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1、概率论与数理统计习题第四章 随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以表示一天中调整设备的次数，试求（设诸产品是否为次品是相互独立的）.解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为P=P（调整设备）=P (1)=1P (1)= 1P (=0)+ P (=1)10.7361=0.2639.因此X表示一天调整设备的次数时XB(4, 0.2639). P (X=0)=0.263900.73614 =0.2936.P (X=1)=0.263910.73613=0.4210, P (X=2)= 0.2
2、63920.73612=0.2264.P (X=3)=0.263930.7361=0.0541, P (X=4)= 0.26390.73610=0.0049.从而E (X)=np=40.2639=1.0556习题4-2 设随机变量的分布律为,说明的数学期望不存在.解： 由于，而级数发散，故级数不绝对收敛，由数学期望的定义知，的数学期望不存在.习题4-3 设随机变量的分布律为-2020.40.30.3求.解 E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E(X2)=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8E(3X2+5)=3 (-2)2+50
3、.4+3 02+50.3+322+50.3=13.4如利用数学期望的性质，则有E(3X2+5)=3E(X2)+5=32.8+5=13.4习题4-4 设随机变量的概率密度为求的数学期望.解习题4-5 设的概率密度为求.解 各数学期望均可按照计算。因仅在有限区域内不为零，故各数学期望均化为G上相应积分的计算。习题4-6 将只球号随机地放进只盒子中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记为总的配对数，求.解： 表示所有配对的个数 习题4-7 设随机变量服从瑞利分布，其概率密度为其中是常数，求.解 故 习题4-8 设二维随机变量的概率密度为试验证：和是不相关的，但和不是相互独立的.设. 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X与Y不相关.下面讨论独立性，当|x|1时， 当|y|1时，.显然故X和Y不是相互独立的.习题4-9 设随机变量具有概率密度求.解 因仅在有限区域内不为零，故有 由x,y在f(x,y)的表达式中的对称性(即在表达式f(x,y)中将x和y互换，表达式不变)，得知且有 ，而 ； 习题4-10 设服从二维正态分布，且，相关系数，试写出和的联合概率密度.解 因，故X和Y的联合概率密度为
