空间力系教学教材

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1、第3章 空间力系, 3.1力线平移定理 3.2平面一般力系向平面内一点的简化主矢和主矩 3.3平面一般力系的简化结果分析 3.4平面一般力系的平衡条件和平衡方程 3.5平面平行力系的平衡方程 3.6静定和静不定问题、物体系统的平衡问题 3.6.1静定与静不定问题的概念 3.6.1物体系统的平衡问题 3.7平面简单桁架的内力计算 3.7.1 节点法 3.7.1截面法 小结及习题, 3.1 力线平移定理,平面一般力系的合成有多种方法，一般采用将平面力系向一点简化的方法。在讲述这个方法以前，先引入力线平移定理。 力线平移定理：作用在刚体上的力可以从原来的作用点平行移动到任一点，但须附加一个力偶，附加

2、力偶的矩等于原来的力对新作用点的矩。 证明：设在刚体上某点A作用一力F，如图3.1(a)所示。为了使这个力作用到刚体内，任意给定的一点O，则在点加上一对平衡力 ，并使得 ，如图3.1(b)所示。,(a) (b) (c) 图3.1,显然，这样不会改变原力系对刚体的效应。而 组成一对力偶，力偶矩为 。因此现在刚体可以看成受一个力 和一个力偶 的作用。所以在O点的力系 和力偶 与原来作用在A点的力F等效，如图3.1(c)所示。 该定理指出，一个力可以等效为一个力和一个力偶的联合作用，或者说一个力可以分解为作用在同一平面内的一个力和一个力偶。 反之，其逆定理也成立，即同一平面内的一个力和一个力偶可以合

3、成一个合力。可以根据力线平移定理得到证明，这里不再赘述。 力线平移定理的应用：在钳工台上攻螺纹时，必须两手握扳手，而且用力要相等。如果用单手攻螺纹，如图3.2(a)所示，由于作用在扳手AB一端的力F向C点简化的结果为一个力 和一个力偶矩m，如图3.2(b)所示。力偶使丝锥转动，而力 却往往使攻螺纹不正，影响加工精度，而且丝锥易折断。这就是为什么攻螺纹时，必须两手握扳手，而且用力要相等的原因。, 3.2 平面一般力系向平面内一点的简化主矢和主矩,设一刚体受平面一般力系作用，各力分别为 ，如图3.3(a)所示。 下面将该力系向平面内某一点进行简化。应用力线平移定理，任取平面内一点作为简化中心O，则

4、各力向点O平移并附加一力偶，于是得到一个作用于O点的平面汇交力系 和力偶矩为 的平面力偶系，如图3.3(b)所示。因此平面一般力系的简化就转化为此平面内的平面汇交力系和平面力偶系的合成。然后将平面汇交力系和平面力偶系合成，就得到作用于O点的力F和力偶矩为M的一个力偶，如图3.3(c)所示。,(a) (b) (c) 图3.2,轴投影，则有: 这样，可以得到主矢的大小和方向为:,(3-4),(3-5),必须注意以下几点： (1) 主矢等于各力的矢量和，它是由原力系中各力的大小和方向决定的，所以与简化中心的位置无关。 (2) 主矩等于各力对简化中心的矩的代数和。简化中心选择不同时，各力对简化中心的矩

5、也不同，所以在一般情况下主矩与简化中心的位置有关。以后在说到主矩时，必须指出是力系对哪一点的主矩。,(3) 主矩表达式中既包含力偶矩 ，又包含力对点的矩。 工程中，固定端约束也是一种常见的约束。例如插入地基中的电线杆。这类物体连接方式的特点是连接处刚性很大。两物体既不能产生相对平动，也不能产生相对转动，这种约束称为固定端约束，如图3.4(a)所示。计算时所用的计算简图如图3.4(b)所示，可以根据平面一般力系向一点简化的方法来分析，简化为一个力和一个力偶矩，如图3.4(c)所示。这个力的大小和方向为未知量，一般用两个分力来代替。因此对于端平面固定端约束可以简化两个约束反力 、 和一个反力偶矩m

