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1、目录(集合论),第六章 集合(4学时) 第七章 关系(7学时) 第八章 函数与集合的势(5学时),康托集合论公理集合论,德国数学家康托 (G. Cantor) 朴素集合论: 十九世纪七十年代 悖论 公理集合论: 在二十世纪初,数学思想的最惊人的产物,在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现。 可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。,康托 Georg Cantor,18451918,1845年3月3日生于彼得堡。 1856年全家迁居法兰克福。 先后就学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克福大学和柏林大学,主要学习哲学、数学和物理。,在柏林大学,他受到著名分析学家魏尔斯特拉斯的影响,对纯粹数学产生了兴趣
2、。1867年,他以求不定方程ax2+by2+cz2= 0的整数解(其中,a、b、c为任意整数)的博士论文获哲学博士学位。,理发师难题,西班牙的塞维利亚有一个理发师,这位理发师有一条极为特殊的规定:他只给那些“不给自己刮胡子”的人刮胡子。,ZF公理系统,数学家们创造了公理化集合论,明确提出形成集合的原则,且规定只能按照这些确定的原则形成集合,以避免已知的一些集合论的悖论。 最著名的一个系统是由蔡梅罗 1908年提出,后经弗兰克尔 (Abraham A. Fraenkel) 等人改进而建立的。人们称之为ZF系统。,罗素悖论与第三次数学危机,“数学大厦的基石”竟然出现了明显的“裂缝”,那么人类耗费数
3、千年心血建立起来的“数学殿堂”,会不会倒塌呢?一时间,数学界众说纷纭,这就是数学史上著名的“第三次数学危机”。 “裱糊匠”: 希尔伯特 蔡梅罗(Ernst Zermelo): 找到摆脱困境的方法,第二次数学危机: 关于微积分,在牛顿和莱布尼茨发现了微积分的年代里,老是有那么几个敌对分子跟他们作对,其中有一位爱尔兰的大主教贝克莱就讥讽牛顿的“一刹那”是“已死量的幽灵”。 还有一位意大利的数学教授格兰蒂把 1/2=1-1+1-1+.=(1-1)+(1-1)+.=0 这样的式子看作是从虚无创造万有等等不一而足.,第一次数学危机: 发现了“无理数”,毕达格拉斯的一个弟子发现边长为1的正方形的对角线是不
4、能用任何比例来表示的。 对于毕氏学派来说, 这是天大的罪过,结果被扔进海里喂了鲨鱼。,第六章 集合,6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥原理,6.1 集合的基本概念,集合是最基本的数学概念之一,由于它太基本了,所以不能用更基本的概念来定义它。 集合是不能精确定义的数学概念。但是,这并不影响我们去理解它和掌握它。,每一个人都知道许多集合,逻辑值T, F可以组成一个集合, 记为T, F , 真值集。 数0,1可以组成一个集合, 记为0,1 , 真值集。 数0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 可以组
5、成一个集合, 阿拉伯数字集。 数0,1, 3, 4可以组成一个集合。 二十六个英文字母可以组成一个集合, 英文字母集,例如:,常用的集合,N代表自然数集, 0,1,2, I 代表整数集, , -2, -1, 0, 1, 2, Q代表有理数集 R代表实数集 R+=xxR, x0是表示非负的实数集 R2=(x,y) x,y R是XOY坐标平面上点的集合。,集合、元素,集合:某些确定的、能够区分的对象的聚合。 元素:组成一个集合的那些对象称为这一集合的元素和成员。,通常用大写字母代表集合,用小写英文字母代表集合的元素。,aA、 aA,如果 a是集合A 的一个元素,就叫做 a属于集合A,这时记为 aA
6、 。 如果 a不是集合A中的一个元素,就叫做a不属于A ,这时记为aA 。,对于任给的一个对象a和任给的一个集合A, 或者a属于A,或者 a不属于A, 二者必居其一,不可得兼。,集合的两种表示,(1) 列举出这个集合中的所有元素。 A=a,b,c B=1,3,5,(2) 利用元素所具有的性质来表示。 D=xR x2-3x+2=0 E=x x是南京理工大学学生 ,一般地 ,S=aa具有性质 表示 a S当且仅当 a具有性质 。,罗素(B. Russell)悖论,S=AA是不以自身为元素的集合, 即AA S是集合吗?,如果我们假定S是集合,那么 S是自己的元素, S不是自己的元素, 二者居其一且只
7、居其一。 容易说明我们假定S是集合是错误的。,如果SS,则与性质矛盾; 如果SS,则S满足性质,矛盾。,子集,定义1:A,B是二个集合, 对于任意的x ,若xA ,则 xB, 我们说集合A是集合B的子集, 也说集合B包含集合A, 记为AB 。,若A不是B的子集, 记为AB。 也说B不包含A 。,例,1,2 1,2,3 1,3 1,3,2,4 1 1,2 1 1,2 1 1,2,例,是否存在这样两个集合, 其中一个既是另一个的子集, 又是它的元素?,1 1, 1 ,1 1, 1 ,空集,设K是一个集合, K=xRx2+1=0 。 我们都知道集合 K中什么元素也没有。 这样没有一个元素的集合称为空
8、集。 我们用来表示空集合。,命题1 (p63) A是任意集合, 是空集,则 AA A,证明: 对于任意的x,若xA, 则显然有xA ,所以AA. 用反证法: 若 不包含于A,则存在x,x ,但 xA。显然这与是空集矛盾。故A 。,定义2 (p63),A, B是两个集合, 若AB,且BA, 则说A与B是相等的两个集合,记为A=B 。,若AB且AB , 说A是B 的真子集,记为AB 。,命题2:空集是唯一的。,证明:设 1,2 是两个空集合。 由命题1, 12 且 21 故 1 = 2,集合的特点,仅考虑集合所包含的不同的元素,也就是说集合中元素重复出现没有意义。 例如: a,a,b,c,c, a,b,c 是相等的两个集合。,集合的特点,集合中的元素没有任何方式的顺序。 例如: a,b,c c,a,b 是相等的两个集合。,集合的特点,对集合中的元素没有任何的限制,也就是一个集合中的元素之间彼此独立,可以毫不相干;一个集合也可以是另一个集合的元素。 例如: a, 2, 华盛顿, 中国人 a, a, 都是两个确定的集合。,