七章Z变换教学文案

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1、,第七章Z变换,本章主要内容,1. 双边Z变换及其收敛域ROC。,2. ROC的特征，各类信号的ROC，零极点图。,4. Z反变换，利用部分分式展开进行反变换。,3. Z变换的性质，常用信号的Z变换。,5. 用Z变换表征LTI系统，系统函数，LTI系统 的Z变换分析法。,6. 单边Z变换，增量线性系统的分析。,7.0 引言：( Introduction ),在第5章，已讨论过复指数信号是一切LTI系统的特征函数 其中,Z 变换与拉氏变换相对应，也是离散时间傅立叶变换的推广。,本章讨论更一般的情况（即 时），称为 z 变换。,Z 变换的许多性质及其分析方法和基本思想都与拉氏变换有相似之处。 当然

2、，Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。,这表明： 的 Z 变换就等于对 做DTFT。 因此，Z 变换是对DTFT的推广。,当 即 时， Z变换就成为离散时间傅立叶变换，故：DTFT是 Z 变换的特例。,由于 在Z平面上是单位圆，因此也可以说：DTFT是在单位圆上所做的 Z 变换。,所以，Z变换是离散时间傅立叶变换的推广，它的适用范围更广，收敛性更强。,三Z 变换与拉氏变换的关系：,设 是对连续时间信号 理想采样后而得到的序列。,对 做拉氏变换有：,对 做 z 变换有：,这表明：采样信号的拉氏变换与采样所得序列的z变换之间，本质上是一种映射关系。即通过 将s平面上的 映射成 z 平面上的

3、。,显然,由 ， ，将 Z 改写为,四. Z 变换与DFT的关系：,如果 是有限长序列，长度为N，则其Z变换为：,此映射关系如图所示：,对 在单位圆上采样可得：,对 做N点DFT有：,这表明：有限长序列的DFT就是对该序列的 z 变换在单位圆上以 为间隔采样所得的样本。这是必然的。因为在单位圆上的z变换就是DTFT，也就是 的频谱。对 z 变换在单位圆上均匀采样，就是对信号 的频谱采样，这就是DFT与频域采样的关系。,7.2 Z 变换的收敛域: ( The ROC for the Z-Transform ),1. 并非任何信号的 Z 变换都存在。,由于z变换是一个无穷级数，与DTFT一样存在着

4、收敛的问题，这意味着：,2. 并非 Z 平面上的任何复数都能使 收敛。,3. Z 平面上那些能使 收敛的点的集合就构成了 的ROC。,几个具体的例子：,一. Z 变换的收敛问题:,例1.,时收敛,当 时 的DTFT存在。,此时，ROC包括了单位圆。,例2.,例3.,当 的收敛域包括单位圆时,例4.,以上实例说明，不同的信号可能具有相同的z变换式，只是ROC不同，因此ROC是至关重要的。只有 z 变换式连同相应的ROC，才能与信号建立一一对应的关系。,例5.,，,一般情况下， 的ROC是 Z 平面上一个以原点为中心的圆环。,ROC:,表明该信号的z变换不存在。,例6.,ROC为整个z平面。,若,

5、无公共区域,二. Z 变换的几何表示零极点图:,在 z 平面上标出 的全部零极点，就构成了零极点图。它与实际的 最多只相差一个常数因子。 如果在零极点图上同时标出ROC，这就是 的几何表示，除了相差一个常数因子外，它与有理 z 变换是等价的。,三. ROC的特征:,由例子可以看出，ROC是由 的极点位置决定的，ROC有如下几个特征:,1ROC是 z 平面上以原点为中心的环形区域。,由于 ，对给定的 ，Z变换收敛与否只取决于 ，而与 无关。,是z平面上以原点为中心，r为半径的圆，所以ROC是以原点为中心的同心圆构成的环域。,2. ROC内无极点。,a. 当 时和式中既有 z 的正幂项，又有 z