6、，如图3.4(d)所示。,(a) (b) (c) (d) 图3.2, 3.3 平面一般力系的简化结果分析,平面力系向刚体上任意一点简化可得力系的主矢和主矩，如图3.5(a)所示，但这并不一定是力系简化的最终的最简单的结果。下面由这两个基本物理量来讨论力系简化的最后结果。 当时 ，说明原力系处于平衡状态。 (2)当时 ，则原力系与一力偶等效，此力偶称为平面力系的合力矩等于主矩，即 。由力偶的性质可知，这种情形主矩与简化中心的选取无关。,(3) ，则原力系等效于作用线过简化中心的一个合力。合力矢 由力系的主矢确定，即 。 (4) ，这种情形还可以作进一步简化。根据力的平移定理知， 和 可以由一个合

7、力 等效替换，且 ，但是其作用线不过简化中心O，如图3.5(b)所示。若设合力作用线到简化中心O的距离为d，则 。图3.5可说明上述简化过程。,(a) (b) (c) 图3.2,(3-6),合力矩定理：平面一般力系简化为一合力，则合力对于该力系平面内任意一点之矩等于各分力对于同一点之矩的代数和。 【例3.1】 已知，三力 分别作用在边长为a的正方形的三点上C，B，O如图3.6(a)所示。试将此力系向点简化。 解：任取一点作为简化中心，将各力向此点O简化，则有:,(a) (b) (c) 图3.6,所以与轴夹角为 。 力系向点简化的结果为一个大小为 、与X轴呈角 的力 ，以及一个矩为 ，逆时针转向

8、的力矩，如图3.6(b)所示。进一步合成结果如图3.6(c)所示。 如将例3.1进一步简化。可根据力线平移定理将例3.1的结果进一步简化，合力到简化中心的距离为: 力系简化最后结果为通过点的合力 ，方向与X呈45夹角，如图3.6(c)所示。, 3.4 平面一般力系的平衡条件和平衡方程,平面一般力系的主矢和主矩同时等于零时，刚体处于平衡状态，即:,(3-7),(3-8),由此可见，平面一般力系平衡的条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别为零，以及各力对于任意一点之矩的代数和也等于零。式(3-8)即为平面一般力系的平衡方程。式(3-8)中前两个为投影方程，后面一个为力矩方程。这组方

9、程虽然是根据直角坐标系推导出来的，但是写投影方程时，可以任意选择两个不平行的轴为投影轴，两轴不一定垂直；写力矩方程时，矩心可以任意选取，不一定为两轴的交点,【例3.2】 悬臂吊车如图3.7(a)所示，横梁AB长 ，重量 ，拉杆CB的倾角为 ，不计重量。载荷 ，求在图示位置 时，拉杆的拉力和铰链A处的约束反力。,(a) (b) 图3.7,解：(1) 选取梁作为研究对象。 (2) 进行受力分析，画受力图，如图3.7(b)所示。 (3) 建立坐标系如图3.7(b)所示，根据平衡条件列平衡方程,(a),(c),(b),在本题中，写出对某一轴的投影方程和对、两点的力矩方程，同样可以求解，即:,(f),(

10、e),(d),由(e)解得， 。 由(f)解得， 。 由(d)解得， 。,如写出对A、B、C三点的力矩方程，同样可以求解，即:,(g),(h),(i),由(g)解得， 。 由(h)解得， 。 由(i)解得， 。 式(3-8)是平面一般力系平衡方程的基本形式，除此之外，还有平衡方程的二力矩形式和三力矩形式。二力矩形式的平衡方程为:,(3-9),三力矩形式的平衡方程为:,(3-10),三力矩形式的平衡方程是任选不在同一直线上的三点A、B和C为矩心而得到的平衡方程。 尽管平衡方程可以写成不同的形式，但是平面一般力系的独立方程只有三个，因此只能求解三个未知数。为了简化计算，可以适当地选取投影轴和矩心(

