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1、1,3.1 引言,2,频域分析,从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。,3,时域分析：信号或者系统模型的自变量 为时间（t） 变换域分析：自变量为其他物理量 频域分析：自变量为频率。 相互关系密切,4,发展历史,1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1
2、768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。 “FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。,6,线性时不变（LTI)系统分析方法,基本思路：已知一些基本信号，将任意一个信
3、号e(t)（或者我们需要研究的信号）用一个基本信号的线性组合来表示（信号分解），如果已知基本信号通过LTI系统的响应r(t)，那么任意信号通过系统的响应就可以用r(t)的线性组合来表示。 这些基本信号应该具备下列性质： 1、由这类基本信号能构成相当广泛的一类信号 2、LTI系统对每一个基本信号的响应，在结构上因该十分简单，以便使系统对任意输入的响应有一个方便的表达式。,(t)，冲激响应，卷积,7,正弦信号通过LTI系统,电感,电阻,电容,当,时,电阻,电容,电感,8,指数信号与正弦信号具有相同的特性 由系统的组成来说：当输入为指数信号时，系统的输出一定也是一个指数信号，只不过指数信号幅值发生变
4、化。,9,指数信号通过LTI系统的输出,利用卷积法：输入为 设 则,输入为正弦信号？,10,11,二正弦信号激励下系统的稳态响应,则系统的稳态响应为,12,13,3.2周期信号傅里叶级数分析,14,主要内容,三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数 两种傅氏级数的关系 频谱图 函数的对称性与傅里叶级数的关系 周期信号的功率 傅里叶有限级数与最小方均误差,15,一三角函数形式的傅里叶级数,由积分可知,1.三角函数集,16,在满足狄氏条件时，可展成,直流分量,余弦分量的幅度,正弦分量的幅度,称为三角形式的傅里叶级数，其系数,2级数形式,17,求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。,周
5、期锯齿波的傅里叶级数展开式为,直流,基波,谐波,18,其他形式,余弦形式,正弦形式,19,关系曲线称为幅度频谱图；,关系曲线称为相位频谱图。,可画出频谱图。,周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。,幅度频率特性和相位频率特性,20,频谱图,幅度频谱,相位频谱,离散谱，谱线,21,二指数函数形式的傅里叶级数,1复指数正交函数集,2级数形式,3系数,利用复变函数的正交特性,22,说明,23,三两种系数之间的关系及频谱图,利用欧拉公式,24,相频特性,幅频特性和相频特性,幅频特性,25,请画出其幅度谱和相位谱。,化为余弦形式,三角函数形式的频谱图,三角函数形式的傅里叶级数的谱系数,X,26,化为
6、指数形式,整理,指数形式的傅里叶级数的系数,27,谱线,指数形式的频谱图,28,三角形式与指数形式的频谱图对比,三角函数形式的频谱图,指数形式的频谱图,29,四总结,（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式,（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质,（2）两种频谱图的关系,（4）引入负频率,30,(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式,三角形式,指数形式,31,(2)两种频谱图的关系,单边频谱,双边频谱,关系,32,(3)三个性质,(4)引入负频率,注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性,33,五函数的对称性与傅里叶级数的关系,偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数,注：指交流分量,34,1
7、偶函数,信号波形相对于纵轴是对称的,35,2奇函数,36,3奇谐函数,f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即,若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变化：,37,4偶谐函数,f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量,38,信号的分类,从不同的角度可以将信号分类为： 确定性信号和随机信号 周期信号和非周期信号 连续时间信号和离散时间信号一维信号和多维信号 时限信号和非时限信号 能量信号和功率信号 电信号和非电信号 实信号和复信号,39,能量信号：一个信号如果能量有限，称之为能量信号，如持续时间有限的信号。 功率信号：如果一个信号功率是有限的，称之为功率信号，如周期
8、信号和其它一些持续时间无限的信号。,6.能量信号和功率信号 Signal energy and power,连续信号能量：,离散信号能量：,40,7.实信号和复信号,物理可实现的信号常常是时间t (或n)的实（real）函数(或序列)，其在各时刻的函数(或序列)值为实数。例如，单边指数信号，正弦信号等。称它们为实信号。如：,函数（或序列）值为复数的信号称为复信号(complex signal)，最常用的是复指数信号(complex exponential signal)。如：,41,六周期信号的功率,这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 表明： 周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波