6、的负幂项。ROC不包括 z=0 和 。,b. 当 时，和式中只有 z 的负幂项，ROC不包括z0，但包括 。,c. 当 时，和式中只有 z 的正幂项，ROC不包括 ，但包括z0。,4. 右边序列的ROC是最外部极点的外部，但可能不包括 。,设 是右边序列， 时，,则,当 时，由于 展开式中有若干个 Z 的正幂项，此时 不能为 。,5. 左边序列的ROC是最内部极点的内部，但可能不包括 。,若 ， ，则,当 时，由于 的展开式中包括有若干Z,的负幂项，此时 Z 不能为零。,6. 双边序列的 Z 变换如果存在，则ROC必定是一个环形区域。,零点：,在 处，零极点抵消，在有限z平面内无极点。,例2.

7、,在 时，两部分收敛域无公共部分，表明此时 不存在。,时，ROC为,例3.,在有限Z平面上极点总数与零点总数相同。,若其ROC为：,ROC是否包括 是 是否因果的标志。,ROC是否包括 ，是 是否反因果的标志。,ROC包括单位圆，是 傅立叶变换存在的充分必要条件。,7.3 Z变换的性质: ( Properties of the Z-Transform ),Z变换的许多性质与DTFT的性质相似，其推论方法也相同。主要讨论其ROC的变化，借以揭示信号在时域与在 Z 域的特性之间的关系。,1. 线性：,若,如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，则ROC可能会扩大。,2. 时移：,但在 和 可能会有增

8、删。,若,则,由于信号的时移有可能会改变其因果性，故ROC在 ，或 有可能改变。,3. 频移：,若,则,零极点位置将旋转一个角度 。,当 时，有 零极点旋转,4. Z域尺度变换：,若,则,当 时，即为移频特性。,时 收敛，则 时， 收敛，,若 是一般复数 则 的零极点不仅要将 的零极点逆时针旋转一个角度 ，而且在径向有 倍的尺度变化。因此，ROC也有一个 的尺度变换。,5. 时域反转：,若,信号在时域反转，会引起 的零极点分布按倒量对称发生改变。如果 是 的零/极点，则 就是 的零/极点。,即 ： 与 的零极点呈共轭倒量对称。,则 的ROC为,6. 时域内插:,（在序列的每两点之 间插入k-1

9、个零）,则,7. 共轭对称性：,当 是实信号时， ，于是有,表明：如果 有复数零极点，必共轭成对出现。,8. 卷积性质：,包括,如果在相乘时出现零极点抵消的情况，则ROC可能会扩大。,卷积性质是LTI系统Z变换分析法的理论基础。,9. Z域微分：,例1.,利用该性质可以方便地求出某些非有理函数 的反变换或具有高阶极点的 的反变换。,例2：,10. 初值定理：,证明：,初值定理表明：因果序列的 在 时为有限值。因此，当 是有理函数，且表示成关于z 的多项式之比时，其分子多项式的阶数不能高于分母多项式的阶数。否则， 将是非因果的。,11. 终值定理 ：,推论：,这样即可递推出 的任何一点的值。,在

10、单位圆上无极点。,证明：,除了在 可以有单阶极点外，其它极点均在单位圆内，,这表明：如果 有终值存在，则其终值等于 在 处的留数。,Z平面上极点位置与所对应的信号模式之间的关系：,终值定理对 的极点位置的要求，其实就是为了保证信号确实具有终值。,7.4 常用信号的z变换： ( Some Common Z-Transform Pairs ),目的在于利用z变换的性质从简单信号的z变换导出常用信号的z变换对。,1.,ROC：整个z平面,ROC：整个有限z平面,当 时，包括 ，不包括Z=0。,当 时，包括 z=0，不包括 。,2.,3.,5.,根据频移特性，,6.,由Z域尺度变换特性，只需将上例中

