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1、要点梳理 1.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为 k1,k2,则有l1l2 .特别地，当直线l1、 l2的斜率都不存在时，l1与l2 .,9.2 两条直线的位置关系,k1=k2,平行,基础知识 自主学习,(2)两条直线垂直 如果两条直线l1,l2斜率存在,设为k1,k2,则l1l2k1k2=-1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜 率不存在时，两直线垂直. 2.两直线相交 交点：直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的 公共点的坐标与方程组 的解一一对应. 相交方程组有 ，交点坐标就是方程组 的解； 平行方程组
2、； 重合方程组有 .,唯一解,无解,无数个解,3.三种距离公式 （1）点A（x1，y1）、B（x2，y2）间的距离: |AB|= . （2）点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离: d= . （3）两平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0 （C1C2）间的距离为d= .,基础自测 1.（2008全国文，3）原点到直线x+2y-5=0的 距离为 （ ） A.1 B. C.2 D. 解析,D,3.一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个 端点是A（2，1），则它的另一个端点B的坐标 是 （ ） A.（-3，1）或（7，1） B.（2，-3）或（2，7） C.
3、（-3，1）或（5，1） D.（2，-3）或（2，5） 解析 设B（x，1），则由|AB|=5， 得（x-2）2=25， x=7或x=-3. B点坐标为（7，1）或（-3，1）.,A,4.已知直线l的倾斜角为 ，直线l1经过点 A（3，2）、B（a，-1），且l1与l垂直，直 线l2:2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于 （ ） A.-4 B.-2 C.0 D.2 解析 l的斜率为-1，则l1的斜率为1, kAB= =1,a=0. 由l1l2, b=-2,所以a+b=-2.,B,5.已知l1的倾斜角为45，l2经过点P（-2，-1）， Q（3，m），若l1l2，则实数m= . 解析
4、由已知得l1的斜率k1=1,l2的斜率k2= . l1l2，k1k2=-1.,-6,题型一 两条直线的平行与垂直 【例1】已知点M（2，2），N（5，-2），点P在 x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标. （1）MOP=OPN （O是坐标原点）； （2）MPN是直角. MOP=OPNOMPN，MPN是 直角MPNP，故而可利用两直线平行和垂直 的条件求得.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 设P（x，0）， （1）MOP=OPN，OMNP. kOM=kNP.又kOM= =1， x=7，即P（7，0）. （2）MPN=90，MPNP， kMPkNP=-1. 又kMP= （x2），kNP= （x5
5、）， =-1，解得x=1或x=6, 即P（1，0）或（6，0）.,探究提高 （1）充分掌握两直线平行与垂直的条 件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合 的两条直线l1和l2,l1l2 k1=k2,l1l2 k1k2= -1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直 线的斜率是多少一定要特别注意. （2）注意转化与化归思想的应用.,知能迁移1 已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形 （A、B、C、D按逆时针方向排列）. 解 设所求点D的坐标为（x，y）， 如图所示，由于kAB=3，kBC=0， kABkBC=0-1， 即AB与BC不垂直，故AB
6、、BC都 不可作为直角梯形的直角边.,（1）若CD是直角梯形的直角边，则BCCD，ADCD， kBC=0，CD的斜率不存在，从而有x=3. 又kAD=kBC， =0，即y=3. 此时AB与CD不平行. 故所求点D的坐标为（3，3）. （2）若AD是直角梯形的直角边， 则ADAB，ADCD，kAD= ，kCD= . 由于ADAB， 3=-1. 又ABCD， =3.,解上述两式可得 此时AD与BC不平行. 故所求点D的坐标为 综上可知，使ABCD为直角梯形的点D的坐标可 以为（3，3）或,题型二 两直线的交点 【例2】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的 交点，且垂直于直
7、线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程. 可先求出l1与l2的交点，再用点斜式； 也可利用直线系方程求解. 解 方法一 先解方程组 得l1、l2的交点（-1，2）， 再由l3的斜率 求出l的斜率为- ， 于是由直线的点斜式方程求出l: 即5x+3y-1=0.,思维启迪,方法二 由于ll3，故l是直线系5x+3y+C=0中的 一条，而l过l1、l2的交点（-1，2）， 故5（-1）+32+C=0，由此求出C=-1， 故l的方程为5x+3y-1=0. 方法三 由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x+2y -1+ （5x+2y+1）=0中的一条， 将其整理，得 （3+5 ）x+（2+2 ）y+
8、（-1+ ）=0. 其斜率 解得 = ， 代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.,探究提高 运用直线系方程，有时会给解题带来 方便，常见的直线系方程有： （1）与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是： Ax+By+m=0 （mR且mC） （2）与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0 （mR） （3）过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+ （A2x+B2y+C2）=0 （ R），但不包括l2.,知能迁移2 过点P（3，0）作一直线l，使它被两 直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+
9、3=0所截的线段AB以P为 中点，求此直线l的方程. 解 方法一 当lx轴时，方程为x=3，此时 A（3，4），B（3,-6）.线段AB的中点为（3,-1） 不合题意，当l不垂直于x轴时，设直线l的方程为 y=k(x-3),将此方程分别与l1,l2的方程联立，,将此方程分别与l1,l2的方程联立， 解之，得xA= 和xB= P（3，0）是线段AB的中点，xA+xB=6， 即 解得k=8. 故所求的直线l为y=8(x-3),即8x-y-24=0.,方法二 设l1上的点A的坐标为（x1,y1）, P（3，0）是线段AB的中点， 则l2上的点B的坐标为（6-x1,-y1）, 解这个方程组，得 点A的
