《静电场的标势及其微分方程教学讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《静电场的标势及其微分方程教学讲义（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,第二章 静电场,2,1 静电场的标势及其微分方程,一、静电场的标势,对于静电场,引入标势（标量函数）,3,静电场电场强度的积分与路径无关，只取决于初末位置。 标势就是电磁学中的静电势。,某点电势值与参照点的选择有关，常选无穷远处电势为0，P 点的电势为,对于空间中两点,4,对于单个点电荷系统：,对于多个点电荷系统：,对于电荷连续分布的带电体 ：,二、静电势的计算,三、静电势满足的微分方程及边值关系,1. 静电势满足的微分方程,对线性均匀介质,这称为Poisson方程。,6,j 为导体外表面附近的电势，法向由导体内指向导体外,对于导体,电势的另一边值关系由电场法向分量边值关系得到，,7,线性
2、介质中静电场的总能量,上式还可以表为,四、静电场能量,8,不应视为电场的能量密度。 对于静电场，也不能认为电场能量只是存储于电荷分 布的空间，更不能认为存储于电荷； 只是对于静电场，能量才可表为 这表明电场能量与电荷分布有关 。 对于随时间变化的电场，磁场亦要激发电场，电场总能量 不能完全通过电荷分布来表示。,讨论：,9,设坐标原点O 的电势为零,均匀电场不衰减，不宜选无穷远处为零势点。,导线单位长度带有电荷为t, 在P 点的电势为,解：,解：,Ex. 2 均匀带电的无限长直导线的电势。,Ex. 1 均匀电场的电势。,10,积分结果是发散的。这是由于电势零点（无穷远处）选择不当造成（电荷分布至
3、无穷远），重新选择在面上距离导线R0 的P0点为零点，仅考虑-M 到M 的有限导线，,11,对于无穷长的导线,（利用了洛比达法则）,设P0点为电势零点,由高斯定理可得相同结论。,12,静电学的基本问题：求满足边界条件的泊松方程的解。,在什么样的边界条件下，电场是唯一的？,考察系统：含有介质空间V 可分为若干个均匀区域Vi，其中区域Vi 内充满电容率为ei 的均匀介质。,唯一性定理：给定区域内自由电荷分布，且给定边界面上,或者,，则区域内电场唯一确定。,2 唯一性定理,问题：,讨论：,1）在数学上矢量场的唯一性定理：一个矢量场被它的散度、旋度和边值条件唯一确定。 2）上述条件决定的静电势可以相差
4、一个常数，它们对应同一个电场。,一、绝缘介质情形的唯一性定理,13,(反证法 ) 假设存在两个不同的解,满足方程和边界条件。令,，在每个均匀分区内有,在两均匀介质分区的分界面上,证明：,14,对第i 个均匀介质分区，运用高斯定理，有,对于上式左端积分，在分界面两边，有,所以，在内部分界面上的积分为0，,第一种情形：给定外表面上电势,上式左端积分为零。,第二种情形：给定外表面处法向微商,上式左端积分也为零。,15,电势附加常量对电场无影响，所以电场是唯一确定的。,第一类：给定导体表面上的,第二类：给定导体上的电荷,对于第一类边界条件，只要把导体存在的空间扣除，即可证明电场被唯一确定。 对于第二类
5、边界条件，在导体外，电荷分布给定，大区域表面上电势或电势的法向导数给定；每个导体上的总电荷给定。,二、有导体存在情形的唯一性定理,1. 两类边界条件,16,对于第i个导体，选择包裹该导体的封闭曲面为高斯面，,法线方向由导体内指向外。,（反证法）设有两个不同电势均满足Poisson方程，令,对于每个导体,证明：,17,对于扣除导体的空间体积,导体表面电势是常数，,（不能写为零）,在区域外表面，,。所以，,电场唯一确定。,可以猜想，电场强度,这样的电场强度对应的电势满足Poisson方程。,这样的解在介质分界面处满足边值关系：电场强度切向分量连续，电位移矢量法向分量连续；导体表面是等势面。,Ex.