9、分量有效值的平方和； 也就是说，时域和频域的能量是守恒的。,绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为功率谱系数。,42,证明,对于三角函数形式的傅里叶级数,平均功率,对于指数形式的傅里叶级数,总平均功率=各次谐波的平均功率之和,43,七傅里叶有限级数与最小方均误差,误差函数,方均误差,44,如果完全逼近，则 n= ; 实际中，n=N, N是有限整数。 如果 N愈接近 n ，则 其均方误差愈小 若用2N1项逼近，则,45,误差函数和均方误差,误差函数 均方误差,46,例如: 对称方波, 是偶函数且奇谐函数,只有奇次谐波的余弦项。,E/2,-E/2,T1/4,-T1/4,t,
10、47,对称方波有限项的傅里叶级数,N=1 N=2 N=3,48,有限项的N越大，误差越小例如: N=11,49,由以上可见：,N越大，越接近方波 快变信号，高频分量，主要影响跳变沿； 慢变信号，低频分量，主要影响顶部； 任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真 有吉伯斯现象发生,50,周期信号通过线性系统,对于周期信号f(t)=f(t+nT) ，当其满足狄氏条件时，可展成：,一、基本信号 ：,可见，ejt通过线性系统后响应随时间变化服从ejt ， H(j)相当加权函数。 H(j)为h(t)的傅立叶变换，也称为系统频率特性或系统函数。,51,二、基本信号 ：,52,三、任意周期信号：,5
11、3,四.周期信号通过线性系统响应的频谱,对于周期信号,结论： 周期信号作用于线性系统，其响应也为周期信号； 周期激励信号的频谱为冲激序列，其响应频谱也为冲激序列。,54,例：图（a）所示系统，若激励如图(b)所示，求响应i(t)。,(a),(b),【解】,(n为奇数),55,响应i(t)的频谱：,(n为奇数),激励u(t)的频谱：,(n为奇数),56,练习：图（a）所示系统，频率特性如图(b)所示，求响应y(t)。其中,(a),(b),【解】,方法1：,方法2：,57,3.3 典型周期信号的傅里叶级数,58,主要内容,本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析 主要讨论：频谱的特点，频谱结构， 频带宽
12、度，能量分布。 其他信号，如周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号,59,一频谱结构,三角函数形式的谱系数 指数函数形式的谱系数 频谱特点,60,1三角形式的谱系数,是个偶函数,61,2指数形式的谱系数,62,3频谱及其特点,(1)包络线形状：抽样函数,(3)离散谱（谐波性）,63,4总结,64,1.问题提出,二频带宽度,第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率） 由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。,65,而总功率,周期矩形脉冲信号的功率,二者比值,66,在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。,2频带宽度,
13、语音信号 频率大约为 3003400Hz，,音乐信号 5015,000Hz，,扩音器与扬声器 有效带宽约为 1520,000Hz。,3系统的通频带信号的带宽，才能不失真,67,3.4 傅里叶变换,傅里叶变换 傅里叶变换的表示 傅里叶变换的物理意义 傅里叶变换存在的条件,68,一傅里叶变换,：周期信号,非周期信号,连续谱，幅度无限小；,离散谱,1. 引出,0,再用 表示频谱就不合适了，虽然各 频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 引入频谱密度函数。,0,69,w,（1）,频谱密度函数 简称频谱函数,单位频带上的频谱值,X,70,频谱密度函数的表示,71,2反变换,由复指数形式的傅里叶级数,72,
14、3傅里叶变换对,73,欧拉公式,二傅里叶变换的表示,实部,虚部,实部,虚部,模,相位,实信号 偶分量 奇分量,74,75,三傅里叶变换的物理意义,实函数,欧拉公式,积分为0,76,求和 振幅 正弦信号,解释,77,四傅里叶变换存在的条件,所有能量信号均满足此条件。,78,3.5 典型非周期信号的傅里叶变换,矩形脉冲 单边指数信号 直流信号 符号函数 升余弦脉冲信号,79,一矩形脉冲信号,幅度频谱：,相位频谱：,80,t,0,频宽：,81,二单边指数信号,82,频谱图,幅度频谱：,相位频谱：,83,三直流信号,不满足绝对可积条件，不能直接用定义求,84,推导,时域无限宽，频带无限窄,85,4抽样
15、信号(Sampling Signal),-,=,=,d,sin,2,d,sin,0,t,t,t,t,t,t,(,),(,),t,t,t,sin,),sinc(,=,86,证明,w,O,87,四符号函数,处理方法：,做一个双边函数,不满足绝对可积条件,88,频谱图,89,五升余弦脉冲信号,90,频谱图,其频谱比矩形脉冲更集中。,91,3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换,冲激函数 冲激偶 单位阶跃函数,92,一冲激函数,93,(t)幅度谱的含义：很多个不同频率的ejt分量。每个频率分量的幅值F()都等于1,h(t)幅度谱的含义：很多个不同频率的ejt分量。每个频率分量的幅值F()不再都等于1了，
16、发生了变化。变化由于H(j)引起的,这两个信号的频率分量的关系,对于输入f(t)的而言，他的频率分量也要经过同样的系统，也会发生同样的改变。输出F(t),94,比较,95,二冲激偶的傅里叶变换,96,三单位阶跃函数,97,3.7 傅里叶变换的 基本性质,98,主要内容,对称性质 线性性质 奇偶虚实性尺度变换性质 时移特性频移特性 微分性质时域积分性质,99,意义,傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：,了解特性的内在联系； 用性质求F()； 了解在通信系统领域中的应用。,100,一对称性质,1性质,2 意义,101,例3-7-1,例3-7-2,相移全通
