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1、电磁场,欢迎学习,电磁场教案,公共邮箱文件中心网盘： 账号：scu_ 密码：scu2015142536,泊松方程,所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件下寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。(解二阶偏微分方程),微 分 方 程,边 界 条 件,外边界条件,内分界条件,环路定律,高斯定律,静电场定解问题,1.4 静电场定解问题（边值问题）,静电场定解问题,静电场定解问题,1.5 分离变量法,分离变量法采用正交坐标系，将变量分离后得到微分方程的通解， 当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。,1.5.1 解题的一般步骤：,2）分离变量，将偏微分方程分离成几个常微
2、分方程；,3）解常微分方程，并叠加得到通解；,1）写出边值问题（微分方程和边界条件）；,4）利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的特解。,只含有一个变量的微分方程，采用积分法求解。含有两个变量的微分方程，可以采用分量变量法求解。,例1.5.1 试求长直接地金属槽内电位的分布。,解: 1）确定边值问题,1.5.2 应用实例,1. 直角坐标系中的分离变量法（二维场）,2）分离变量试探解,则,-分离常数,设,代入微分方程得,电位方程为,二阶常系数齐次方程,拉普拉斯方程,双曲函数,即 kn 为实数时，,若 ，,若 ，,若 ，,3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。,4）利用给定边界条件确定积分常
3、数，最终得到电位函数的解。,通解,沿 x方向作正弦变化，知,题设,比较系数求常数,当 时，,当 时，,等式无法成立！,若金属槽盖电位 ，再求槽内电位分布？,通解,等式两端同乘以 ，然后从 积分,左式,当 时，,右式 ,代入式（1）,代入通解,n奇数,图1.5.3 接地金属槽内 的等位线分布,解：1）取圆柱坐标系，边值问题,根据对称性,例1.5.2 垂直于均匀电场 E 放置 一根无限长均匀介质圆柱棒 ， 试求 圆柱内外 和 E 的分布。,均匀电场中的介质圆柱棒,自然边界条件,当 时，,当 时，,代入方程整理,分离变量,设,3）通解,拆分为两个方程,2）,根据 （自然边界条件），得,当 时，,根据
4、,4）利用给定边界条件确定积分常数,当 时，,通解,比较系数,当n=1时，,当 时，An=Bn= 0， 则最终解,由分界面 的衔接条件，得,介质圆柱内外的电场,求电场强度E,1.6 有限差分法,1.6.1 二维泊松方程的差分格式,（1）,二维静电场边值问题,基本思想：将场域离散为许多网格 ，应用差分原理，将求解连续函数 的微分方程问题转换为求解网格节点上 的代数方程组的问题。,（2）,有限差分的网格分割,通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为 h ,节点0,1,2,3,4上的电位分别用 表示。,令 h = x - x0，将 x = x1 和 x3 分别代入式 ( 3 ),（3）,
5、由式（4）+（5）,（6）,（7）,同理,沿 x方向在 x0 处的泰勒公式展开为,当场域中,若场域离散为矩形网格, 宽h1高h2，差分格式为,1.6.2 矩形网格剖分,五点差分格式,将式(6)、式(7)代入式 ，得到,即,应用五点差分格式构建方程组,右图，对该区域划定 4 4 方格，内点为 1-9，边界为 f1-f16，对待求的 9 个点，逐点列差分方程,在场域内每一节点都有一个差分方程，再结合边界上的电位关系，构成方程组，联立求解可得各个节点的电位值。,1.6.2 边界条件离散化（Discrete Boundary Condition),第二类边界条件,第一类边界条件,分界面衔接条件,对称边
6、界条件,其中,图1.6.5 介质分界面,图1.6.3 对称边界,图1.6.4 对称分界,1.6.3 差分方程组的求解方法 ( Solution Method ),2、高斯赛德尔迭代法,迭代过程直到节点电位满足 为止。,3、超松弛迭代法,式中：a 加速收敛因子（1 a 2）,网格编号,1、基本迭代法,一般迭代式：,边界节点赋已知电位值,赋内节点电位初始值,累计迭代次数 N=0,N=N+1,按超松弛法进行一次迭代，求,打印,N,Y,程序框图,作 业,分量变量法：P35: 1-5-1,有限差分法：P40: 1-6-3,电磁场有限元法（Finite Element Method, FEM）,有限元法可
