) 数值试验法: 参数错试、数值仿真、计算李氏指数三步曲设计混沌系统 (2) 反控制方法: 根据全局有界性和正的李氏指数设计混沌系统 (3) 根据Smale马蹄映射、Shilnikov定理等设
4、计混沌系统, 如异宿环的设计等 3) 混沌应用: 利用混沌具有稠密不稳定周期轨、不可预测性、对参数和初始条件敏感性等 (1) 混沌广义控制(包括混沌控制、反控制、混沌同步) (2) 混沌电路分析与设计 (3) 保密通信和信息安全 (4) 图像和视频加密等 (4) 图像和视频加密等 自动化学院自动化学院 School of Automation 1. 混沌研究与方法混沌研究与方法 1) 定量研究方法 2) 定性研究方法 混沌研究方法 3) 机理研究方法 4) 反控制研究方法 1) 定量研究方法 2) 定性研究方法 混沌研究方法 3) 机理研究方法 4) 反控制研究方法 自动化学院自动化学院 Sc
5、hool of Automation 2. 定量研究方法定量研究方法 定量研究定量研究方法方法指指的是的是求出混沌系统的求出混沌系统的严格严格解解 析解析解。由于混沌系统是非线性系统，要由于混沌系统是非线性系统，要想想求出求出其严其严 格的格的解析解，解析解，在目前情况下在目前情况下几乎不可能。因此，几乎不可能。因此，通通 常常只能通过用只能通过用 MATLAB 编程，通过数值模拟的方编程，通过数值模拟的方 法求得混沌吸引子的相图。法求得混沌吸引子的相图。 这就是我们经常在许多这就是我们经常在许多 文献中只看到混沌吸引子的相图而没有看到解析文献中只看到混沌吸引子的相图而没有看到解析 解的原因。
6、解的原因。 自动化学院自动化学院 School of Automation 3. 定性研究方法定性研究方法 定性研究定性研究的基础是微分动力系统的定性理论， 主要分析平衡点的基础是微分动力系统的定性理论， 主要分析平衡点 的类型的类型及其稳定性及其稳定性、平衡点的分岔行为、平衡点的分岔行为等。此外，还包括计算李氏等。此外，还包括计算李氏 指数、分岔图、混沌吸引子的相图指数、分岔图、混沌吸引子的相图等等，这些也可以认为属于定性分，这些也可以认为属于定性分 析的范畴或者说属于工程层面的分析方法， 但不属于严格的混沌机析的范畴或者说属于工程层面的分析方法， 但不属于严格的混沌机 理研究范畴。理研究范
7、畴。 尽管尽管定性分析方法不能得出严格的定性分析方法不能得出严格的解析解， 但解析解， 但有时有时却却 能把握住整个系统能把握住整个系统的全局，的全局， 目前目前在在混沌问题的研究中仍不失为一种混沌问题的研究中仍不失为一种 主要手段与方法。 一方面， 目前情况下绝大多数非线性系统很难获主要手段与方法。 一方面， 目前情况下绝大多数非线性系统很难获 得解析解，并且需要有很高的数学技巧与先验知识。另一方面，即得解析解，并且需要有很高的数学技巧与先验知识。另一方面，即 使使是能是能获得严格获得严格解析解， 但有时解析解， 但有时结果的物理意义并结果的物理意义并不不明晰，明晰， 采用定采用定 性分析法
8、却能较好地把握住全局。性分析法却能较好地把握住全局。 自动化学院自动化学院 School of Automation 4. 机理研究方法机理研究方法 1) Smale马蹄映射: (1) 混沌系统分析: 对于给定系统, 分析是否存在马蹄映射? 关键是要能找到一个不变集, 并在该集上有拉伸折叠变换 (2) 混沌系统设计: 根据马蹄映射的方法设计出混沌系统? 2) Shilnikov定理(Shilnikov不等式、同宿轨道和异宿环): (1) 混沌系统分析: 对于给定系统, 分析是否存在同宿轨道或异宿环? (2) 混沌系统设计: 1) Smale马蹄映射: (1) 混沌系统分析: 对于给定系统, 分
9、析是否存在马蹄映射? 关键是要能找到一个不变集, 并在该集上有拉伸折叠变换 (2) 混沌系统设计: 根据马蹄映射的方法设计出混沌系统? 2) Shilnikov定理(Shilnikov不等式、同宿轨道和异宿环): (1) 混沌系统分析: 对于给定系统, 分析是否存在同宿轨道或异宿环? (2) 混沌系统设计: 根据Shilnikov定理设计具有同宿轨道或异宿环的混沌系统? 3) Melnikov方法: 主要用于非自治混沌系统的分析与设计 根据Shilnikov定理设计具有同宿轨道或异宿环的混沌系统? 3) Melnikov方法: 主要用于非自治混沌系统的分析与设计 自动化学院自动化学院 Scho
