平面运动讲解学习

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1、1,运 动 学,刚体的平面运动,2,本章以刚体平动和定轴转动为基础，应用运动分解和合成的方法，研究工程中一种常见而又比较复杂的运动刚体平面运动，同时介绍平面运动刚体上各点速度和加速度的计算方法。,8-1 平面运动的简化与分解 8-2 平面运动的速度分析 8-3 平面运动的加速度分析,3, 刚体平面运动的分解, 刚体平面运动简化, 刚体平面运动方程,81 刚体平面运动 简化与分解,4, 刚体平面运动实例,6,若刚体在运动过程中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。,7,2.运动模型的简化,刚体平面运动:刚体上同一平面内各点到某一固定平面的距离保持不变。,刚体的

2、平面运动的特点：刚体上平行于固定平 面的所有平面具有相同的运动规律。,8,平面图形S的位置可由其上的任意直线AB完全确定，即这一直线的运动可以代表平面图形S的运动，也就是刚体的平面运动。,刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的平面运动。平面图形在刚体上作平行于固定平面的平面，这样的平面与刚体轮廓的交线所构成的图形。,9,3.平面运动的运动方程式,确定直线AB在Oxy参考系中的位置，需要3个独立变量(xA , yA , j)。其中xA , yA确定点A在平面内的位置； j 确定直线AB的方位。,刚体平面运动方程,10,例8-1 已知曲柄滑块机构中OA=r , AB=l，曲柄OA以等角

3、速度绕O轴转动。求（1）连杆的平面运动方程；（2）连杆上P点(AP=l1)的运动轨迹、速度与加速度。,11,解：,由图中的几何关系，有,(1) 连杆的平面运动方程,12,连杆的平面运动方程为,(2) 连杆上P点的运动方程,13,应用泰勒公式，忽略4次方以上的项，有,所以得连杆的平面运动方程为,14,15,(3) 连杆上P点的速度与加速度,速 度,加速度,连杆的平面运动方程为,16,4 .刚体平面运动的分解,在左面的图中，如果平面图形 S 上的A 点固定不动，则刚体将作定轴转动。,又若在左面的图中，如果平面图形 S 上的 角保持不变，则刚体作平移。,故由此可知,刚体的平面运动可以看成是平移和转动

4、的合成运动。,17,平面运动,平移 (牵连运动),转动 (相对运动),刚体的平面运动可分解为随同基点的平移和相对基点的转动。,18,过图形上一点A假想一个平动坐标系Axy ，通常将这一平移的动系的原点A称为基点，则平面图形的运动可分解为随基点的平动及绕基点的转动。,基点的选择是任意的,19,*平动与基点选择有关（ 平移的轨迹、速度与加速度都与基点的选择有关。），转动与基点选择无关（平面运动的转动角速度以及角加速度都与基点的选择无关）。,20,相对于基点的转动部分与基点选择无关。 凡涉及到平面运动图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点和坐标系，只需说明平面图形的角速度和角加速度。 相对基

5、点(平动坐标系)的转动角速度(角加速度)就是相对于定系的绝对角速度(角加速度).,21, 基 点 法, 速度投影法, 速度瞬心法,82 平面运动的速度分析,22,y,x,O,S,1. 基点法,设在平面运动刚体上取点A为基点，已知其速度为 vA ，平面图形S也即平面运动刚体的角速度为 ，分析图形上任一点B 的速度。,将B点的运动视为复合运动。,绝对运动 未知。,相对运动绕基点 A的圆周运动。 vr= vBA= AB ,牵连运动随基点A的平动， ve = vA 。,动点B点 。,定系固连于地球。,动系以A点为原点的平移系 Axy。,23,定系Oxy,基点A,平移系Axy,平面图形S,平面图形的角速