11、投影轴的选取应选取尽可能使更多的力在投影轴上，矩心应尽量选择力的交汇处)，尽可能使一个方程中只有一个未知量，尽量不解或少解联立方程组。例3.2就说明这一点，列出三力矩形式就避免了联立方程求解。因此在今后的解题中应注意这一点，这样能够减少计算错误。 平面汇交力系、平面力偶系的平衡方程也可以从上面结果中得到。, 3.5 平面平行力系的平衡方程,工程中，还常常会遇到平面平行力系的问题。所谓平面平行力系就是各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。 平面平行力系是平面一般力系的一种特殊情况。设物体受平面平行力系 的作用，如图3.8所示。若取轴OX与各力垂直，Oy轴与各力平行，则不论平面平行力系是否平衡

12、，各力在轴的投影恒等于零，即 ，因此平面平行力系的平衡方程为: 因此，物体在平面平行力系作用下平衡的必要和充分条件是：力系中各力在不与力作用线垂直的坐标轴上的投影的代数和等于零，且各力对任一点之矩的代数和等于零。 平面平行力系的平衡方程也可用两个二力矩方程的形式表示，即,(3-11),(3-12),【例3.3】 水平外伸梁如图3.9(a)所示。若均布载荷， ， 力偶矩 ， ，求A、B点的约束反力。,图3.9,解：选取梁为研究对象，画出受力图，如图3.9(b)所示。作用于梁上有力P，均布载荷的合力Q( ，作用在分布载荷的中点)，以及力偶矩为的力偶和支座反力 、 ，显然，它们是一个平面平行力系。建

13、立坐标如图3.9(b)所示，列平衡方程 将 代入式(a)，得： 。, 3.6 静定和静不定问题、物体系统的平衡问题, 3.6.1 静定与静不定问题的概念,在静力平衡问题中，若未知量数目等于独立平衡方程的数目时，则全部未知量都能由力平衡方程求出，这类问题称为“静定问题”。显然上节中所举的各例题都是静定问题。 如果未知量的数目多于独立平衡方程的数目，则由静力平衡方程就不能求出全部未知量，这类问题称为“静不定问题”，又称“超静定问题”。在静不定问题中，未知量数目减去独立平衡方程数目就称为静不定次数。 在工程实际中，有时为了提高结构的刚度和坚固性，经常在结构上增加多余约束，这原来的静定结构就变成了超静

14、定结构。如图3.10(a)所示的简支梁，有三个未知量，作为平面力系，可列出三个独立的平衡方程，是一个静定问题；如在梁中间增加一个支座，如图3.10(b)所示，则有四个未知量，独立的平衡方程数仍为三个，即未知量比独立方程少一个，故为一次静不定问题。又如图3.11(a)所示为平面汇交力系，有两个未知量，可列出两个独立的平衡方程，是一个静定问题；若再增加一个约束，就称为一次静不定问题，如图3.11(b)。,(a) (b) 图3.11,(a) (b) 图3.10,求解静不定问题时，必须考虑物体在受力后产生的变形，根据物体的变形协调条件，列出足够的补充方程，才能求出全部未知量。这类问题将在材料力学中进行

15、研究，在本篇中只研究静定问题。, 3.6.2 静定与静不定问题的概念,前面分析了单个物体的平衡问题，本节研究物体系统的平衡问题。由若干个物体通过适当的连接方式(约束)组成的，统称为物体系统，简称物系。工程实际中的结构或机构，如多跨梁、三铰拱、组合构架、曲柄滑块机构等都可看做物体系统。 在研究物体系统的平衡问题时，必须注意以下几点： (1) 应根据问题的具体情况，恰当地选取研究对象，这是对问题求解过程的繁简起决定性作用的一步。 (2) 必须综合考查整体与局部的平衡。当物体系统平衡时，组成该系统的任何一个局部系统或任何一个物体也必然处于平衡状态。不仅要研究整个系统的平衡，而且要研究系统内某个局部或单个物体的平衡。 (3) 在画物体系统、局部、单个物体的受力图时，特别要注意施力体与受力体、作用力与反作用力的关系，由于力是物体之间相互的机械作用，因此对于受力图上的任何一个力，必须明确它是哪个物体所施加的，决不能凭空臆造。,(4) 在列平衡方程时，适当地选取矩心和投影轴，选择的原则是尽量做到一个平衡方