10、ol of Automation 5. 反控制方法反控制方法 根据混沌系统的全局有界性和正的李氏指数（拉伸和折叠）来分析根据混沌系统的全局有界性和正的李氏指数（拉伸和折叠）来分析 和设计混沌系统。和设计混沌系统。 1) 离散时间系统的反控制: (1) Chen-Lai算法 (2) Wang-Chen算法 反控制方法 2) 连续时间系统的反控制: (1) 建立设计准则和判定定理 (2) 控制器设计 (3) 平衡点设计 (4) 通过设计控制器和平衡点, 使系统全局有界和正李氏指数 1) 离散时间系统的反控制: (1) Chen-Lai算法 (2) Wang-Chen算法 反控制方法 2) 连续时间
11、系统的反控制: (1) 建立设计准则和判定定理 (2) 控制器设计 (3) 平衡点设计 (4) 通过设计控制器和平衡点, 使系统全局有界和正李氏指数 自动化学院自动化学院 School of Automation 6. 定性分析的一个典型实例定性分析的一个典型实例 考虑以下非线性微分方程考虑以下非线性微分方程 xxsin= 注意到这个方程可通过变量分离法获得严格的解析解注意到这个方程可通过变量分离法获得严格的解析解（注意（注意 到这样的例子是凤毛麟角）到这样的例子是凤毛麟角） 。根据上式，得。根据上式，得 x dx dt sin = 对上式积分，得对上式积分，得 Cxxxdtt+= |cotc
12、sc|lncsc 设设0=t时的初始条件为时的初始条件为 0 xx =，得，得|cotcsc|ln 00 xxC+=。最。最 后得其严格的解析解为后得其严格的解析解为 xx xx t cotcsc cotcsc ln 00 + + = 自动化学院自动化学院 School of Automation 6. 定性分析的一个典型实例定性分析的一个典型实例 虽然获得了严格的解析解，但解的物理意义并不明晰，尤其是虽然获得了严格的解析解，但解的物理意义并不明晰，尤其是 不能把握住全局。 例如， 根据解的结果， 可提出以下两个问题：不能把握住全局。 例如， 根据解的结果， 可提出以下两个问题： 1）假定）假
13、定4/ 0 =x，描述解的结果，描述解的结果)(tx对于所有的对于所有的0t时时 的定性特征是什么？当的定性特征是什么？当t时的稳态是什么？时的稳态是什么？ 2）对于任意一个初始条件）对于任意一个初始条件 0 x，请说明，请说明)(tx当当t时的时的 行为是什么？行为是什么？ 可以看出，可以看出，如果如果想要想要从解从解 xx xx t cotcsc cotcsc ln 00 + + =的结果中的结果中很很 直截了当地回答这两个问题并非易事， 但如果采用定性分析方直截了当地回答这两个问题并非易事， 但如果采用定性分析方 法却能较好地回答这两个问题。法却能较好地回答这两个问题。 自动化学院自动化
14、学院 School of Automation 6. 定性分析的一个典型实例定性分析的一个典型实例 了解和掌握动力系统的终态行为是研究动力系统的重要了解和掌握动力系统的终态行为是研究动力系统的重要 方法。方法。对于一维系统对于一维系统( ), xf xxR=来说，其终态行为只有收来说，其终态行为只有收 敛和发散两种情况。而对于二维系统敛和发散两种情况。而对于二维系统 2 ( ), xf xxR=来说，其来说，其 终态行为有收敛、发散和周期三种情况。终态行为有收敛、发散和周期三种情况。而对于三维以上系统而对于三维以上系统 来说，除来说，除收敛、发散和周期三种收敛、发散和周期三种行为外，可能行为外
15、，可能有混沌行为。有混沌行为。 在定性分析中， 可通过对平衡点稳定性的分析来掌握系统在定性分析中， 可通过对平衡点稳定性的分析来掌握系统 的终态行为，平衡点指的是系统的状态不随时间变化，即的终态行为，平衡点指的是系统的状态不随时间变化，即 ( )0 xf x= 通过求解方程通过求解方程( )0f x =，可得系统的平衡点之值。，可得系统的平衡点之值。 根据定性分析法，得根据定性分析法，得xxsin=的流形如图的流形如图 1 所示。图中所示。图中 sin0 xx=的解（对应空心圆点和实心圆点）便是系统的平衡的解（对应空心圆点和实心圆点）便是系统的平衡 点，其中点，其中空心圆点为不稳定平衡点，实心
16、圆点为稳定平衡点。空心圆点为不稳定平衡点，实心圆点为稳定平衡点。 自动化学院自动化学院 School of Automation 6. 定性分析的一个典型实例定性分析的一个典型实例 x x 2 0 2 图图 1 xxsin=的流形与平衡点的流形与平衡点 根据图根据图 1，可对于上述提出的两个问题得出明确的解答结果如下：，可对于上述提出的两个问题得出明确的解答结果如下： 1）在）在4/ 0 =x处，首先是越来越快地向右到达处，首先是越来越快地向右到达2/=x，当到达，当到达2/=x 后， 再越来越慢地趋于稳定平衡点后， 再越来越慢地趋于稳定平衡点=x，)(tx随时间变化的趋势如图随时间变化的趋势如图2所示。所示。 2）对任意初始条件）对任意