6、度 ,基点速度 vA,速度合成定理 va= ve+ vr,点B绕点A转动的速度 vBA,1. 基点法,24,平面图形上任意点的速度，等于基点的速度，与这一点对于以基点为原点的平移系的相对速度的矢量和。,va= vB，,ve= vA，,vr= vAB,根据速度合成定理,注意到,则有,有 结 论：,25,应用速度合成定理,vB= vA+ vBA,上式等号两侧 分别向AB连线上投影，因为vBA垂直于AB，所以vBA在AB上投影等于零。,速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。,则有, 速度投影法,2. 速度投影法,26,例8-2 已知曲柄滑块机构中，曲柄OAr，以匀角速度 0

7、绕O 轴转动，连杆ABl。在图示情形下连杆与曲柄垂直。求该瞬时(1) 滑块的速度vB；(2) 连杆AB的角速度AB 。,27,B,A,0,O,0,画出速度合成矢量图。,基点法,解：,连杆AB作平面运动。A 点速度 vA 已知， vA=r 0,以A为基点。应用速度合成定理,28,(1)求该瞬时滑块的速度vB,由速度合成矢量图可得滑块的速度：,方向铅直向上。,29,(2) 求该瞬时连杆AB的角速度AB,顺时针转向。,30,速度投影法,解：应用速度投影定理,vA=r 0 ， 0， 0,B,A,0,O,0,0,有,因为,从而有,应用速度投影定理无法求得连杆AB 的角速度。,31,例8-3 如图已知轮心

8、以vO匀速直线运动，且纯滚动。杆的DE长为2R。试求在这瞬时杆DE的角速度。,A,B,C,DE,O,x,D,vO,O,E,R,2R,32,解：先求B点的速度。,以O点为基点分析B 点的速度，有,A,B,C,DE,O,x,D,vO,O,E,R,2R,考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，故有,33,另外，又以B作为基点分析D 点的速度，有,也可以用投影法，有,A,B,C,DE,O,x,D,vO,O,E,R,vBO,vO,vB,2R,34,例8-4 如图平面铰链机构。已知杆O1A的角速度是1 ，杆O2B的角速度是2，转向如图，且在图示瞬时，杆O1A铅直，杆AC 和O2B水平，而杆BC对铅直线

9、的偏角30；又O2B=b，O1A= b。试求在这瞬时C 点的速度。,35,O1,A,O2,B,C,1,2,x,y,先求出A点和B点的速度。有,vA 和 vB 的方向如图。,以A点为基点分析C 点的速度，有,另外，又以B作为基点分析C 点的速度，有,比较以上两式，有,（1）,（2）,连杆AC 和BC 均作平面运动。,解：,36,沿x 轴投影上式， 得,方向如图,把 式分别投影到x，y 轴上，有,由此求得,37,于是得,38,例8-5 图示一连杆机构，曲柄AB和圆盘CD分别绕固定轴A和D转动。BCE为三角形构件，B，C为销钉连接。设圆盘以匀速n0=40 rmin1顺时针转向转动，尺寸如图。试求图示

10、位置时曲柄AB的角速度AB和构件BCE上点E的速度vE。,39,A,D,C,B,E,0,120,50,100,50,60,根据已知数据，得到：,故,曲柄AB的角速度,解：,C点速度已知， ，B点速度垂直于曲柄AB。根据速度投影定理得,（1）求曲柄AB的角速度AB 。,构件BCE 作平面运动 。,（顺时针）,40,A,D,C,B,E,0,120,50,100,50,60,vC,由于构件BCE上C点的速度vC垂直于CE，根据速度投影定理可知E点的速度vE也应垂直于CE。应用速度投影定理， vB与vE在BE连线上的投影相等，即,式中,所以E点的速度,（2）求E点的速度。,（水平向右）,41,例 如图

