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1、圆周运动的实例及临界问题 一、汽车过拱形桥1汽车在拱形桥最高点时，向心力：F合mgNm.支持力：Nmgmg，汽车处于失重状态2汽车对桥的压力N与桥对汽车的支持N是一对相互作用力，大小相等，所以汽车通过最高点时的速度越大，汽车对桥面的压力就越小例1一辆质量m2 t的轿车，驶过半径R90 m的一段凸形桥面，g10 m/s2，求：(1)轿车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？(2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？解析(1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示：合力FmgN，由向心力公式得mgNm，故桥面的支持力大小Nmgm(2 000102
2、000) N1.78104 N根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对桥面压力的大小为1.78104 N.(2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力FmgN0.5mg，而Fm，所以此时轿车的速度大小v m/s21.2 m/s答案(1)1.78104 N(2)21.2 m/s二、圆锥摆模型1运动特点：人及其座椅在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面图12运动分析：将“旋转秋千”简化为圆锥摆模型(如图1所示)(1)向心力：F合mgtan_(2)运动分析：F合m2rm2lsin(3)缆绳与中心轴的夹角满足cos .图6例2如图6所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球
3、A和B，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是()A速度vAvBB角速度ABC向心力FAFBD向心加速度aAaB解析设漏斗的顶角为2，则小球的合力为F合，由FF合m2rmma，知向心力FAFB，向心加速度aAaB，选项C、D错误；因rArB，又由v 和 知vAvB、AB，故A对，B错答案A三、火车转弯1运动特点：火车转弯时做圆周运动，具有向心加速度，需要向心力2铁路弯道的特点：转弯处外轨略高于内轨，铁轨对火车的支持力斜向弯道的内侧，此支持力与火车所受重力的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力例3铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为
4、，如图7所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则()A内轨对内侧车轮轮缘有挤压B外轨对外侧车轮轮缘有挤压C这时铁轨对火车的支持力等于D这时铁轨对火车的支持力大于解析由牛顿第二定律F合m，解得F合mgtan ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，Ncos mg，则N，内、外轨道对火车均无侧向压力，故C正确，A、B、D错误答案C课后巩固训练2(圆锥摆模型)两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图9所示，A运动的半径比B的大，则()AA所需的向心力比B的大BB所需的向心力比A的大CA的角速度比B的大DB的角速度比A的大解析小球的重力和绳子的拉
5、力的合力充当向心力，设悬线与竖直方向夹角为，则Fmgtan m2lsin ，越大，向心力F越大，所以A对，B错；而2.故两者的角速度相同，C、D错答案A3半径为R的光滑半圆球固定在水平面上(如图2所示)，顶部有一小物体A，今给它一个水平初速度v0，则物体将()A沿球面下滑至M点B沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动C沿半径大于R的新圆弧轨道做圆周运动D立即离开半圆球做平抛运动答案D解析当v0时，所需向心力Fmmg，此时，物体与半球面顶部接触但无弹力作用，物体只受重力作用，故做平抛运动4质量为m的飞机，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于()Am BmC
6、m Dmg解析空气对飞机的作用力有两个作用效果，其一：竖直方向的作用力使飞机克服重力作用而升空；其二：水平方向的作用力提供向心力，使飞机可在水平面内做匀速圆周运动对飞机的受力情况进行分析，如图所示飞机受到重力mg、空气对飞机的作用力F升，两力的合力为F，方向沿水平方向指向圆心由题意可知，重力mg与F垂直，故F升，又Fm，联立解得F升m .图3答案A5质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为，如图4所示，则杆的上端受到的作用力大小为()Am2RB.C.D不能确定答案C解析小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动这两个力的合力
7、充当向心力必指向圆心，如图所示用力的合成法可得杆对球的作用力：N，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的作用力NN，C正确图56火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法中正确的是()A当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力B当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力C当速度大于v时，轮缘挤压外轨D当速度小于v时，轮缘挤压外轨解析当以v的速度通过此弯路时，向心力由火车的重力和轨道的支持力的合力提供，A对，B错；当速度大于v时，火车的重力和轨道的支持力的合力小于向心力，外轨对轮
8、缘有向内的弹力，轮缘挤压外轨，C对，D错答案AC解析设赛车的质量为m，赛车受力分析如图所示，可见：F合mgtan ，而F合m，故v.7.如图11，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动现测得转台半径R0.5 m，离水平地面的高度H0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小x0.4 m设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2.求：图11(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；(2)物块与转台间的动摩擦因数.答案(1)1 m/s(2)0.2解析(1)物块做平抛运动，竖直方向有Hgt2水平方向有xv0t联立两式得v0
9、x1 m/s(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有mgm联立得0.28(多选)如图5所示，质量为m的物体，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为，则物体在最低点时，下列说法正确的是()图5A受到的向心力为mgmB受到的摩擦力为mC受到的摩擦力为(mgm)D受到的合力方向斜向左上方解析物体在最低点做圆周运动，则有FNmgm，解得FNmgm，故物体受到的滑动摩擦力FfFN(mgm)，A、B错误，C正确物体受到竖直向下的重力、水平向左的摩擦力和竖直向上的支持力(支持力大于重力)，故物体所受的合力斜向左
10、上方，D正确答案CD临界问题分析一：水平面内圆周运动的临界问题处理临界问题的解题步骤(1)判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应着临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往对应着临界状态(2)确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来(3)选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对不同的运动过程或现象
11、，选择相对应的物理规律，然后列方程求解例1如图8所示，高速公路转弯处弯道圆半径R100 m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数0.23.最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，若路面是水平的，问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所允许的最大速率vm为多大？当超过vm时，将会出现什么现象？(g9.8 m/s2) 解析在水平路面上转弯，向心力只能由静摩擦力提供，设汽车质量为m，则fmmg，则有mmg，vm，代入数据可得vm15 m/s54 km/h.当汽车的速度超过54 km/h时，需要的向心力m大于最大静摩擦力，也就是说提供的合外力不足以维持汽车做圆周运动所需的向心力，汽车将做离心运动，严重的将会出现翻车事故
12、答案54 km/h汽车做离心运动或出现翻车事故2相对滑动的临界问题(2014新课标全国20)(多选)如图6所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()图6Ab一定比a先开始滑动Ba、b所受的摩擦力始终相等C 是b开始滑动的临界角速度D当 时，a所受摩擦力的大小为kmg解析小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即fm2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，
13、发生相对滑动，对木块a：faml，当fakmg时，kmgml，a ；对木块b：fbm2l，当fbkmg时，kmgm2l，b ，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fam2l，fbm22l，fafb，选项B错误；当 时b刚开始滑动，选项C正确；当 时，a没有滑动，则fam2lkmg，选项D错误答案AC3接触与脱离的临界问题如图8所示，用一根长为l1 m的细线，一端系一质量为m1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角37，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为时，细线的张力为FT.(g取10 m/s2，结果可用根式
14、表示)求：图8(1)若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度0至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为60，则小球的角速度为多大？解析(1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：mgtan mlsin 解得：即0 rad/s.(2)同理，当细线与竖直方向成60角时，由牛顿第二定律及向心力公式得：mgtan m2lsin 解得：2，即 2 rad/s.二：竖直面内圆周运动的临界问题1在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”2绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常见类型均是没有支撑的小球均
