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1、要点梳理 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为 k1,k2,则有l1l2 .特别地,当直线l1、 l2的斜率都不存在时,l1与l2 .,9.2 两条直线的位置关系,k1=k2,平行,基础知识 自主学习,(2)两条直线垂直 如果两条直线l1,l2斜率存在,设为k1,k2,则l1l2k1k2=-1,当一条直线斜率为零,另一条直线斜 率不存在时,两直线垂直. 2.两直线相交 交点:直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的 公共点的坐标与方程组 的解一一对应. 相交方程组有 ,交点坐标就是方程组 的解; 平行方程组
2、; 重合方程组有 .,唯一解,无解,无数个解,3.三种距离公式 (1)点A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离: |AB|= . (2)点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离: d= . (3)两平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0 (C1C2)间的距离为d= .,基础自测 1.(2008全国文,3)原点到直线x+2y-5=0的 距离为 ( ) A.1 B. C.2 D. 解析,D,3.一条平行于x轴的线段长是5个单位,它的一个 端点是A(2,1),则它的另一个端点B的坐标 是 ( ) A.(-3,1)或(7,1) B.(2,-3)或(2,7) C.
3、(-3,1)或(5,1) D.(2,-3)或(2,5) 解析 设B(x,1),则由|AB|=5, 得(x-2)2=25, x=7或x=-3. B点坐标为(7,1)或(-3,1).,A,4.已知直线l的倾斜角为 ,直线l1经过点 A(3,2)、B(a,-1),且l1与l垂直,直 线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b等于 ( ) A.-4 B.-2 C.0 D.2 解析 l的斜率为-1,则l1的斜率为1, kAB= =1,a=0. 由l1l2, b=-2,所以a+b=-2.,B,5.已知l1的倾斜角为45,l2经过点P(-2,-1), Q(3,m),若l1l2,则实数m= . 解析
4、由已知得l1的斜率k1=1,l2的斜率k2= . l1l2,k1k2=-1.,-6,题型一 两条直线的平行与垂直 【例1】已知点M(2,2),N(5,-2),点P在 x轴上,分别求满足下列条件的P点坐标. (1)MOP=OPN (O是坐标原点); (2)MPN是直角. MOP=OPNOMPN,MPN是 直角MPNP,故而可利用两直线平行和垂直 的条件求得.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 设P(x,0), (1)MOP=OPN,OMNP. kOM=kNP.又kOM= =1, x=7,即P(7,0). (2)MPN=90,MPNP, kMPkNP=-1. 又kMP= (x2),kNP= (x5
5、), =-1,解得x=1或x=6, 即P(1,0)或(6,0).,探究提高 (1)充分掌握两直线平行与垂直的条 件是解决本题的关键,对于斜率都存在且不重合 的两条直线l1和l2,l1l2 k1=k2,l1l2 k1k2= -1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直 线的斜率是多少一定要特别注意. (2)注意转化与化归思想的应用.,知能迁移1 已知A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0),求D点的坐标,使四边形ABCD为直角梯形 (A、B、C、D按逆时针方向排列). 解 设所求点D的坐标为(x,y), 如图所示,由于kAB=3,kBC=0, kABkBC=0-1, 即AB与BC不垂直,故AB
6、、BC都 不可作为直角梯形的直角边.,(1)若CD是直角梯形的直角边,则BCCD,ADCD, kBC=0,CD的斜率不存在,从而有x=3. 又kAD=kBC, =0,即y=3. 此时AB与CD不平行. 故所求点D的坐标为(3,3). (2)若AD是直角梯形的直角边, 则ADAB,ADCD,kAD= ,kCD= . 由于ADAB, 3=-1. 又ABCD, =3.,解上述两式可得 此时AD与BC不平行. 故所求点D的坐标为 综上可知,使ABCD为直角梯形的点D的坐标可 以为(3,3)或,题型二 两直线的交点 【例2】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的 交点,且垂直于直
7、线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程. 可先求出l1与l2的交点,再用点斜式; 也可利用直线系方程求解. 解 方法一 先解方程组 得l1、l2的交点(-1,2), 再由l3的斜率 求出l的斜率为- , 于是由直线的点斜式方程求出l: 即5x+3y-1=0.,思维启迪,方法二 由于ll3,故l是直线系5x+3y+C=0中的 一条,而l过l1、l2的交点(-1,2), 故5(-1)+32+C=0,由此求出C=-1, 故l的方程为5x+3y-1=0. 方法三 由于l过l1、l2的交点,故l是直线系3x+2y -1+ (5x+2y+1)=0中的一条, 将其整理,得 (3+5 )x+(2+2 )y+
8、(-1+ )=0. 其斜率 解得 = , 代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.,探究提高 运用直线系方程,有时会给解题带来 方便,常见的直线系方程有: (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是: Ax+By+m=0 (mR且mC) (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0 (mR) (3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+ (A2x+B2y+C2)=0 ( R),但不包括l2.,知能迁移2 过点P(3,0)作一直线l,使它被两 直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+
