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1、2008年普通高校招生全国统一考试(江苏卷)数学1.的最小正周期为,其中,则。【解读】本小题考查三角函数的周期公式。答案102.一个骰子连续投2次,点数和为4的概率为。【解读】本小题考查古典概型。基本事件共个,点数和为4的有、共3个,故。答案3.表示为,则=。【解读】本小题考查复数的除法运算,因此=1。答案14.则的元素个数为。【解读】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。由得因为,所以,因此,元素的个数为0。答案05.的夹角为,则。【解读】本小题考查向量的线形运算。因为,所以=49。因此7。答案76.在平面直角坐标系中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离
2、不大于1的点构成的区域,向D中随意投一点,则落入E中的概率为。【解读】本小题考查古典概型。如图:区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界),区域E表示单位圆及其内部,因此。答案7.某地区为了解7080岁老人的日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。序号(i)分组(睡眠时间)组中值()频数(人数)频率()14,5)4.560.12 25,6)5.5100.2036,7)6.5200.4047,8)7.5100.2058,9)8.540.08在上述统计数据的分析中,一部分计算算法流程图,则输出的S的值是。【解读】本小题考查统计与算
3、法知识。答案6.428.直线是曲线的一条切线,则实数。【解读】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。,令得,故切点为,代入直线方程,得,所以。答案9.在平面直角坐标系中,设三角形ABC的顶点坐标分别为,点在线段OA上(异于端点),设均为非零实数,直线分别交于点E,F,一同学已正确算出的方程:,请你求OF的方程:。【解读】本小题考查直线方程的求法。画草图,由对称性可猜想。事实上,由截距式可得直线,直线,两式相减得,显然直线AB与CP的交点F满足此方程,又原点O也满足此方程,故为所求的直线OF的方程。答案。10.将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第行从左向右的第3个数为。【解读】
4、本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前行共用了个数,因此第行从左向右的第3个数是全体正整数中的第个,即为。答案11.的最小值为。【解读】本小题考查二元基本不等式的运用。由得,代入得,当且仅当时取“=”。答案3。12.在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为2,以O为圆心,为半径的圆,过点作圆的两切线互相垂直,则离心率=。【解读】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图,切线互相垂直,又,所以是等腰直角三角形,故,解得。答案13.若,则的最大值。【解读】本小题考查三角形面积公式及函数思想。因为AB=2(定长),可以以AB所在的直线为轴,其中垂线为轴建立直角坐标系,则,设,由可得,化简得,即
5、C在以(3,0)为圆心,为半径的圆上运动。又。答案14.对于总有成立,则=。【解读】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。要使恒成立,只要在上恒成立。当时,所以,不符合题意,舍去。当时,即单调递减,舍去。当时 若时在和上单调递增,在上单调递减。所以 当时在上单调递减,不符合题意,舍去。综上可知a=4.答案4。15.如图,在平面直角坐标系中,以轴为始边做两个锐角,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为。(1) 求的值;(2)求的值。【解读】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件得,为锐角,故。同理可得,因此。(1
6、)。(2),从而。16在四面体ABCD中,CB=CD,且E,F分别是AB,BD的中点,求证(I)直线;(II)。证明:(I)E,F分别为AB,BD的中点。(II)又,所以17某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点A,B,及CD的中点P处,已知km, ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD的区域上(含边界),且A,B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP,设排污管道的总长为ykm。(I)按下列要求写出函数关系式: 设,将表示成的函数关系式; 设,将表示成的函数关系式。(II)请你选用(I)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排水管道总长度最短。
7、【解读】本小题考查函数最值的应用。(I)由条件可知PQ垂直平分AB,则故,又,所以。,则,所以,所以所求的函数关系式为。(I) 选择函数模型。令得,又,所以。当时,是的减函数;时,是的增函数。所以当时。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处。18.设平面直角坐标系中,设二次函数的图象与坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C。(1) 求实数的取值范围;(2) 求圆的方程;(3) 问圆是否经过某定点(其坐标与无关)?请证明你的结论。【解读】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。(1)(2) 设所求圆的方程为。令得又时,从而。所以圆的方程为。(3)整理为,过曲线与的交点,即过定点与。1
8、9.(I)设是各项均不为零的等差数列,且公差,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: 当时,求的数值;求的所有可能值;(II)求证:对于一个给定的正整数,存在一个各项及公差都不为零的等差数列,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列。【解读】本小题考查等差数列与等比数列的综合运用。(I)当时,中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则。若删去,则有,即,化简得;若删去,则有,即,化简得。综上可知。 当时,中同样不可能删去首项或末项。若删去,则有,即,化简得;若删去,则有,即,化简得,舍去;若删去,则有,即,化简得。当时,不存在这样的等差数列。事实上,在数列中,由于不能删去首项和末项,若删去,则必有,这与矛盾;同样若删去,也有,这与矛盾;若删去中的任意一个,则必有,这与矛盾。综上可知。(3) 略20.若为常数,且(I) 求对所有的实数成立的充要条件(用表示);(II) 设为两实数,且,若,求证:在区间上的单调增区间的长度和为(闭区间的长度定义为)。【解读】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。(I)恒成立若,则,显然成立;若,记当时,所以,故只需;当时,所以,故只需。(II)如果,则的图象关于直线对称,因为,所以区间关于直线对称。因为减区间为,增区间为,所以单调增区间的长度和为。如果,结论的直观性很强。