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1、浅谈摄动理论及其工程应用摘 要奇异摄动方法是求含有小参数的微分方程在整个区域上一致有效渐近解的一类近似方法的总称。它是1892年由Poincar倡导创立的。奇异摄动方法自诞生之日起，便被广泛应用于力学、天文学等诸多科学领域之中。实用性是奇异摄动方法最突出的品质。在柔性关节机器人的控制研究中，实现定位目标的同时必须快速消除柔性振动。根据奇异摄动方法，提出了基于慢时标子系统和快时标子系统的混合控制方法。本文分为四个部分。其中，第一部分为引言，对应用数学的产生做了简要介绍；第二部分对摄动理论的发展现状进行了总结，阐述了摄动理论与应用数学的关系及其在工程应用问题中的经典方法；第三部分以柔性关节机器人控
2、制系统为工程背景，对奇异摄动方法的应用进行了详细的阐述。通过奇异摄动方法实现了对具有鲁棒性的双时标混合控制系统的设计；第四部分是总结部分。关键词：奇异摄动；一致有效；柔性关节；混合控制；一、引言数学作为研究数量关系和空间形成的一门学科，起源于人类社会生产实践的需要，并随着社会的进步和数学自身矛盾的解决而发展，以自身矛盾为研究对象的数学，人们称之为纯粹数学，其突出的特点是高度的抽象和理论的严谨。而以现实世界的物质运动和人类社会的实际活动为背景的数学，则称之为应用数学，其突出的特点是实际的背景和具体的应用。作为应用数学一部分的摄动法是最重要的一种求解非线性问题的近似方法，它正受到国内外学者越来越普
3、遍的重视，已被公认为数学、物理、力学、化学、生物学以及各种工程技术科学中研究非线性问题的基本工具之一，也是现代应用数学、计算数学和力学工作者所必须掌握的基础知识。二、摄动理论的现状与发展2.1 应用数学的产生及其特征在19世纪末，当时的工业落后，无论是引进技术还是自己动手搞大工业实验都力不从心，只好求助于数学，崇尚应用数学的研究蔚然成风，形成了著名的哥廷根应用数学学派。最早使用“应用数学”这一名称是本世纪四十年代的美国数学家。第二次世界大战期间，许多军事问题如“密码破译、潜艇的系统搜索、原子弹”都与数学有密切的关系。数学家为战争的胜利作了重大的贡献，这也促使美国政府和军界在战后对应用数学的研究
4、继续提供有力的支持和资助，使得应用数学在当今的美国充满生机、最优活力的学科之一。应用数学侧重解决实际问题，来源于数学学科以外的其他学科提出的数学问题。应用数学容许用不完全严格的推理和运算去求解数学模型。这是因为将实际问题归结为数学模型时，人们必训抓住主要矛盾而省略次要因素。使用的参数和数据难免不完全或有测量误差，计算时也往往会有舍入误差、截断误差和误差的积累。而实际问题也往往容许一定程度的误差，有时一些问题虽然有严格的数学解，但实际应用时不方便，因此人们宁可要那些虽然不够严格但是简单实用的解。2.2 摄动法的产生及其与应用数学的关系随着经济建设和科学技术的发展，现代的工程技术人员、物理学和数学
5、工作者面临的许多实际问题，应用数学从这些实际问题中归结出来的数学模型，常常是非线性、变系数的微分方程，附以非线性的边界条件或初始条件，有些问题的边界形状相当复杂，有些边界本身是不确定的1。这些问题绝大多数求不出精确解，或者虽可求出精确解但对于物理上或数学上不便使用。为了解决这些问题，人们不得不求助于近似解、数值解或两者相结合的形式，从而逐步形成和发展了奇异摄动理论和各种渐近方法，亦称摄动方法。“摄动”一词源于天体力学，而摄动方法则是近百年来由许多数学家、力学家和物理学家共同建立并发展起来的具有广泛应用的一类重要方法。从近半个世纪来看，其发展十分迅速，摄动方法是求现代技术和科学问题分析的最有力的
