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1、第十一章 压杆的稳定,11-1 压杆稳定的概念,11-3 欧拉公式的使用范围临界应 力的经验公式,11-4 压杆稳定的实用计算,11-2 确定压杆临界荷载的欧拉公式,一、材料力学的基本问题,失稳破坏具有突发性、崩溃性、大危害性的特点。,二、失稳破坏的工程实例,1907年，加拿大长达548米的魁北克大桥由于两根受压杆失稳在施工时突然倒塌。,11-1 压杆稳定的概念,1912年，德国汉堡一座大型煤气库毁坏, 失事的原因是由于其中一根受压杆丧失了稳定性。,失稳压杆示意图：,某塔式吊车的失稳破坏,(b) 破坏后,1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩建、加层，致使大楼四五层立柱不堪
2、重负而产生失稳破坏，大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人。,韩国汉城,中国南京,2000年10月25日上午10时，南京电视台演播中心演播大厅的屋顶的施工中，由于脚手架失稳，造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人。,江西省吉安市,2004年1月5日9时30分，由江西省第一建筑有限责任公司承建的吉安市井冈山师院学生会堂工程，施工人员在22m高处浇筑混凝土时，模板支撑系统失稳坍塌，造成5人死亡、1人重伤。,福建省晋江市,2004年2月25日9时15分，由福建省惠安县建筑工程公司承建的晋江市霞行村行元大厦改造工程，竹脚手架架体超载失稳整体坍塌，造成5人死亡、7人受伤,三、几种薄壁结构的失稳现象,
3、三、压杆稳定的基本概念,1、,稳定平衡,临界状态,不稳定平衡失稳（屈曲）,2、压杆稳定性压杆保持原有直线平衡状态的能力。,4、临界荷载 中心受压直杆在压缩（直线）状态下的平衡状态，由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向压力的临界值。也就是压杆失稳时的最小值；保持稳定的最大值,3、理想中心受压杆件：,5、纵弯曲沿杆原轴线的纵向外力引起的弯曲。（对应于横力弯曲）,一、推导欧拉公式的前提条件,二、推导欧拉公式的方法,11-2 确定压杆临界荷载的欧拉公式,三、推导两端铰支压杆的欧拉公式,得微分方程的通解：,令：,C1、C2由边界条件确定,得微分方程的通解：,0 C1 + 1 C2 = 0 sinkl C
4、1 +coskl C2=0,y ( 0 ) = 0 y ( l ) = 0,sinkl =0,I杆截面的最小形心主惯性矩,即压杆将在抗弯能力最弱的平面（最小刚度平面）内发生弯曲,最小临界载荷：,欧拉公式,两端铰支压杆的挠曲线方程：,两端铰支压杆的挠曲线方程,已经求得：,说明 代表压杆丧失稳定时发生在中点处的最大挠度,的不确定性是由于推导时使用近似挠曲线微分方程所致，若使用精确方程则其为定值。,一端固支一端绞支压杆的欧拉临界压力,在线弹性、小变形下，近似地有 :,引入记号： ，改写为 :,通解为：,边界条件: y(0)=0 , q(0)=0, y(l)=0 (两端绞支)， 即 :,A,B,Q/P
5、不能同时为零 ，即行列式,一端固支一端绞支细长压杆的欧拉临界压力公式为 :,四、其它约束条件下临界荷载的欧拉公式,欧拉公式的一般形式,长度系数（或约束系数）,有效长度(曲线正弦半波长度）,分析方法一致，不同的是弯矩方程和边界条件,一端自由，一端固定 2.0 一端铰支，一端固定 0.7 两端固定 0.5 两端铰支 1.0,2.0,0.7,1.0,0.5,五、临界应力,临界应力压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。,A压杆的横截面面积,其中：,压杆的长细比或柔度,令：,注意！,（轴y、z为中心主惯性轴）,求解此杆的 Pcr。,例1 Q235钢制成的细长矩形截面杆，受力及两端约束如图所示，,用欧拉公
6、式,解：,（1）求 ：,（2）求：Pcr,一、欧拉公式的适用范围,欧拉公式推导时用到挠曲线微分方程，此方程是在材料符合虎克定律的条件下导出的。,11-3 欧拉公式的使用范围 临界应力的经验公式,p比例极限,P 与比例极限对应的柔度,令,欧拉公式只适用于细长杆。,雅兴斯基直线公式（经验公式）,式中a、b是与材料有关的系数,二、中等柔度杆的临界应力计算,(铸铁、铝合金木材),也常用抛物线型经验公式,经验公式的适用范围：对于塑性材料,经验公式的适用范围,令,四、压杆的分类,1,大柔度杆（或细长杆）主要校核稳定性；,2,中等柔度杆（或中长杆）主要校核稳定性及强度；,3,小柔度杆（或短杆）主要校核强度。
7、,其中：,三、小柔度杆的临界应力计算,五、临界应力总图,细长杆,中长杆,短粗杆,由临界应力图可以看出:入愈大,则压杆的临界应力愈低，所以提高压杆承载能力的措施主要有以下几个方面： 1）减小压杆的长度(在压杆中间增加支撑) 2）增强杆端约束。 3）若压杆各个方向的约束条件相同,则应使截面形心主轴惯性矩尽可能的大,并且使 ；若各个方向的约束条件不同,则应使 。 4）压杆为中长杆和短粗杆时,高强钢和合金钢因屈服极限高,可以提高压杆的承载能力;若压杆为细长杆,因各类钢材的E基本相同,选用高强钢和合金钢对提高压杆的承载能力意义不大,故应选用低碳钢.,六、提高压杆承载能力的措施:,六、求解临界（应）力的步
