离散型随机变量及其分布列复习课件[59页]

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1、第七节 离散型随机变量及其分布列,1.离散型随机变量 随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个 数,这种对应称为一个_，通常用大写的英文字母如X, Y来表示.随机变量的取值能够一一列举出来,这样的随机变量 称为_.,随机变量,离散型随机变量,2.离散型随机变量的分布列及其性质 (1)离散型随机变量的分布列 设离散型随机变量X的取值为a1,a2，随机变量X取ai的概率为pi(i=1,2，)，记作： _(i=1,2,)， 或把上式列成表,P(X=ai)=pi,p1,p2,表或式称为离散型随机变量X的分布列，记为 (2)离散型随机变量分布列的性质 pi_0(i=1,2,);p1+p2+

2、=_. 3.超几何分布 一般地，设有N件产品，其中有M(MN)件次品，从中任取 n(nN)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么， P(X=k)=(其中k为非负整数).如果一个随机变量的分布 列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布.,1,判断下面说法是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻 画的随机现象.( ) (2)有些离散型随机变量的分布列可以使用公式表示.( ) (3)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1. ( ),(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( ) (5)如果随机变

3、量X的分布列由下表给出， 则它服从超几何分布.( ),【解析】(1)正确.离散型随机变量的分布列是所有离散型随机变量的概率分布情况，因此该说法是正确的. (2)错误.有些离散型随机变量的概率可以用公式表示出来，但分布列不能. (3)错误.由概率分布列的性质可知：在分布列中随机变量的概率之和为1.,(4)正确.因为如果离散型随机变量的各个可能值表示的事件彼此不互斥，则它们的概率之和将大于1，所以该说法是正确的. (5)错误.因为超几何分布中随机变量X的取值应为连续的非负整数. 答案：(1)(2)(3)(4)(5),1.将一颗骰子掷两次，随机变量为( ) (A)第一次出现的点数(B)第二次出现的点

4、数 (C)两次出现点数之和(D)两次出现相同点的种数,【解析】选C.A,B中出现的点数虽然是随机的，但它们取值所反映的结果，都不是本题涉及试验的结果D中出现相同点数的种数就是6种，不是变量C整体反映两次投掷的结果，可以预见两次出现数字的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，共11种结果，但每掷一次前，无法预见是11种中的哪一个，故是随机变量，选C.,2设随机变量X等可能取值1,2,3，n，若P(X4)0.3， 则( ) (A)n3(B)n4(C)n9(D)n10 【解析】选D.P(X4)P(X1)P(X2)P(X3) 0.3，n10.,3.袋中装有10个红球、5个黑球每次随机抽

5、取1个球后，若 取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止若 抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是( ) (A)X4(B)X5(C)X6(D)X5 【解析】选C.由条件知“放回5个红球”事件对应的X为6.,4设X是一个离散型随机变量，其分布列为： 则q等于( ) (A)1(B)1(C)1(D)1 【解析】选C.由分布列的性质得：,5.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道抢答题，比赛规定：对于每一道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得1分)若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是 【解析】甲获胜且获得最

6、低分的情况是：甲抢到一道题并回答错误，乙抢到两道题并且都回答错误，此时甲得1分，故X的所有可能取值为1,0,1,2,3. 答案：1,0,1,2,3,考向1离散型随机变量分布列的性质 【典例1】(1)设随机变量X的概率分布如表所示： F(x)P(Xx)，则当x的取值范围是1,2)时，F(x)( ) (A) (B) (C) (D),(2)已知随机变量X的分布列为 求的分布列.,【思路点拨】(1)由概率分布的性质，可求出a的值，然后求 出F(x)的值. (2)根据Y与X的对应关系求出Y的值及相应概率. 【规范解答】(1)选D.，a. x1,2)，F(x)P(Xx),(2)由题意得， 所以Y的分布列为

7、,【互动探究】在本例题(2)中条件不变，求Y=X2的分布列. 【解析】Y=X2对于X的不同取值-2，2及-1，1，Y分别取相同 的值4与1，即Y取4这个值的概率应是X取-2与2值的概率的和， Y取1这个值的概率也是X取-1与1值的概率的和，故Y的分布列 为,【拓展提升】 1.分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值. (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率.,2.随机变量组合的分布列问题 (1)随机变量X的线性组合Y=aX+b(a,bR)是随机变量. (2)求Y=aX+b的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率

8、写出分布列. 【提醒】求分布列中参数的值时应保证每个概率值均为非负数.,【变式备选】已知某一随机变量X的概率分布如下， 且E(X)6.3，则a的值为( ). (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 【解析】选C由分布列性质知：0.50.1b1， b0.4.E(X)40.5a0.190.46.3, a7.,考向2 离散型随机变量的分布列 【典例2】(1)某射手射击所得环数X的分布列为： 则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( ) (A)0.28 (B)0.88 (C)0.79 (D)0.51,(2)一个均匀的正四面体的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的

