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1、圆周运动中的临界问题教学目的:会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题教学重点:掌握解决圆周运动的两种典型的临界问题教学难点:会分析判断临界时的速度或受力特征教学内容一、 有关概念1、向心加速度的概念2、向心力的意义（由一个力或几个力提供的效果力）二、内容1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题（1）如图422和图423所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：图422 图423临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv临界=；能过最高点的条件：v，当v时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力；不能过最高点的条件：vv临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）.（
2、2）如图424的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况：当v=0时，FN=mg（FN为支持力）；当0v时，FN随v增大而减小，且mgFN0，FN为支持力；当v=时，FN=0； 当v时，FN为拉力，FN随v的增大而增大.图424 图425bOa图4若是图425的小球在轨道的最高点时，如果v，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力.例1 长L0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O点，上端连接着一个质量m2kg的小球A，A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：当A的速率v11ms时 当A的速率v24ms时解析： V0=msmsALOm图5 小
3、球的速度大于ms时受拉力，小于ms时受压力。解法一：当v11msms时，小球受向下的重力mg和向上的支持力NNmg 由牛顿第二定律mgNm Nmgm 16N即杆受小球的压力16N。mgF当v24msms时，小球受向下的重力mg和向下的拉力F，由牛顿第二定律mgFm Fm mg44N即杆受小球的拉力44N。解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。我们可不去做具体的判断而假设一个方向。如设杆竖直向下拉小球A，则小球的受力就是上面解法中的的情形。由牛顿第二定律mgFm 得Fm（g）当v11ms时，F116NF1为负值，说明它的实际方向与所设的方向
4、相反，即小球受力应向上，为支持力。则杆应受压力。当v24ms时，F244N。F2为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。则杆也应受拉力。例2 如图4所示，在倾角30的光滑斜面上，有一长l0.4m的细绳，一端固定在O点，另一端拴一质量为m0.2 kg的小球，使之在斜面上作圆周运动，求：(1)小球通过最高点A时最小速度；(2)如细绳受到9.8N的拉力就会断裂，求小球通过最低点B时的最大速度.2、在水平面内作圆周运动的临界问题在水平面上做圆周运动的物体，当角速度变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以
5、及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。例3 如图9所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30，一条长度为L的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。mgNT图9当v时，求绳对物体的拉力；当v时，求绳对物体的拉力。解析：设小球刚好对锥面没有压力时的速率为，则有 解得 （1）当（2）当时，小球离开锥面，设绳与轴线夹角为，则例4 如图6所示，两绳系一质量为m0.1kg的小球，上面绳3045ABC图6长L2m，两端都拉直时与轴的
6、夹角分别为30与45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rads时，上、下两绳拉力分别为多大？解析：当角速度很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。当逐渐增大到30时，BC才被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为1，则有：TACcos30mgTACsin30m12Lsin30将已知条件代入上式解得12.4 rads 当角速度继续增大时TAC减小，TBC增大。设角速度达到2时，TAC0（这又是一个临界状态），则有：TBCcos45mgTBCsin45m22Lsin30将已知条件代入上式解得23.16 rads 所以当满足 2.4 ra
7、ds3.16 rads，AC、BC两绳始终张紧。本题所给条件3 rads，此时两绳拉力TAC、TBC都存在。TACsin30TBCsin45m2Lsin30TACcos30TBCcos45mg 将数据代入上面两式解得TAC0.27N，TBC1.09N注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。如果2.4 rads时，TBC0，AC与轴的夹角小于30。如果3.16rads时，TAC0，BC与轴的夹角大于45。例5如图7所示，细绳一端系着质量M0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m0.3kg的物体，M的中与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕
8、中心轴线转动，问角速度在什么范围m会处于静止状态？（g10ms2） 先以m0为题引入，由浅入深 解析：要使m静止，M也应与平面相对静止。而MMrom图7与平面静止时有两个临界状态：当为所求范围最小值时，M有向着圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力的方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N。此时，对M运用牛顿第二定律。有 TfmM12r 且 Tmg解得 12.9 rads当为所求范围最大值时，M有背离圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最大静摩擦力2N。ro图8再对M运用牛顿第二定律 有 TfmM22r 解得 26.5 rads所以，题中所求的范围是：2.9 rads6.
9、5 rads例6如图8所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的倍。求：当转盘角速度1时，细绳的拉力T1。当转盘角速度2时，细绳的拉力T2。解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为，则，解得。（1）因为，所以物体所需向心力小于物体与盘间的最大摩擦力，则物与盘间还未到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即。（2）因为，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力，由牛顿的第二定律得：，解得。3、连接体的临界问题例1、如图所示，匀速转动的水平圆盘上，放有
10、质量均为m的小物体A、B， A、B间用细线沿半径方向相连，它们到转轴距离分别为RA=20cm，RB=30cm。A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：(1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度0；(2)当A开始滑动时，圆盘的角速度；(3)当即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何?答案： (1)当细线上开始出现张力时，表明B与盘间的静摩擦力已达到最大，设此时圆盘角速度为0，则是kmg=mrB02解得： =3.7rad/s(2)当A开始滑动时，表明A与盘的静摩擦力也已达到最大，设此时盘转动角速度为，线上拉力为FT则，对A：FfAm-FT=mrA2对B：FfBm+FT=mrB2又：FfA
11、m=FfBm=kmg解得=4rad/s。(3)烧断细线，A与盘间的静摩擦力减小，继续随盘做半径为rA=20cm的圆周运动，而B由于FfBm不足以提供必要的向心力而做离心运动。答案：(1) 3.7rad/s (2) 4rad/s (3)A做圆周运动，B做离心运动分析：1、利用极限分析法的“放大”思想分析临界状态。认清临界情景和条件，建立临界关系是解决此类问题的关键。2、圆周运动中的连接体加速度一般不同，所以，解决这类连接体的动力学问题时一般用隔离法。但也可用整体法来求解。三、巩固练习1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 ms时，车对桥的压力为车重的。如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为
12、 （）A、15 msB、20 msC、25 msD、30ms2、如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A、B两个小物块。A的质量为，离轴心，B的质量为，离轴心，A、B与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求 （1）当圆盘转动的角速度为多少时，细线上开始出现张力？（2）欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（）解析：（1）较小时，A、B均由静摩擦力充当向心力，增大，可知，它们受到的静摩擦力也增大，而，所以A受到的静摩擦力先达到最大值。再增大，AB间绳子开始受到拉力。由，得： （2）达到后，再增加，B增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提
13、供，A增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A增大的向心力超过B增加的向心力，再增加，B所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如再增加，B所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。如再增加，就不能维持匀速圆周运动了，A、B就在圆盘上滑动起来。设此时角速度为，绳中张力为，对A、B受力分析：对A有 对B有联立解得： 3、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管半径大得多）。在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量m1，B球的质量为m2，它们沿环形管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0，设A球运动到最低点，B球恰好运动到最高点。若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m
14、1、m2、R与v0应满足的关系式是。（97年高考题）4、如图393所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它们随杆转动，若转动角速度为，则ABC A只有超过某一值时，绳子AP才有拉力B绳子BP的拉力随的增大而增大C绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力D当增大到一定程度时，绳AP的张力大于BP的张力5、如图2所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线连接的质量相等的两物体A和B，它们与盘间的摩擦因数相同当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两物体的运动情况将是 【 】A两物体均沿切线方向滑动B两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远C两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动D物体A仍随圆盘