6、数学工具，应用领域尤为广泛。现在已被公认为数学、力学、理论物理、化学、生物学及各种工程技术科学中研究非线性微分方程的基本工具之一，也是应用数学的重要学科之一。摄动方法是寻求代数方程、超越方程、微分方程、积分方程等方程近似解的一大类方法的总称，是方程近似求解中最主要的方法。按照这些方法，解是用一个渐近展开式的开头几项（一般不多于两项）表示。在实际问题中，人们经常会遇到兼具快、慢变化的统一过程。描述它们的方程多是变系数的、非线性的，定解条件可能是不确定的、非线性的，用一般参数展开得不到一致有效的近似解，而使用通常的数值解法又会出现病态矩阵，因而吸引了许多数学和其他各门科学技术工作者，他们在正则摄动
7、理论的基础上，发展了奇异摄动理论。应该指出，摄动方法在数学上并非十分严谨。其处理技巧和适用性有时没有一定规律可循，需要对实际背景有相当的了解，并借助经验和直觉才能顺利地运动这种数学工具来解决实际问题。尽管如此，人们还是在实践中不断丰富发展着这一理论。究其原因，就在于它的实用性。摄动方法的产生可溯源到十九世纪末期天文学家Lindstedt(1882), Bohlin(1889), Gylden(1893) 等人的工作。它们利用小参数的幂级数来研究行星的运行问题，这些幂级数虽然是发散的，却正确地描述了客观现象，引起了人们很大的惊异。1892年杰出的数学和力学家庞加莱(Poincar)证明了这些发散
8、级数是一种所谓渐近级数，当参数充分小时，它的前几项之和可以充分接近原来的问题的解。从而为这种“小参数法”或“摄动法”建立了理论基础。1903年Prandtl边界层理论对航空工作的发展有着划时代的意义，而且这一理论也是以后发展起来的渐近展开法的物理模型和雏形；Lighthill2和郭永怀3在研究超音速流锥形激波和平板边界层时，分别发展了Poincar的思想，形成了著名的PLK方法。然而，奇异摄动理论的应用不仅仅局限于此。就其在船舶流体力学中的应用来说，自Peters和Stroker用小参数法研究薄船和扁船的垂荡和纵摇运动以来，摄动法便被引进了船舶流体力学领域。而后经过Ursell, Newman
9、, Maruo等人的努力，到了上世纪60年代末期，新切片理论获得成功，开创了理论预报实船的时代。与此同时，Newman和Ogilvie, Adach等都系统的总结了这方面的进展，并将其建立在匹配渐近展开方法的基础上。1969年Ogilvie和Tuck提出了所谓合成的纵摇切片理论，Troesch则把它推广到水平面内运动的情形。1978年Newman提出了同意的船舶运动理论，并由Scalvanous加以实现。Maruo在1978年也提出过不同的细长体理论的改进4，所有这些工作都采用了匹配渐近展开方法。兴波阻力的研究方面，从Michell的薄船理论开始，经过近七十年的努力，人们终于认识到：引入自由面
10、条件的非线性是改善理论的唯一途径。为了克服自由面上非线性条件带来的困难，人们尝试使用各种奇异摄动方法，多数获得了部分成果，其中包括匹配渐近展开的细长体理论5、伸缩坐标的薄船理论6，WKB的慢船理论等等。此外，奇异摄动方法自上世纪60年代开始便应用于控制理论的研究方面。其中，对线性奇异摄动系统H的控制问题的研究起步较早。利用微分对策方法对标准奇异摄动系统H的最优控制问题及利用广义系统对其非标准问题均进行了研究。同时，对基于Lyapunov函数的非线性奇异摄动系统的稳定性及复合Lyapunov函数的存在性等进行研究7。2.3 奇异摄动方法的工程应用自20世纪80年代中期以后，以积分流形为主要工具的
