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1、导数的几何意义,一、复习,1、导数的定义,其中：,其几何意义是: 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线） 的斜率。,其几何意义是？,2:切线,能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线： 直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线吗？ 如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。,不能,直线与圆相切时，只有一个交点P,P,Q,o,x,y,y=f(x),割线,切线,T,1、曲线上一点的切线的定义,结论:当Q点无限逼近P点时,此时 直线PQ就是P点处的切线PT.,点P处的割线与切线存在什么关系？,新课,设曲线C是函数y=f(x)的图象，,在曲线C上取一点P(x0,y0),及邻近一,点Q(x0+x,
2、y0+y),过P,Q两点作割,线，,当点Q沿着曲线无限接近于点P,点P处的切线。,即x0时, 如果割线PQ有一个极,限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在,曲线在某一点处的切线的定义：,T,此处切线定义与以前的定义有何不同？,圆的切线定义并不适用于一般的曲线。 通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。,l,1,A,B,0,x,y,M,x,y,割线与切线的斜率有何关系呢？,即：当x0时，割线PQ的斜率的极限就是曲线在点P处的切线的斜率，,Q2,Q3,Q4,T,继续观察图像的运动过程，还有什么发现？,当点Q沿着曲
3、线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限.,要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.,函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0
4、)处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是 ： .,故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是:,题型三：导数的几何意义的应用,例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点x=1处的切线方程.,因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: 求出该点的坐标; 利用该点切线的斜率等于函数在该点的导数; 利用点斜式求切线方程.,题型一求曲线的切线方程,导数的几何意义的应用,练习：已知曲线yx2，求曲线过点P(3,5)的切线方程,解点P(3,5)不在曲线yx2上，设切点为(x0，y0)， 由(1)知，y| 2
5、x0， 切线方程为yy02x0(xx0)， 由P(3,5)在所求直线上得 5y02x0(3x0)，,解析答案,反思与感悟,联立得，x01或x05. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时，,h,t,o,导数与函数图象升降的关系： (1)若函数yf(x)在xx0处的导数存在且f(x0)0(即切线的斜率大于零)，则函数yf(x)在xx0附近的图象是上升的； 若f(x0)0(即切线的斜率小于零)，则函数yf(x)在xx0附近的图象是下降的. (2)导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.,反思与感悟,跟踪训练2已知yf(x)的图象如图所示，则f(xA)与f(xB)的大
6、小关系是(),解析答案,返回,A.f(xA)f(xB)B.f(xA)f(xB) C.f(xA)f(xB)D.不能确定,解析由导数的几何意义，f(xA)，f(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f(xA)f(xB).,B,二、函数的导数：,在不致发生混淆时，导函数也简称导数,函数导函数,由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到, 当时,f(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:,函数在点 处的导数 、导函数 、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点 处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。 2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 . 3）,函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。,练习,
