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1、线性代数,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,一. 问题,习题1(B). 23,求A11.,A = PP1,A11 = P11P1,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,二. 相似矩阵的定义,设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使得 P 1AP =B, 则称矩阵A与B相似. 记为AB. P称为相似变换矩阵或过渡矩阵.,易见, 矩阵间的相似关系满足,A与B相似 A与B相抵. 但反之未必.,(1) 反身性: AA;,(2) 对称性: AB BA;,即矩阵间的相似关系是一种等价关系. （如何判断）,(3) 传递性: AB, BC AC.,性质1. 设AB, f是一个
2、多项式, 则f(A) f(B).,证明: 设P 1AP =B, f(x) = anxn+a1x+a0, 则,P 1f(A)P,= anP 1AnP+a1P 1AP+a0 P 1EP,= an(P 1AP)n+a1P 1AP+a0E,= P 1(anAn+a1A+a0E)P,= anBn+a1B+a0E,= f(B).,三. 相似矩阵的性质,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,A的迹: tr(A) = a11 + a22 + + a1n,(1) tr(A+B) = tr(A) + tr(B);,(2) tr(kA) = ktr(A)
3、;,(3) tr(AB) = tr(BA).,性质4. 设AB, 则tr(A) = tr(B).,证明: P 1AP = B,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵, tr(B) = tr(P 1AP),= tr(APP 1),= tr(A).,1. 定义:,四. 相似对角化（条件？）,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,A =,= P 1AP,1 0 0 0 2 0 0 0 n,P = (1, , n)可逆, 1, , n线性无关,P 1AP = AP = P, (A1, , An) = (11, , nn),2. 条件:,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似
4、矩阵,定理4.1. Ann 对角矩阵 ,1, , n和线性无关的1, , n, s.t.,Ai = ii,(i = 1, , n).,P = (1, , n), = diag(1, , n),在此条件下, 令,则P 1AP = .,4.2 特征值与特征向量,一. 定义,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,A = ,n阶方阵,非零向量,特征值,特征向量,如何求取特征值和特征向量 ？,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,A = ,(EA) = 0,|EA| = 0,特征方程,特征多项式,EA,特征矩阵,特征值,特征值向量,二. 计算,第四章 矩阵的特征值
5、和特征向量,4.2 特征值与特征向量,定理4.2. (1) 0为A的特征值 |0EA| = 0.,(2) 为A的对应于0特征向量, (0EA) = 0.,1. 理论依据,2. 步骤,计算|EA|,求|EA| = 0的根,求(EA)x = 0的基础解系,例1. 求A =,的特征值和特征向量.,解:,所以A的特征值为1=2, 2=4.,解之得,A的对应于1=2的特征向量为,对于1=2, (2EA)x = 0 即,3 1 1 3,= (2)(4).,(0 k R).,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,例1. 求A =,的特征值和特征向量.,解:,所以A的特征值为1=2, 2=
6、4.,解之得,A的对应于2=4的特征向量为,对于2=4, (4EA)x = 0 即,3 1 1 3,= (2)(4).,(0 k R).,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,解: |EA| = (2)(1)2. 所以A的特征值为1=2, 2= 3= 1. 对于1=2, 求得(2EA)x = 0 的基础解系: p1=(0,0,1)T. 对应于1=2的特征向量为kp1 (0kR). 对于2=3=1, 求得(EA)x = 0 的基础解系: p2=(1, 2,1)T. 对应于2=3 =1的特征向量为kp2 (0kR).,例2. 求,的特征值和特征向量.,第四章 矩阵的特征值和特征
7、向量,4.2 特征值与特征向量,解: |EA| = (+1)( 2)2. 所以A的特征值为1= 1, 2= 3= 2. (EA)x = 0的基础解系: p1=(1,0,1)T. 对应于1= 1的特征向量为kp1 (0kR). (2EA)x = 0的基础解系: p2=(0, 1, 1)T, p3=(1, 0, 4)T. 对应于2=3 =2的特征向量为k2p2 +k3p3 (k2, k3不同时为零).,例3. 求,的特征值和特征向量.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,例,A=,特征值和特征向量,求,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,三. 性质,性质
8、5. 设AB, 则|EA| = |EB|.,性质6. 设A = (aij)nn的特征值为1, , n, 则 (1) 1 + + n = tr(A). (2) 1n = |A|.,推论. A 可逆1, , n全不为零.,性质7. |EA| = |EAT|.,例4. 设为方阵A的特征值, 证明2为A2的特征值. 证明: 因为为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = x, 于是(A2)x = A(Ax) = A(x) = (Ax) = 2x, 所以2为A2的特征值. 例5. 设为方阵A的特征值, 证明() = 22 3 +4. 为(A) = 2A2 3A +4E的特征值. 证明: 因为为A的特征值,