8、骤,例题1: 一钢质杆,两端铰支,长L=1.5m,横截面直径=50mm,材料为Q235钢,E=200GPa, =220MPa，试确定其临界力.,解: (1)判断杆的类型,=120 P 大柔度杆,(2) 确定使用欧拉公式：, P,解：(1) 求最容易失稳的杆件,分别计算三根杆件的柔度,杆a：,杆b：,杆c：,对同一材料制成的杆件而言，无论短杆、中长杆或细长杆，压杆的柔度越大，临界压力越小，越容易失稳。由于a杆的柔度最大，故a杆最容易失稳。,计算 、 ：,(2) 求三杆中的最大临界压力,a、b、c三杆中以c杆的 最小，且三杆的截面积相同，所以c杆的临界压力最大。,杆c的 介于 、 之间，属于中长杆
9、。,最大临界压力为：,例3：非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力，其结果比实际；横截面上的正应力有可能。,大，危险,超过比例极限,例4：图示圆截面压杆d=40mm，s=235MPa。求可以用经验公式cr=304-1.12 (MPa)计算临界应力时的最小杆长。,一、压杆的稳定条件,11-4 压杆稳定的实用计算,（1）安全系数法,nst ：工作安全系数,为折减系数； 为已知可查表得,（2）折减系数法:,l,d,P,例95 图示千斤顶，已知丝杆长度L =0.375m，直径为d =0.04m，材料为Q 235钢，强度许用应力=160MPa，符合钢结构设计规范(GBJ1788) 中b类杆件要求，最大起重
10、量为P = 80 kN，试校核该丝杆的稳定性。,解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示下端固定，上端自由的压杆。,查表124， = 0.72,故此千斤顶稳定性足够。,P,l=0.375m,稳定校核步骤:,(1) 根据压杆的实际尺寸及支承情况, 分别计算各自平面弯曲的柔度,得出最大柔度max.,(2) 根据 max ,选择相应的临界应力公式, 计算临界应力或临界力.,(3) 进行稳定计算或利用稳定条件,进行稳定校核.,例题2: 一根两端球形铰支的N020a工字钢压杆,长L=3m,如杆承受轴向压力P=400 KN,设:=160MPa,E=200GPa.试:计算该压杆是否安全.,解: 查表N02
11、0a: A =3.5510-3 m2, i=21.2mm,强度方面:,稳定方面:,欧拉公式：,113MPa,压杆失稳破坏,例题3：图示托架,承受荷载P =10KN, 杆的外径D=50mm, 内径d=40mm, 两端为铰支, 材料为A3钢,E=200GPa,若稳定安全系数nst=3,问:AB杆是否稳定。,解:(1)受力分析,(2)稳定分析:, P =100 大柔度杆, P =100 大柔度杆,稳定条件:,AB杆稳定,例题4: 一钢管柱,上端铰支,下端固定.外径D=7.6cm,内径d=6.4cm, 杆长L=2.5m, 材料为合金钢, P=540MPa, E=215GPa, 如承受压力P =150K
12、N, nst = 3.5试:校核钢管的稳定性。,解: (1)计算 , P 大柔度杆,稳定条件:,稳定,例题5：图示桁架是由抗弯刚度EI相同的细长杆组成若荷载P与AB杆轴线的夹角为,且9000,求:荷载P要小于何值结构不致失稳.,解:(1)受力分析,求AB、BC杆的临界荷载：,由于两杆件的相同EI，支撑情况相同，LBCLAB，所以，NBCcrNABcr，当力P沿BC杆作用时，结构最危险。 求此时BC杆的临界力即可。,例3 如图所示结构，AB为工字截面梁，其横梁面面积为A2610 ，抗弯矩量 。已知AB、CD杆材料相同，其中 ，稳定安全系数 校核结构是否安全。,解：,AB、CD杆的内力和变形形式：
13、,AB杆承受拉弯变形，,CD杆为压杆，,所以，结构的安全性包括AB杆的强度问题和CD杆的压杆稳定性问题。,（1）AB梁的强度问题：,故，AB梁的强度足够,（2）CD杆压杆的稳定性,故，CD杆为细长杆,工作安全系数,故，CD杆的稳定性也满足要求。所以，整个结构是安全的。,解：,利用平衡条件，确定BD杆的压力与P的关系：,BD杆：,故BD属于中长杆,代入稳定安全系数计算式，有：,由以上各节知道，压杆的临界力或临界应力的大小，反映了压杆失稳的难易。因此，要提高压杆抵抗失稳的能力，就要提高压杆的临界力或临界应力。,根据欧拉公式来采取措施提高压杆抵抗失稳的能力：,一、选择合理的截面形状,1.采用 值较大的截面形状,提高压杆稳定性的措施,例如：采用空心截面,2.采用 接近 的截面形状,二、压杆的长度,在其他条件相同的情况下，杆长 越小，则柔度越小，临界应力就越大，抵抗失稳的能力就越高。,上图中压杆的长度缩短为原来的一半，柔度为原来的一半，而临界应力是原来的四倍，稳定性提到到原来的四倍。,三、改善支承情况,因压杆两端支承越牢固，长度系数就越小，则柔度也小，从而临界应力就越大，杆件的稳定性也就越好。,四、材料方面,从临界应力的计算公式可知，杆件材料的弹性模量越大，压杆的临界应力就越大，故可选用弹性模量较大的材料来提高压杆的稳定性。,本章结束,
