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1、一、可分离变量的微分方程,二、齐次方程,四、变量代换法解方程,第二节 一阶微分方程,三、一阶线性微分方程,五、小结与思考题,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,例1 求微分方程,解,分离变量,两端积分,二、齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,得,可分离变量的方程,1.定义,例4 求解微分方程,微分方程的通解为,解,例5 求解微分方程,解,微分方程的解为,一阶线性微分方程的标准形式:,上面方程称为齐次的.,上面方程称为非齐次的.,例如,线性的;,非线性的.,三、一阶线性微分方程,齐次方程的通解为,1. 一阶线性齐次
2、方程,一阶线性微分方程的解法,由分离变量法,2. 一阶线性非齐次方程,讨论,两边积分,即非齐次方程通解形式,对照,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例6,第一步，求相应的齐次方程的通解,解,例6,第二步，常数变易法求非齐次方程的通解,解,例7,例8,解,方程化为,其中,所以,例9 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,即,所求曲线为,四、利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,例11 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,分离变量法得,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,（一阶线性微分方程）,五、小结,1.可分离变量的微分方程:,分离变量法,（1）分离变量;,（2）两端积分-隐式通解.,可分离变量的微分方程解法：,3.线性非齐次方程,2.齐次方程,齐次方程的解法,线性非齐次方程的解法,思考题,1.求解微分方程,2.方程,是否为齐次方程?,思考题解答,为所求解.,2.方程两边同时对 求导:,原方程是齐次方程.,练 习 题,练习题答案,
