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1、规范解答集训(五)解析几何(建议用时：40分钟)1已知动圆E经过点F(1,0)，且和直线l：x1相切(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程；(2)已知点A(3,0)，若斜率为1的直线l与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B，C两点，求ABC面积的最大值解(1)由题意可知点E到点F距离等于点E到直线l的距离，所以动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点，直线x1为准线的抛物线，故曲线G的方程是y24x.(2)设直线l的方程为yxm，其中3m0.联立方程组消去y，得x2(2m4)xm20，(2m4)24m216(1m)恒大于零，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x242m，x1x
2、2m2，|AB|4，点A到直线l的距离为d，SABC42(3m)令t，t(1,2)，则m1t2，SABC2t(4t2)8t2t3，令f(t)8t2t3，f(t)86t2.yf(t)在上递增，在上递减yf(t)在t时，即m时取得最大值ABC的最大面积为.2(2019贵阳模拟)已知圆M：x2(y2)21，直线l：y1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切，设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且16，求证：直线AB恒过定点解(1)由题意知动圆P与直线l：y1相切，且与定圆M：x2(y2)21外切，所以动点P到圆M的圆心M(0,2)的距离与到直线y2
3、的距离相等，由抛物线的定义知，点P的轨迹是以M(0,2)为焦点，直线y2为准线的抛物线故所求点P的轨迹E的方程为x28y.(2)设直线AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入到x28y中得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b，又x1x2y1y2x1x28bb216，所以b4，则直线AB恒过定点(0,4)3(2019长沙模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2F1F2，且|AF2|.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条
4、切线l：ykxm与l1，l2分别交于M，N两点，求证：MF1N为定值解(1)由AF2F1F2，|AF2|，得.又e，a2b2c2，所以a29，b28，故椭圆C的标准方程为1.(2)由题意可知，l1的方程为x3，l2的方程为x3.直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(3，3km)，N(3,3km)，所以(2，3km)，(4,3km)，所以8m29k2.联立得(9k28)x218kmx9m2720.因为直线l与椭圆C相切，所以(18km)24(9k28)(9m272)0，化简得m29k28.所以8m29k20，所以，故MF1N为定值.(注：可以先通过k0计算出此时MF1N，再验证一般性结论)4
5、(2019合肥模拟)设椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若椭圆E的离心率为，ABF2的周长为4.(1)求椭圆E的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线解(1)由题意知，4a4，a.又e，c，b，椭圆E的方程为1.(2)当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减，得0，即kkOM，kOM.同理可得kO
6、N，kOMkON，O，M，N三点共线5(2019郑州质量检测)已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为M，N.R为准线上一点(1)若ARFN，求的值；(2)若点R为线段MN的中点，设以线段AB为直径的圆为圆E，判断点R与圆E的位置关系解由已知，得F(1,0)，设直线l的方程为xmy1，与抛物线y24x联立，得消去x，得y24my40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.由题知M(1，y1)，N(1，y2)，设R(1，yR)(1)ARFN，即，(1x1，yRy1)，(2，y2)，0(1x1)y22(yRy1)(2my1)y22(yRy1)2(y1y2)my1y22yR4m2yR，yR2m，则R是MN的中点，.(2)若R是MN的中点，则R(1,2m)，(x11，y12m)(x21，y22m)(my12，y12m)(my22，y22m)(my12)(my22)(y12m)(y22m)(m21)y1y24m244(m21)4m240.因此，点R在以AB为直径的圆E上