9、3=0所截的线段AB以P为 中点,求此直线l的方程. 解 方法一 当lx轴时,方程为x=3,此时 A(3,4),B(3,-6).线段AB的中点为(3,-1) 不合题意,当l不垂直于x轴时,设直线l的方程为 y=k(x-3),将此方程分别与l1,l2的方程联立,,将此方程分别与l1,l2的方程联立, 解之,得xA= 和xB= P(3,0)是线段AB的中点,xA+xB=6, 即 解得k=8. 故所求的直线l为y=8(x-3),即8x-y-24=0.,方法二 设l1上的点A的坐标为(x1,y1), P(3,0)是线段AB的中点, 则l2上的点B的坐标为(6-x1,-y1), 解这个方程组,得 点A的
10、坐标为 由两点式可得l的方程为8x-y-24=0.,题型三 距离公式的应用 【例3】已知点P(2,-1). (1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程; (2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程, 最大距离是多少? (3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线? 若存在,求出方程;若不存在,请说明理由. 思维启迪,解(1)过P点的直线l与原点距离为2,而P点坐标 为(2,-1),可见,过P(2,-1)且垂直于x轴 的直线满足条件. 此时l的斜率不存在,其方程为x=2. 若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2), 即kx-y-2k-1=0. 由已知,得 =2,解得k= . 此时l的方程为
11、3x-4y-10=0. 综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.,(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是 过P点且与PO垂直的直线, 由lOP,得klkOP=-1,所以 由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2), 即2x-y-5=0. 即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的 直线,最大距离为 (3)由(2)可知,过P点不存在到原点距离超 过 的直线,因此不存在过P点且到原点距离 为6的直线.,探究提高 (1)注意讨论斜率不存在的情况. (2)数形结合是解决解析几何问题特别要注意 的一种思想方法. 知能迁移3 已知三条直线l1:2x-y+a=0(a0), 直线l2
12、:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离 是 . (1)求a的值; (2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个 条件: P是第一象限的点;P点到l1的距离是P点到l2的 距离的 ;P点到l1的距离与P点到l3的距离之比 是 .若能,求P点坐标;若不能,说明理由.,解 (1)l2即为2x-y- =0, l1与l2的距离 a0,a=3.,(2)假设存在这样的P点. 设点P(x0,y0),若P点满足条件,则P点在与l1、l2 平行的直线l:2x-y+C=0上, 且 即C= 或C= , 若P点满足条件,由点到直线的距离公式,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, x
13、0-2y0+4=0或3x0+2=0; 由于P点在第一象限,3x0+2=0不满足题意. 联立方程 联立方程 假设成立,P 即为同时满足三个条件的点.,题型四 对称问题 【例4】(12分)求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程. 转化为点关于直线的对称,利用方程 组求解. 解题示范 解 方法一 由 知直线l1与l的交点坐标为(-2,-1), 2分 设直线l2的方程为y+1=k(x+2), 即kx-y+2k-1=0. 3分 在直线l上任取一点(1,2),,思维启迪,由题设知点(1,2)到直线l1、l2的距离相等, 5分 由点到直线的距离公式得 8分 解得k= (k=2舍去
14、), 10 分 直线l2的方程为x-2y=0. 12分 方法二 设所求直线上一点P(x,y), 则在直线l1上必存在一点P1(x0,y0)与点P关于 直线l对称. 由题设:直线PP1与直线l垂直,且线段PP1的中点 在直线l上. 6分, 变形得 8分 代入直线l1:y=2x+3,得x+1=2(y-1)+3, 10分 整理得x-2y=0. 所以所求直线方程为x-2y=0. 12分,探究提高 对称问题是解析几何中的一个重要题 型,是高考热点之一.两条曲线关于一条直线对 称常转化为曲线上的点关于直线对称来解决.求 点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点 Q(x1,y1)的坐标,可利
15、用PQl及线段PQ被l 平分这两个条件建立方程组求解,本题方法二就 是利用这种方法结合“代入法”求轨迹方程的 思想方法解题,这是解这类问题的一个通法.,知能迁移4 光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直 线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线 方程. 解 方法一 由 得 反射点M的坐标为(-1,2). 又取直线x-2y+5=0上一点P(-5,0),设P关 于直线l的对称点P(x0,y0),由PPl可 知,kPP=- =,而PP的中点Q的坐标为 Q点在l上,3 -2 +7=0. 由 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线 的方程为29x-2y+33=0.,方法二 设直线x
16、-2y+5=0上任意一点P(x0,y0)关于 直线l的对称点为P(x,y),则 又PP的中点 在l上,,可得P点的坐标为 代入方程x-2y+5=0中,化简得29x-2y+33=0, 所以所求反射光线所在的直线方程为29x-2y+33=0.,方法与技巧 1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对 于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2,l1l2 k1=k2;l1l2 k1k2=-1.若有一条直线的斜率不 存在,那么另一条直线的斜率是什么一定要特别 注意. 2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点 的对称.利用坐标转移法.,失误与防范 在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线 的斜率是否存在.两条直线都有斜率,可根据判 定定理判断,若直线无斜率时,要单独考虑.,思想方法 感悟提高,一、选择题 1.若点(5,b)