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1、瑞士 策马特峰,第五章 大数定律与中心极限定理,第五章 大数定律与中心极限定理,本章要解决的问题,为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？,为何能以样本均值作为总体 期望的估计？,为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？,大样本统计推断的理论基础 是什么？,答复,大数 定律,中心极 限定理,设非负 r.v. X 的期望 E( X )存在， 则对于任意实数 0,证 仅证连续型 r.v.的情形,5.1 大数定律,5.1,设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E( |X |k) 存在，则对于任意实数 0,推论 1,设随机变量 X 的方差 D ( X )存在， 则对于任意实数 0,推论 2
2、 切贝雪夫( chebyshev)不等式,或,当 2 D(X) 无实际意义,马尔可夫 ( Markov ) 不等式,实际精确计算,用Poisson 分布近似计算,取 = 1000,例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 0.76 之间的概率大于 0.90?,解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数 , 则,X B(n,0.75),例2,即,即,由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故,令,解得,大数定律,贝努里（Bernoul
3、li） 大数定律,设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数, p 是每次试验中 A 发生的概率, 则,有,或,大数定律,证 引入 r.v. 序列Xk,设,则,相互独立，,记,由 Chebyshev 不等式,故,在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率,“ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生 的概率是指：,小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频 率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.,贝努里(Bernoulli)大数定律的意义,定义,a 是一常数，,(或,故,在 Bernoulli 定理的证明过程中，Y n 是相互独立的服从 (0 , 1) 分布的 r.v. 序列
4、 Xk 的算术平均值, Y n 依概率收敛于 其数学期望 p .,结果同样适用于服从其它分布的独立 r.v. 序列,Chebyshev 大数定律,(指任意给定 n 1, 相互独立) 且具有相同的数学期望和方差,或,定理的意义,当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.,具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.,近似代替,可被,注2,注1,有,互独立具有相同的分布，且,记,注3,则,则,作业 P185 习题五,3 4,习题,每周一题11,电视台需作节目A 收视率 的调查.每天在播电视的同时, 随机地向当地居民打电话询问是否在看电视. 若 在看电视, 再问是否在看节目A. 设回答,第12周,问 题,看电视的居民户数为 n. 若要保证以 95%的概率使调查误差在10%之内, n 应取多大？,每晚节目A 播出一小时, 调,查需同时进行, 设每小时每人能,调查20户, 每户居民每晚看电视,的概率为70%, 电视台需安排多,少人作调查.,又，若使调查误差在 1 %之内, n 应取多大？,
