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1、立体几何中的向量方法 -距离问题,向量的直角坐标运算,夹角、,空间两点间的距离公式、,一、直线的方向向量定义 直线L上的向量 以及与向量 共线的向量叫直线L的方向向量.,例：直线L过点P(-2,3,1),Q(1,0,-1)，则直线L的一个方向向量为_,(3,-3,-2),答案：,L,二、平面的法向量定义 如果表示非零向量 的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量 垂直于平面 ，记作 此时，我们把向量 叫做平面的法向量,一、求点到平面的距离,一般方法： 利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度。,还可以用等积法求距离.,向量法求点到平面的距离,其中 为斜向量， 为法向量。,例
2、题,(1) 求B1到面A1BE的距离；,如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：,二、直线到平面的距离,其中 为斜向量， 为法向量。,l,例题,如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：,(2) 求D1C到面A1BE的距离；,三、平面到平面的距离,例题,如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：,(3) 求面A1DB与面D1CB1的距离；,四、异面直线的距离,注意：,是与 都垂直的向量,例题,如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中
3、点，求下列问题：,(4) 求异面直线D1B与A1E的距离.,点到平面的距离：,直线到平面的距离：,平面到平面的距离：,异面直线的距离：,四种距离的统一向量形式：,F,E,B1,C1,D1,D,C,A,练习1： 已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平面DBEF的距离。,B,x,y,z,A1,练习2： 已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，求平面DA1C1和平面AB1C间的距离。,B1,C1,D1,D,C,A,B,x,y,z,A1,练习3: 已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，求直线DA1和AC间的距离。,B1,C1,
4、D1,D,C,A,B,x,y,z,A1,小结,利用法向量来解决上述立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。,练习4： 如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1, ACB=900,AA1= ,求B1到平面A1BC的距离。,x,y,z,练习5： 如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AC=BC=AB=1, AA1=,求B1到平面A1BC的距离。,B1,A1,B,C1,A,C,x,y,z,M,练习6： 已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。,G,B,D,A,C,E,F,x,y,z,S,A,B,C,N,M,O,练习7： 在三棱锥S-ABC中，ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC= ， M、N分别为AB、SB的中点，求：点B到平面CMN的距离.,