11、几何方法在非线性奇异摄动系统的控制设计中异军突起8，形成了一个重要的研究方向。积分流形的研究大量集中于所谓“快执行器驱动型”系统，即控制量仅出现在快系统中。其基本特点在于：只要快子系统的状态进入该流形，则它的动力学将完全由该积分流形来描述，如果此积分流形是稳定的，则快子系统就是稳定的。尽管如此，积分流形的求解确实比较困难的，一般通过渐近展开的方法来逐步求解，理论上可以获得任意高的精度，然而过高的精度要求会使得推到极为繁琐。 通过积分流形与奇异摄动建立的模型在电机驱动系统、柔性关节机器人中较多见。在宏-微机器人中，微机器人的物理参数一般比宏机器人小。如何充分利用宏-微机器人包含“快-慢”系统的特
12、性，采用奇异摄动方法建立时标分离的标准模型，是解决柔性关节机器人控制问题及提高控制系统鲁棒性的重要依据。对于刚性机器人，在对其执行机构动力学进行研究时，其中的快变量也不可忽略。如何针对末端执行器与刚性环境接触的受限机械臂、由马达中枢电流体现出来的快动力学物理量，建立奇异摄动模型，是解决该类工程问题的关键。对于轮式移动机器人，非完整约束是其重要特点。其非完整约束通常是由于实际移动过程的无滑动假设而引出的，但对于实际的移动机器人，理想的无滑动假设是难以满足的，因而近年来针对非理想的非完整运动学约束的控制为题得到了关注，奇异摄动技术作为处理这类问题的有利工具，也得到了深入研究。对于具有柔性关节的机器
13、人而言，在实现定位目标的同时必须快速消除柔性振动。奇异摄动法和双时标分解为混合控制方法的提出奠定了基础。通过将控制系统分解为慢子系统与快子系统，可以实现柔性关节机器人的有效控制策略。奇异摄动作为解决工程问题的重要应用数学方法，在长期的发展过程中逐渐完备，并形成了几大分支，由此也产生了几种为学者所熟知并推崇的几种经典方法。它们分别是：伸缩参数法（Lindstedt-Poincar技巧）、Lighthill技巧、重正化方法、多重尺度法及匹配渐近展开法等9。正如前文所述，任何一种应用数学方法的产生都是与实际的工程问题息息相关的。这几种经典方法在各种工程应用问题中也具有深远的意义，为各门应用学科的发展
14、提供了强大的理论依据和数学工具。2.3.1 伸缩参数法（Lindstedt-Poincar技巧）这种技巧是由十九世纪天文学家Lindstedt等为在方程u+02u=fu,u, 1 (2-1)的摄动解中避免长期项的出现而发展的。其基本思想是基于试验和既得的精确解中观察到非线性使系统的频率从线性的0（常值）改变为()。依据这种方法，我们把系统的因变量u和频率都按的幂级数做展开。由于不显含在微分方程中，因而我们先在扰动方程中引进变换s=t (2-2)得到2u+02u=f(u,u) (2-3)上式中导数是关于s的。然后在变换后的方程中，令us,=u0s+u1s+, (2-4)=0+1+ (2-5)并令
15、的同次幂系数相等，便得到可逐个求解un的一系列方程。再通过参数n的选取，使长期项消失。这个技巧已经广泛应用与物理和数学领域中。比如：Keller将这个技巧应用于常微分方程组的边值问题。这个技巧和Ritz-Galerkin的方程相结合常被应用于弹性体的动力反应。2.3.2 Lighthill技巧Lighthill技巧的实质是用小参数的幂展开因变量u(x1,x2,xn;)和自变量中的一个，比如x1。Lighthill引进了一个新的自变量，然后同时展开u和x1为的幂形式，洗漱依赖于s，此时u=m=0mums,x2,x3,xn, (2-6)x1=s+m=1mm(s,x2x3,xn) (2-7)若以x1代替(2-6)中的s，则(2-6)便是Poicare型直接展开式。由于这种展开式不是一致有效的，所以Lighthill引入(2-7)，意在通过伸缩函数m的选取，使得展开式(2-6)和(2-7)均一致有效，而这通常是由要求um/um-1和m/m-1有界来实现的。Lighthill技巧是伸缩参数方法的推广，这个技巧已由郭永怀加以变形并应