9、 即有非零向量x使Ax = x, 于是(A)x = (2A2 3A +4E)x = 2(A2)x3Ax +4x = 22x3x +4x = (22 3 +4)x = ()x, 所以()为(A)的特征值.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,例6. 设1, 2, , m为方阵A的m个不同的特征值, p1, p2, , pm为依次对应于这些特征值的特 征向量, 证明p1, p2, , pm线性无关.,证明: 若k1p1 +k2p2 +kmpm = 0, 则,由此可得(k1p1, k2p2, , kmpm) = O.,(k1p1, k2p2, , kmpm),= O.,因而k1
10、 = k2 = = km = 0.,这就证明了p1, p2, , pm是线性无关的.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3 矩阵可相似对角化的条件,4.3 矩阵可相似对角化的条件,定理4.3. Ann 对角矩阵 有n个线性无关的 特征向量.,定理4.4.,1,1, , s,1, , r,2,不同的特征值对应的特征向量线性无关,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3 矩阵可相似对角化的条件,定理4.5.,推论. 若Ann有n个不同的特征值, 则A可以 相似对角化.,A可以相似对角化的充要条件是 Ann的每个 重特征值有 个 线性无关的特征向量.,注 ：A是否可以相似对角化由重根决定.,第四章
11、矩阵的特征值和特征向量,4.3 矩阵可相似对角化的条件,例7.,有一个2重特征值.,(1) a = ?,(2) A 是否可以相似对角化?,解:,|EA| =,= (2)(2 8 + 18+3a).,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3 矩阵可相似对角化的条件,例8.,A =,2 0 0 0 0 1 0 1 x,B =,2 0 0 0 y 0 0 0 1,(1) x = _, y = _.,(2) P =_满足P 1AP = B.,0,1,1 0 0 0 1 1 0 1 1,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.4 实对称矩阵的相似对角化,4.4 实对称矩阵的相似对角化,一. 实对称矩阵的特征值
12、和特征向量,定理4.7. 实对称矩阵的特征值均为实数.,事实上, 1 p1T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA,定理4.8. 设1, 2是实对称矩阵A的两个不同 的特征值, p1, p2是对应与它们的特 征向量, 则p1与p2正交.,于是(12) p1Tp2 = 0, 但是1 2, 故p1Tp2 = 0.,从而1p1Tp2 = p1TAp2 = p1T(2p2) = 2p1Tp2.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.4 实对称矩阵的相似对角化,二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵,定理4.9. 对于任意n阶实对称矩阵A, 存在正 交矩阵Q, 使得 Q 1AQ = = diag(1
13、, 2, , n), 其中1, 2, , n为A的全部特征值, Q = (q1, q2, , qn)的列向量组是A 的对应于1, 2, , n的标准正交特 征向量.,注：不是实对称矩阵能否相似对角化？ 能否正交相似对角化？,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.4 实对称矩阵的相似对角化,例9. 把A =,正交相似对角化.,解: |EA| = (2)(4)2. 所以A的特征值为1= 2, 2= 3= 4. (2EA)x = 0的基础解系1= (0,1, 1)T. (4EA)x = 0的基础解系2=(1, 0, 0)T, 3=(0, 1, 1)T. 由于1, 2, 3已经是正交的了, 将它们单位化
14、即 可得,4 0 0 0 3 1 0 1 3,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.4 实对称矩阵的相似对角化,注: 对于2=3=4, 若取(4EA)x = 0的基础解系 2=(1, 1, 1)T, 3=(1, 1, 1)T, 则需要将它们正交化. 取1= 2,再单位化, 即得,=,1 1 1,Q = (q1, q2, q3),第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.4 实对称矩阵的相似对角化,例10. 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为,(1)2(10), 且3 = (1, 2, 2)T是对应于 =10的特征向量. (1)证明: 是对应于= 1的特征向量 与3正交; (2)求A.,证明(1): 由定
15、理4.8可知()成立.,()因为=1是A的二重特征值, 所以A有两个 线性无关的特征向量1, 2对应于=1.,注意到1, 2, 3线性无关, 而, 1, 2, 3 线性相关, 可设 =k11+k22+k33,故 =k11+k22是对应于=1的特征向量.,由3, = 3, 1 = 3, 2 = 0得k3=0,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.4 实对称矩阵的相似对角化,解(2): 由(1)可知对应于=1两个线性无关的,将正交向量组1, 2, 3单位化得正交矩阵,例10. 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为,(1)2(10), 且3 = (1, 2, 2)T是对应于 =10的特征向量. (1)证明: 是对应于= 1的特征向量 与3正交; (2)求A.,特征向量可取为x1+2x22x3=0的基础解系:,1=(2, 1, 2)T, 2 =(2, 2, 1)T,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.4 实对称矩阵的相似对角化,由此可得A = QQT,