7、以基于变分原理导出，也可以基于加权余量法导出，本节以加权余量法作为有限元法的基础，以静电场问题的求解为例介绍有限元法的基本原理与实施步骤。,加权余量法回顾： 对算子方程 用 作近似解： 代入方程得余量：,1. 有限元法基本原理与实施步骤：一维问题,在有限元法中，基函数一般用 表示。采用Galerkin方案，取权函数与基函数相同，使其与余量正交化：,i 基函数；i 系数,权函数,L( ) 为线性算子,若 L为线性算子，设 ，代入加权余量正交公式得,或,得代数方程组：,加权余量法回顾（续）,记,求出矩阵u得离散解.,利用有限元法求解一维边值问题： （1）单元剖分 如图5个单元，6个节点 （2）选取
8、基函数,（3）方程离散 （计算系数阵 K 和右端项 b）,整理矩阵方程：,强加边界条件：u1 = 0, u6 = 0,（4）求解方程,思考：（1）有限元的解跟有限差分法的解有何根本不同？ （2）有限元的系数阵总是对称的吗？,与有限差分法（FDM）相比，有限差分法是对点的离散，得到一系列离散点上的解；而有限元（FEM）是对区域的离散（单元），尽管所求的是节点上的自由度，但它的解在场域中每一个点上都有定义。 所以，即是有限元节点上的解是精确的，有限元的整个解仍然是近似的。好的数据处理技术可以从该近似解中提取更精确的分析结果。 线性单元中，如果所求的自由度是电位j，单元中的电场 E是场量；节点上的
9、E 取邻近单元的平均。,一些补充说明：关于有限元的解,以二维静电场泊松方程的求解为例。,2. 有限元法基本原理与实施步骤：二维问题,目标：依据加权余量法，利用分域基，建立离散的代数方程组，即确定系数Kij 和bi。,场域离散 二维问题常使用三角形单元离散，便于处理复杂的场域形状，容易实现。,单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是 单一、均匀的。 节点：网格的交点，待求变量的设置点。,该步骤需要记录的信息： 节点编号、节点坐标 节点属性(激励源、是否边界等) 单元编号 单元节点编号 单元介质,基函数,有限元采用分片逼近的思想，类似于一维情况下使用折线逼近一条任意曲线。 使用分域基Ni，基
10、函数的个数等于节点的个数；每个基函数Ni 的作用区域是与该节点 I 相关联的所有单元。,记住我们的任务 寻找基函数,对比,可得,基函数Ni常被称为插值函数或者形状函数，具有以下性质： （1）是插值的； （2） （3）在相邻单元的公共边界上， Ni是连续的，从而通过Ni构造的逼近函数也是连续的。,单元节点的编号按逆时针方向排列！,其中，,在积分 中，对于确定的 i，j的有效取值为i 本身以及与节点i相联的周围节点，积分的有效区域为以i、j 为公共节点的所有三角形单元 ，在这些单元中Ni、Nj才有交叠。,计算系数阵,单元分析：计算单元内积分对系数阵和右端项元素的贡献。,系数阵元素：,当L为拉普拉斯
11、算子时，由于Ni在单元内是(x, y)的线性函数，经Laplace算子作用后值为0。 但是，在相邻单元的边界上， Ni是连续但是不光滑的，因此对积分的贡献主要来自边界。 为考虑单元边界的影响，需要借助于格林公式：,整体矩阵合成：,对于静电场问题，媒质分界面衔接条件为,媒质交界面衔接条件,第一个条件是自动满足的（Why？），无须格外处理。,对于第二个条件，前面计算单元边界上积分 时，默认两边 u 的法向导数相等，使内边界上的积分结果抵消。因此只要把泊松方程写成 或 满足的条件将是 , 从而也无需另行处理。,有限元方法的推导过程虽然看起来有些复杂，但是最终结果是非常简单而且优美的。因为边界条件的处
12、理和媒质交界面条件的处理都非常方便，使得有限元方法在处理复杂媒质问题和复杂场域问题时得心应手，获得了广泛的应用，成为最重要的数值分析手段，广泛应用于各个领域。有人用“功盖四方”来形容有限元，实不为过。,由于有限元方法能够自动满足媒质交界面条件，因此有限元法特别适合于处理多层复杂媒质问题。这是其它方法无可比拟的。,小 结,单元矩阵元素计算公式：,单元右端项计算公式：,二维边值问题一般形式,在媒质交界面G12 上的条件自动满足； 第一类边界条件需要强加； 第三类边界条件的计算。,第三类边界条件中，如果g = 0则成为第二类边界条件；如果再有 q = 0 则自动满足，无需任何处理。,二维静电场：,无限远边界条件,静电场分析,电力线平行与垂直边界条件,注意与下式的区别：,轴对称静电场：,无限远边界条件,静电场分析,如果不将 r 看作系数，有 系数阵将不再对称。,Thanks！,
