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1、36 中学数学研究 2016年第1O期 20 1 6年四川高考数学理科21题的解析 四川省内江师范学院数学与信息科学学院 (641100) 刘成龙余小芬 试题 设函数 )=ax 一alnx，其中a 尺 (I)略； 1 ()确定0的所有可能取值，使得 )一 e卜 在区间(1，+)内恒成立(e=2718为自然 对数的底数) 上述题目是2016年全国高考数学四川卷理科 第21题(14分)，属于解答题中的压轴题笔者认为 该题很好的呈现了命题者的三大意图：能力立意、命 题回归、有效区分是一道优秀的高考试题本文将 从不同的视角给出试题第()问的解析，希望对读 者布眠帮助 方法一：分离参数法 ()由，( )
2、1一e ，可得口 一 121nx,则m ( )=一 3+- 5-+ 2一 2= x X X x x x 李 1时，m( ) 为减函数，于是m(x)1时，5 ( )0，所以s( )在区间(1， +)内单调递增于是s( )s(1)=0从而当 l时，g( )0，即专成立所以 ( )1时，g( )0 (1)当a0， l时 ( )=口( 。一1)一Inx g( )在区间(1，+)内恒成立 时，必有 0 (2)当。1由第(I)问有 )o所以此时 )g( )在区间(1，+)不恒成立 当0时，令 ( )= )一g( )( 0)， 当 1时，h，( )：2。 一1+1 一e1一 一 一 + 一 ： 掣 掣0因此
3、， 十 一= 一 一 I ( )在区间(1，+。o)单调递增所以当 1时， ( )h(1)=0，即 )g( )恒成立 综上：n，+) 点评：“单调性+分类讨论”是处理函数不等式 恒成立问题的基本方法，比如2006全国第20题、 2007全国I第20题、2008全国卷第22题等等都 有所涉及解答的基本思路是：找出不满足条件的范 围n0的证明中也用到了 一+ 1 。 一 ： 0 ，( )：2似一 + 一 一 一 + 一e1一，令 ( )= 1+ 1一e1， ( )：1+ 1 一 2+e1-x： +e1-x掣+ |-x： - 二一 +eI-x0,z( )为增函数，于是 ( ) (1)=0，所以h (
4、 )0 (妻 。+1x +12x，即 +12x，于是 + 1 ，得 一 1， ( )=2。 1+ 1 。 一el +j 一 ：0，所以 ，( )0 方法三：函数极限的保号性 令( )= )一g( )=0 一0一In 一_=_1+ e1一 ( 1)，贝0 ，( )：2口戈一1+1 el-x由于 h( )在(1，+)恒大于零，又h(1)=0，于是 ，(1)：lim ：lim ，因为 ( ) 1+ 一1 x-l 4- 一1 0， 一10，-T-： 0在(1，+)恒成立， 一1 由函数极限的保号性可知 (1)0，即。 1当 口 1时， ( )=2口 1+ 1一el-x 一+ 一1 ： 0 因此， (
5、)在区间(1，+)单调递增所以当 1时，h( )= )一g( )h(1)=0，即 ) g( )恒成立，综上口 1，+) 点评：此法中运用函数极限的保号性这一高数 知识得到了口 1这一必要条件需要说明的是这 一过程中涉及 主探究， “特值引路，先猜后证”是 基本探究方法：要证明 ( )= )一+P卜 0， 又h(1)=0，于是猜想h( )在(1，+)上为增函 数，即 ( )0在(1，+)上恒成立，特别的 (1)0，也即是2口一l0，口丢 鉴于篇幅，下文主要证明口 1的充分性 38 中学数学研究 2016年第l0期 方法四：拉格朗日中值足理 当口 1时，令 ( )= )一g( )=口 2一 口一l
6、n 一 一+el一 ( 1)，贝0 ，( )：2口 一1+ 一e-一，拉格朗日中值定理可得：存在孝(1， ) 使得 ( )= ，而 ( )=2 一+ elf 一 1+ 1 一 =主 = 0所以 ( )一 (1)0，即 ( ) (1)=O综上：。 1，+) 点评：由h(1)=0， 一10及 ( )=2ax一 + 1一eI- ，根据拉格朗日中值定理：存在 (1， )使得 ( )= ，于是 ( ) 0 ( ) 0，此处拉格朗日定理的功能在于：通过 求导把超越式1眦转化成了初等式 ，这与方法三 的本质一样 方法五：主元法 当。 时， ( )：ax2一口一1n 一 一十et ， 记g(口)：口( ：一1
7、)一ln 一 一+eI-x,由于X21 0，所以g(a)是关于a的一次增函数，于是g(a) g 1)=争 一丢一ln 一+el_ ，令m( )= 争 一号一 似一 +et-X m( )= 一 + 1一 e 一 + 11： ： 生 0，所以m( )为增函数，于是 m( )m(1)=0，于是h( )0 点评：解答过程中通过变更主元、构造了关于a 的一次函数，再利用g(口)单增，通过放缩消去口，把 问题转化为：已知 1，证明m( )0 方法六：辅助切线法 由 一号_ln 1 o铸e 一 1 2 +l眦+ 1，记m( )=e ，n( )=一 1 2+ln + + 1，由于 1)=1， )=1 g m(
8、1)=1， n(1)=1，于是m(戈)=e1-x与n( )=一 1 2+l砒 +寺在(1，1)具有相同的切线Y=一 +2，结 合图像得el 一 +2一 +ln + + ，于 是e1-x一 ：+l眦+ + 二 二 点评：辅助切线法的基本程序为：找两个函数的 公切线，并且说明两函数图像分别在公切线的上下 方辅助切线法的本质在于构建适当的放缩函数：即 欲证 )g(x)，可证 )h(x)且h(x) g(x)，于是 )g( )证明中先找出m(x)、n(x) 的公共切线Y=一 +2，同时可以验证m(x)一 +2，一 +2n(咒)，故得至0 m( )n( ) 文中从不同的视角给出了6种解答，希望引起 读者们的共鸣! 横看成岭侧成峰，透过现象看本质 谈问题切人点选择 江苏省滨海中学 (224500) 陈国春 在平时的学习和考试中，在所难免会遇到一些 有难度的题目很多学生都会提出一个问题：遇到一 些比较陌生的题目时，不知道解决问题的突破口和 切入点在什么地方，头脑一片空白；或者可能会有一