10、坐标为 由两点式可得l的方程为8x-y-24=0.,题型三 距离公式的应用 【例3】已知点P（2，-1）. （1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程； （2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程， 最大距离是多少？ （3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线？ 若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 思维启迪,解（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标 为（2，-1），可见，过P（2，-1）且垂直于x轴 的直线满足条件. 此时l的斜率不存在，其方程为x=2. 若斜率存在，设l的方程为y+1=k(x-2), 即kx-y-2k-1=0. 由已知，得 =2，解得k= . 此时l的方程为
11、3x-4y-10=0. 综上，可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.,（2）作图可得过P点与原点O距离最大的直线是 过P点且与PO垂直的直线， 由lOP，得klkOP=-1，所以 由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2), 即2x-y-5=0. 即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的 直线，最大距离为 （3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超 过 的直线，因此不存在过P点且到原点距离 为6的直线.,探究提高 （1）注意讨论斜率不存在的情况. （2）数形结合是解决解析几何问题特别要注意 的一种思想方法. 知能迁移3 已知三条直线l1：2x-y+a=0（a0）, 直线l2
12、:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离 是 . (1)求a的值; (2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个 条件: P是第一象限的点;P点到l1的距离是P点到l2的 距离的 ;P点到l1的距离与P点到l3的距离之比 是 .若能,求P点坐标;若不能,说明理由.,解 (1)l2即为2x-y- =0, l1与l2的距离 a0,a=3.,(2)假设存在这样的P点. 设点P(x0,y0),若P点满足条件,则P点在与l1、l2 平行的直线l：2x-y+C=0上， 且 即C= 或C= ， 若P点满足条件，由点到直线的距离公式,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|， x
13、0-2y0+4=0或3x0+2=0； 由于P点在第一象限，3x0+2=0不满足题意. 联立方程 联立方程 假设成立，P 即为同时满足三个条件的点.,题型四 对称问题 【例4】（12分）求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程. 转化为点关于直线的对称，利用方程 组求解. 解题示范 解 方法一 由 知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1）， 2分 设直线l2的方程为y+1=k(x+2), 即kx-y+2k-1=0. 3分 在直线l上任取一点（1，2），,思维启迪,由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等， 5分 由点到直线的距离公式得 8分 解得k= (k=2舍去
14、)， 10 分 直线l2的方程为x-2y=0. 12分 方法二 设所求直线上一点P（x,y）, 则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于 直线l对称. 由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点 在直线l上. 6分, 变形得 8分 代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2(y-1)+3, 10分 整理得x-2y=0. 所以所求直线方程为x-2y=0. 12分,探究提高 对称问题是解析几何中的一个重要题 型，是高考热点之一.两条曲线关于一条直线对 称常转化为曲线上的点关于直线对称来解决.求 点P（x0,y0）关于直线l:Ax+By+C=0的对称点 Q（x1,y1）的坐标，可利
15、用PQl及线段PQ被l 平分这两个条件建立方程组求解,本题方法二就 是利用这种方法结合“代入法”求轨迹方程的 思想方法解题，这是解这类问题的一个通法.,知能迁移4 光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直 线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线 方程. 解 方法一 由 得 反射点M的坐标为（-1,2）. 又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设P关 于直线l的对称点P(x0,y0)，由PPl可 知,kPP=- =,而PP的中点Q的坐标为 Q点在l上，3 -2 +7=0. 由 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线 的方程为29x-2y+33=0.,方法二 设直线x
16、-2y+5=0上任意一点P（x0,y0）关于 直线l的对称点为P(x,y),则 又PP的中点 在l上，,可得P点的坐标为 代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0, 所以所求反射光线所在的直线方程为29x-2y+33=0.,方法与技巧 1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对 于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1l2 k1=k2；l1l2 k1k2=-1.若有一条直线的斜率不 存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别 注意. 2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点 的对称.利用坐标转移法.,失误与防范 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线 的斜率是否存在.两条直线都有斜率，可根据判 定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑.,思想方法 感悟提高,一、选择题 1.若点（5，b）