11、所示，半径为R的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动，已知轮心O以匀速vO前进。求轮缘上A，B，C和D各点的速度。,解：车轮作平面运动,O点为基点, C点为动点,vCO =R,纯滚动的条件,42,以O点为基点 ，各点的速度求得如下：,A点：,B点：,D点：,vAO =R = vO,vBO =R = vO ,vDO =R = vO ,思考如果以C点为基点，求 A、B、D各点速度时的特点?,43,3. 瞬心法,设已知平面图形S上某点A的速度vA ，平面图形的角速度 。,（1）瞬心的定义, 某瞬时平面运动刚体上速度为零的点称为瞬时速 度中心，简称为速度瞬心。,（2）瞬心的存在,请思考,速度为零的点可能在哪

12、出现？,答：速度为零的点可能出现在 vA 的垂直线 AP上。,44,A,S,vAP,过A点作vA的垂直线HA，HA上各点的速度由两部分组成：,跟随基点平移的速度vA 牵连速度，各点相同；,相对于基点转动的速度vPA相对速度 ，自A点起线性分布。,因为HA线上各点相对于基点转动的速度与A点的速度方向相反，其大小正比于该点到A点的距离，故必有一点P的速度满足,由此求得,速度为零的点P即为该瞬时平面图形的速度瞬心。,45,（2）瞬心的存在,若平面图形的角速度不等于零，则在每一瞬时，该图形上（或其延展部分）总有一速度为零的点，即速度瞬心。,有 结 论：,46,（3）速度瞬心法,S,P, 求出速度瞬心P

13、 的位置和平面图形的角速度 ，就可求得平面运动刚体上所有点的速度，这种方法称为速度瞬心法。,若在某瞬时以速度瞬心P为基点，则平面图形上任一点M的速度大小,其方向MP，指向与转向一致。, 平面图形上各点的速度分布，与图形在该瞬时以角速度 绕速度瞬心P作定轴转动时一样。,思考：与定轴转动的异同？,47,根据速度合成定理，平面图形上任意点(例如B点)为,vB= vA+ vBA,其中 vA vP0， vBA vBP,vB vBP BP,应用瞬时速度中心以及平面图形在某一瞬时绕速度瞬心作瞬时转动的概念，确定平面图形上各点在这一瞬时速度的方法，称为速度瞬心法。,vB,S,P,vA,B,A,C,vC,图形内

14、各点的速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比，其方向垂直于该点与速度瞬心的连线，指向转动前进的一方。,48,（4） 速度瞬心位置的确定,(1)已知某瞬时平面图形上A，B两点的速度方位，则这两点速度的垂线的交点就是速度瞬心。,49,此时平面运动刚体的角速度,该瞬时各点速度均平行，且大小相等，其分布与刚体平动时速度一样，这种情形称为瞬时平动。,(2)某一瞬时，图形上A、B两点的速度相等,且二者都不垂直于两点的连线,速度瞬心在无穷远处,50,(3)已知图形上两点A和B的速度相互平行，且速度的方向垂直于两点的连线AB。,51,(4)沿一固定平面做纯滚动的轮子,接触点即为速度瞬心,52, 唯一性：某一瞬

15、时只有一个速度瞬心；, 瞬时性：平面图形在某一瞬时的运动都可以视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动。, 注意瞬时平移与平移的区别：瞬时平移各点的速度相同， 但是加速度不同。,（5）速度瞬心的特点, 瞬时转动特性：平面图形在某一瞬时的运动都可以视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动。,53,思考： 运动着的自行车轮子上面的辐条为什么比下面的模糊？,54,找出下列平面运动刚体的速度瞬心。,B,A,O,（2）,B,A,O1,O2,（1）, 练习题,55,B,A,O,vA,（4）,B,A,O,vO,（3）,找出下列平面运动刚体的速度瞬心。, 练习题,56,已知四连杆机构中， 。,OA以角速度0绕O轴转动。求（1）B和D点的速度；（2）AB杆的角速度。,45o,90o,90o,0,O1,O,B,A,例8-7,57,作vA和vB的垂线，相交于Cv，此即杆AB的速度瞬心。,45o,90o,90o,0,O1,O,B,A,解：机构中杆AB作平面运动，杆OA和O1B都作