第10讲-指数分布、正态分布

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1、CHAP2 随机变量及其分布,第10讲指数分布、正态分布,2. 指数分布,定义2.6,设随机变量X的密度函数为,其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布，记为X e().,某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.,应用与背景,分布函数,令：B= 等待时间为1020分钟 ,解,例15 设打一次电话所用的时间X e(1/10)(单位：min)，如果某人刚好在你前面走进电话间，求你需等待10分钟到20分钟之间的概率.,定理2.2 随机变量X服从参数为的指数分布，则 对于任意的s, t 0,有,证明：事实上,本定理描述了指数分布的重要性质：

2、“无记忆性”,解 (1),例16 已知某地在任何长为 t 周的时间内发生地震的次数 N( t ) (t), 求,(1)相邻两次地震的时间间隔 T 的概率分布; (2)求相邻的两周内发生至少3次地震的概率 (3)在已经周无地震的情况下,未来 10 周仍无地震的概率.,即,(3),(2),3. 正态分布(或高斯分布),定义2.7,设随机变量X的密度函数为,其中,为常数，则称X服从参数为,正态分布或高斯（Gauss）分布，记为,的,正态概率密度函数的几何特征,正态分布的分布函数,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长

3、度、重量 高度等都近似服从正态分布.,正态分布的应用与背景,正态分布是概率论中最重要的分布, 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布, 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的, 正态分布可以作为许多分布的近似分布,正态分布下的概率计算,原函数不是 初等函数,转化为标准正态分布查表计算,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布,标准正态分布的分布函数表示为,标准正态分布的图形,解,例17,证明,引理2.1

4、若,，则,解,例18,例19 证明,证明,(1) 所求概率为,解,例20,若,例21 （1）假设某地区成年男性的身高（单位：cm） XN(170,7.692)，求该地区成年男性的身高超过175cm的概率。,解: (1) 根据假设XN(170,7.692)，则,P X175=,=0.2578,解: (2) 设车门高度为h cm,按设计要求,P(X h)0.01,或 P(X h) 0.99，,下面我们来求满足上式的最小的 h.,（2）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定?,因为XN(170,7.692),故 P(X h)=,0.99,查表得(2.33)=0.99010.99,所以 =2.33,即 h=170+17.92188,设计车门高度为 188厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01.,