6、,18,只要满足导体球上带电量为Q 的条件，由唯一性定理，猜想的电场就是要求的解。 作一包裹导体球的Gauss面，,19,如果在考察的空间内没有电荷分布，电势满足Laplase方程,它可以用分离变量法求解。在球坐标下,其解为,为缔合勒让德（Legendre）函数。,静电场问题变为根据边值关系确定式中待定系数的问题。,3 拉普拉斯方程 分离变量法,20,轴对称情形：,为Legendre函数。,21,由于系统具有球对称性，所以电势应该与q 无关，有n =0,内部导体球接地，,导体壳是个等势体，,选择包含球壳的面为高斯面（有两个球面）,Ex. 1 接地导体球与带电导体球壳,22,无穷远处电势为零，,
7、现求解导体球上感应电荷，选择包裹导体球的球面为高斯面，,23,极化电荷是有限的，对无穷远处的 电场无影响。所以，在无穷远处,Ex. 2 均匀外电场中的介质球。,在坐标原点，电势应有限，,24,在介质球表面处，电势满足,勒让德函数是相互正交独立的函数，所以对于不同的n 值，它们的系数应该相等。,比较P1的系数，,25,比较Pn (n不为1)的系数，,所以,26,1）球内电场,如右图所示，,球内电场比原电场弱。,讨论：,27,2）介质球内的极化强度,介质球的总电偶极矩,电偶极矩激发电场的电势,这正好是球外电势中的第二项。,实际运用：静电选矿,矿石粉碎为小颗粒，每个颗粒电偶极矩,在外场中，电偶极子所
8、受力为,电偶极矩与电容率有关，不同矿物质所受外电场的作用力不同，可以根据这一原理挑选出不同的矿物质。,28,无穷大尖劈具有平移不变性，根据几何特征，选柱坐标是方便的。在尖劈以外,由于电势与Z 无关，,设,当n =0 时，,当n 不为零时，,Ex.4 导体劈尖。,29,现利用边界条件求待定系数： 1）在q =0 表面，电势为常数且与 r 无关，,2）当 r 趋于零时，电势有限,所以，电势为,3）在q =2p - a 表面，电势亦为常数，且与 r 无关，,要唯一确定电场，还需要另外的边界条件。,30,利用电场强度的边值关系，,若a 很小，,。对于尖劈的两个表面，均有,可见电荷在尖角附近分布很密集，
9、尖角附近存在很强的电场。,在尖角附近（ r 趋于零）,。注意到柱坐标下,讨论：,31,在有的情况下，可以用“假想”的点电荷去“等效”替代感应电荷（或束缚电荷），这种方法就是镜像法。 用镜像法求解电场，应遵循的原则：,在考察空间（无自由电荷分布），电势满足Laplace方程； 电势在边界面满足边界条件。,用镜像法求解电场的理论根据是唯一性定理。,考察空间：导体板上部空间（导体板接地，所以电场仅存在于导体板上部空间。,镜像电荷：用等效电荷代替导体板上的感应电荷。 且分布在对称位置。,在导体板上部空间，电势为,4 镜象法,Ex. 1 求导体板上部空间中的电场。,32,考察空间：导体球外部空间。 镜像
10、电荷：用位于对称轴上的等效代替导体球面上的感应电荷。,球面上任意点P 的电势,镜像电荷不应随P 变化，,。若镜像位置满足,由三角形相似，,Ex. 2 接地导体球外空间的电场。,33,导体球外部空间的电势为,讨论：,取包裹导体球的球面为Gauss面。对原系统，面内包含全部感应电荷；对等效系统，高斯面上电场与原系统一致。所以感应电荷的总电量就是镜像电荷。 因为|Q| Q，仅有部分电力线终止于球表面，另外的电力线终止于无穷远。,34,从导体球发出的总电通量为,在上题的系统中，在球心处再放一镜像电荷Q（等效系统由Q、 Q、 Q组成），球面上仍是等势面。由电通量条件，,电荷Q 所受作用力为 Q和 Q 对
11、它的作用力。,Ex. 3 导体球外空间的电场。,35,函数展开:,展开适用条件:,对于小区域分布的电荷系统，,，展开电势,6 电多极矩,一、电势的展开,36,令,电偶极矩,电四极矩,对于多点电荷系统，电偶极矩,对于电荷连续分布带电体，电偶极矩,电四极矩可用张量（并矢）表示,两个三维矢量,可以构成并矢,说明：,关于并矢 ：,37,它有9个分量，可以用33矩阵表示,另一个并矢,并矢的标积 ：,。 对于各个分量都要计算。,38,电势展开:,电势展开式第一项,为点电荷激发的电势。,电势展开式第二项,二、电多极矩及其电势,39,考察右图所示电偶极子在远区（Rl）激发的电势,40,可见电势展开式第二项是电
12、偶极子激发的电势。,电势展开式第三项,是电四极矩产生的电势。,可见：电势 = 点电荷激发电势电偶极矩激发电势 电四极矩激发电势。,右图所示系统总电荷为零，电偶极矩也为零，只有电四极矩（的某些分量）不为零。 这样的系统的电势只有电四极矩（非零分量）激发的电势。,三、几种具有电四极矩的简单系统,41,以第三个系统为例，正、负点电荷距离原点分别为b 和 a,单个电偶极子激发的电势,双电偶极子激发的电势,。作展开,42,电势展开式第三项,这就是电四极矩激发的电势。,四、关于电四极矩,1. 电四极矩的重新定义,43,引入Kronecker符号,重新定义电四极矩张量,或表为,与前面定义的电四极矩张量相比，
13、对角线上元素不同，但非对角线上元素是相同的。,电四极矩的性质：1）,2）,电四极矩的9个分量中只有6个是独立的。,44,对于非对角项,作变换,，可知,球对称电荷分布系统也没有电偶极矩，没有更高阶极矩。,电四极矩反映了电荷分布对球对称的偏离。（应用：核物理中，可通过测量远场电四极矩项推算原子核形变。）,Ex. 球对称电荷分布系统。,Ex. 在z轴方向拉长的椭球（电荷分布均匀）。,45,旋转椭球体，其半长轴为a ，半短轴为b，椭球方程为,椭球体积为,电荷密度为,由,令,同样可得,46,在远处的总电势,小区域电荷系统与外界的相互作用能,五、电荷体系在外场中的能量,47,1）展开式中三项分别是点电荷、电偶极子、电四极子在外场中的能量。 2）电四极子只有在非均匀外场中才有不为零的相互作用能。 3）关于电偶极子 偶极子在外场中所受力,利用公式,电偶极子在外场中所受力矩:设偶极矩和外场夹角为q,一般地，,