11、即可,7.5 z反变换：( The Inverse z-Transform ),一. z反变换：,的z变换就是对 做DTFT，由DTFT的反变换有:,令,当 从 时，Z 沿着ROC内半径为 r 的圆周变化一周。,其中 C 是 ROC 中逆时针方向的圆周。,z反变换表明：信号可以在z域分解为复指数信号的线性组合，这些复指数分量分布在一个圆周上，每个复指数分量的幅度为 。,1. 部分分式展开法：当 是有理函数时, 可表示为,二. 反变换的求取：,假定分子与分母同阶,步骤 ： 1. 求出 的所有极点 ； 2. 将 展开为部分分式；,3. 根据总的ROC，确定每一项的ROC； 4 .利用常用变换对和Z

12、变换的性质，求出每一项的反变换。,例：,第一项的ROC：,第二项的ROC：,2. 幂级数展开法:（长除法）,展开式中 项的系数即为 。当 是有理函数时，可以通过长除的方法将其展开为幂级数。,由 的定义，将其展开为幂级数，有,例.,对前一项按升幂长除，后一项按降幂长除。,第一项的ROC：,第二项的ROC：,长除法的优点是简单，缺点是当 较复杂（含多个极点）时，难以得出 的闭式。,幂级数展开法适用于求解非有理函数形式 的反变换。此时，只要能将 展开成幂级数，即可得到相应的反变换。,7.6 离散时间LTI系统的z域分析:（The Discrete-Time LTI System Analysis i

13、n the z-Domain ),由z变换的卷积性质有,一. LTI系统的z域分析：,ROC包括:,对 做反变换即可得到输出响应 。,称为系统的系统函数。,例.,或,由 可得：,系统函数连同收敛域可以表征LTI系统，借助于系统函数的ROC可以确定系统的因果性，稳定性。,二. 系统函数：,当系统函数是有理函数时，,如果系统是因果的，则 ; 可知,的ROC一定是最外部极点的外部，且包括 。,2. 如果系统稳定，则 绝对可和，也即 存在， 的ROC一定包括单位圆。,3. 因果稳定系统的 的全部极点必须在单位圆内。,三. 系统函数的求得：,1. 由LCCDE描述的系统：,对方程做z变换有,由LCCDE

14、可以方便地求出 。,但由方程并不能确定ROC，需要依据系统的因果性，稳定性决定。当方程具有一组全部为零的初始条件时，系统是线性、因果、时不变的。,2. 由方框图描述的系统：,当系统由方框图描述时，可根据方框图列出相应的方程，进而求得 。,3. 由零极点图描述的系统：,根据零极点图及ROC可写出一个有理函数的 , 最多和实际的 相差一个常数 。,，,由零极点图可以写出：,注意原点处的零点。,7.7 单边z变换:（The Unilateral z-Transform ),一. 定义：,显然，当 是因果信号时，单边z变换与双边z变换相同。因此，单边z变换就是对因果信号所做的双边z变换。,如果信号是非

15、因果的，则 与 不同。,例1:,显然 。这是因为 在 的部分对双边Z变换起作用，而对单边Z变换不起作用所致。,由于单边z变换的定义式中只包括z的负幂项，不含有z的正幂项，因而单边z变换的ROC与因果信号双边z变换的ROC特性相同。即一定是 最外部极点的外部并且包括 ，不可能有其它情况。故对单边z变换不再强调ROC。,只有移位特性例外，因为时域的移位可能会改变信号的因果属性。,二. 单边Z变换的移位性质：,正由于 的单边z变换就是 的双边z变换，当信号的因果性不改变时，双边z变换的性质就是单边z变换的性质。,同理可得：,Proof:,单边Z变换在将LCCDE变换为代数方程时，可以自动将方程的初始条件引入，因而在解决增量线性系统问题时特别有用。,Proof：,同理可得：,7.8 利用单边Z变换分析增量线性系统：,对方程做单边z变换，并引入初始条件可得：,利用单边z变换可以方便地分析增量线性系统,例1：,例2：,对方程两边做单边z变换，并引入初始条件：,零状态响应,