9、数字分别为x1，x2，记X(x13)2(x23)2. 分别求出X取得最大值和最小值时的概率； 求X的分布列,【思路点拨】(1)首先弄清“射击一次命中环数大于7”所包含的事件，然后依据概率分布求解. (2)首先弄清随机变量X的所有可能取值，然后求出X的分布列. 【规范解答】(1)选C.P(X7)P(X8)P(X9)P(X10)0.280.290.220.79.,(2)掷出点数x可能是1,2,3,4，则x3分别得：2，1,0, 1.于是(x3)2的所有取值分别为：0,1,4.因此X的所有取值为： 0,1,2,4,5,8. 当x11且x21时，X(x13)2(x23)2可取得最大值8， P(X8)

10、； 当x13且x23时，X(x13)2(x23)2可取得最小值0， P(X0) .,由知X的所有取值为：0,1,2,4,5,8. P(X0)P(X8) ； 当X1时，(x1，x2)的所有取值为(2,3)，(4,3)，(3,2)， (3,4)即P(X1) ； 当X2时，(x1，x2)的所有取值为(2,2)，(4,4)，(4,2)， (2,4)即P(X2) ； 当X4时，(x1，x2)的所有取值为(1,3)，(3,1) 即P(X4),当X5时，(x1，x2)的所有取值为(2,1),(1,4),(1,2),(4,1) 即P(X5) 所以X的分布列为：,【拓展提升】 1.分布列的表示方法 分布列有三种

11、表示形式，即表格、等式和图像.在分布列的表格表示中，结构为2行n+1列，第1行表示随机变量的取值，第2行是对应的变量的概率.,2求随机变量的分布列的三个步骤 (1)找：找出随机变量X的所有可能的取值xi(i=1,2,),并确定X=xi的意义. (2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,). (3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.,【变式训练】盒中装有8个乒乓球，其中6个新的，2个旧的， 从盒中任取2个来用，用完后放回盒中，此时盒中旧球个数 X是一个随机变量，求X的分布列. 【解析】“X2”表示用完放回后盒中只有2个旧球，

12、所以在取球时已经将原来2个旧球全部取出， P(X2) . “X3”表明原来2个旧球只取1个，,P(X3) “X4”表明原来2个旧球1个也不取 P(X4) 所求分布列为：,考向3 超几何分布的概率问题 【典例3】(1)(2013商洛模拟)从4名男生和2名女生中任选 3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是 _ (2)从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回任取 3件，求取得次品数为X的分布列,【思路点拨】(1)先找出随机变量的所有可能取值，再求概率，求概率时注意判断其概率模型. (2)先弄清随机变量的取值，再判断随机变量服从什么分布 【规范解答】(1)设所选女生人数为X，则

13、X服从超几何分布， 其中N6，M2，n3， 则P(X1)P(X0)P(X1) 答案:,(2)本题是超几何分布，可利用超几何分布的概率公式求解 设随机变量X表示取出次品的件数，则X服从超几何分布， 其中N15，M2，n3.X可能的取值为0,1, 2.相应的概率依次为 所以X的分布列为,【拓展提升】 1.超几何分布的两个特点 (1)超几何分布是不放回抽样问题. (2)随机变量为抽到的某类个体的个数. 2.超几何分布的应用 超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于抽查产品，摸不同类别的小球等概率模型.,【变式训练】某师范大学地理学院决定从n位优秀毕业生(包括 x位女学生，3位男学生

14、)中选派2位学生到某贫困山区的一所中 学担任第三批顶岗实习教师每一位学生被选派的机会是相同 的 (1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为 ，试求出n与 x的值. (2)记X为选派的2位学生中女学生的人数，写出X的分布列,【解析】(1)从n位优秀毕业生中选派2位学生担任第三批顶岗 实习教师的总结果数为 2位学生中恰有1位女学生 的结果数为 依题意可得 化简得n211n300，解得n15，n26. 当n5时，x532；当n6时，x633， 故所求的值,(2)当 时，X可能的取值为0,1,2. X0表示只选派2位男生，这时 X1表示选派1位男生与1位女生，这时 X2表示选派2位女生，这时 X的

15、分布列为：,当 时，X可能的取值为0,1,2. X0表示只选派2位男生，这时 X1表示选派1位男生与1位女生，这时 X2表示选派2位女生，这时P(X2) X的分布列为：,【满分指导】离散型随机变量分布列的规范解答 【典例】(12分)(2012大纲版全国卷改编)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.,(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为12的概率. (2)X表示开始第4次发球时乙的得

16、分，求X的分布列. 【思路点拨】,【规范解答】记Ai表示事件：第1次和第2次两次发球， 甲共得i分，i=0，1，2. A表示事件：第3次发球，甲得1分 B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为12. (1)B=A0A+A1 ，2分 P(A)=0.4，P(A0)=0.42=0.16， P(A1)=20.60.4=0.48.4分,P(B)=P(A0A+A1 ) =P(A0A)+P(A1 ) =P(A0)P(A)+P(A1)P( ) =0.160.4+0.48(1-0.4) =0.352.6分,(2)P(A2)=0.62=0.36. X可能的取值为0,1,2,3. P(X=0)=P(A2A)=P(A2)P(A)=0.360.4=0.144. P(X=2)=P(B)=0.352, P(X=3)=P(A0 ) =P(A0)P(A)=0.160.6=0.096.8分 P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)-P(X=3) =1-0.144-0.352-0.096=0.40