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1、（全国通用）2017届高三数学二轮复习专题突破专题六解析几何第2讲直线与圆锥曲线的位置关系限时训练文第2讲直线与圆锥曲线的位置关系(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号位置关系1,12,13弦长与面积2,3,4,5,6,8,9,10,11轨迹问题7,14重点把关1.直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系为(A)(A)相交(B)相切(C)相离(D)不确定解析:直线y=kx-k+1,即y-1=k(x-1),恒过点A(1,1).因为129+1240),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为(C)(A)x=1(B)
2、x=2(C)x=-1(D)x=-2解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=-(x-p2),与抛物线方程联立,y=-(x-p2),y2=2px,消去y整理得x2-3px+p24=0,可得x1+x2=3p.根据中点坐标公式,有3p2=3,p=2,因此抛物线的准线方程为x=-1.故选C.5.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(B)(A)12(B)-12(C)2(D)-2解析:设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,x1236+y129=1,x2236+y229=1,两式相减,得(x1
3、+x2)(x1-x2)36+(y1+y2)(y1-y2)9=0,所以2(x1-x2)9=-4(y1-y2)9,所以k=y1-y2x1-x2=-12.故选B.6.(2016广西质检)过点P(-2,0)的直线与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且|PA|=12|AB|,则点A到抛物线C的焦点的距离为(A)(A)53(B)75(C)97(D)2解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),分别过A,B作直线x=-2的垂线,垂足分别为D,E.因为|PA|=12|AB|,所以3(x1+2)=x2+2,3y1=y2,又y12=4x1,y22=4x2,得x1=23,则点A到抛物线C的焦点的距离为1+23=
4、53.选A.7.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是.解析:设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).答案:x24+y23=1(y0)8.过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若A到抛物线的准线的距离为4,则|AB|=.解析:设A(xA,yA),B(xB,yB),因为y2=4x
5、,所以抛物线的准线为x=-1,F(1,0),又A到抛物线准线的距离为4,所以xA+1=4,所以xA=3,因为xAxB=p24=1,所以xB=13,所以|AB|=xA+xB+p=3+13+2=163.答案:1639.(2016湖南长沙一模)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的顶点到直线l1:y=x的距离分别为2,22.(1)求C1的标准方程;(2)设平行于l1的直线l交C1于A,B两点,若以AB为直径的圆恰过坐标原点O,求直线l的方程.解:(1)由直线l1的方程知,直线l1与两坐标轴的夹角均为45,故长轴端点到直线l1的距离为2a2,短轴端点到直线l1的距离为2b2,求得a=2,b=
6、1.所以C1的标准方程为x24+y2=1.(2)依题意设直线l:y=x+t(t0)由y=x+t,x24+y2=1得5x2+8tx+4t2-4=0,判别式=64t2-165(t2-1)0解得-5t5,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8t5,x1x2=4t2-45,故y1y2=(x1+t)(x2+t)=x1x2+(x1+x2)t+t2=t2-45.因为以AB为直径的圆恰过坐标原点,故OAOB,所以OAOB=0,即x1x2+y1y2=4t2-45+t2-45=0,解得t=2105,满足-5t0成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8k23+4k2,x1x2
7、=4k2-123+4k2,可得|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=12(k2+1)3+4k2,又圆F2的半径r=2|k|1+k2,所以AF2B的面积为12|AB|r=12|k|k2+13+4k2=1227,化简得17k4+k2-18=0,得k=1,所以r=2,圆的方程为(x-1)2+y2=2.13.(2016山东青岛3月模拟)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为42,点A,B,C在椭圆E上,其中点A是椭圆E的右顶点,直线BC过原点O,点B在第一象限,且|BC|=2|AB|,cosABC=15.(1)求椭圆E的方程;(2)与x轴不垂直的直线l与圆x2+y2=1相切,
8、且与椭圆E交于两个不同的点M,N,求MON的面积的取值范围.解:(1)因为椭圆E的长轴长为42,所以a=22,因为直线BC过原点O,B在第一象限,且|BC|=2|AB|=2|BO|,所以|BO|=|AB|,因为cosABO=15,|AO|=a=22,由余弦定理|OA|2=|BO|2+|AB|2-2|BO|AB|cosABO得|BO|=|AB|=5,所以B(2,3),将其代入椭圆E:x2a2+y2b2=1得2a2+3b2=1b=2,所以椭圆E的方程为x28+y24=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),设直线l的方程为y=kx+m,由方程组y=kx+m,x28+y24=1,得(1+2k
9、2)x2+4kmx+2m2-8=0.所以x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2,则|MN|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(-4km1+2k2)2-42m2-81+2k2=221+k28k2-m2+41+2k2因为直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,所以|m|1+k2=1,即m2=1+k2,所以|MN|=221+k27k2+31+2k2,则SMON=12|MN|1=2(7k2+3)(1+k2)1+2k2令1+2k2=t,则t1,SMON=2(7t-12+3)(1+t-12)t2=227t2+6t-1t2=22-1t2+6t+7=22-(1t-3)
10、2+16.因为t1,所以01t1,所以1424,且|QA|-|QM|=|PM|=4|MA|,所以Q点的轨迹是以M,A为焦点的双曲线.当A在圆M内,且与M不重合时,|MA|MA|,所以Q点的轨迹是以M,A为焦点的椭圆.当A在圆M上时,l过定点M,l与PM的交点Q就是点M,所以点Q的轨迹就是一个点.当A与M重合时,l与PM的交点Q就是PM的中点,所以点Q的轨迹就是圆.综上所述,Q点的轨迹可能是四种.(2)因为A(5,0)在圆M内,由(1)知,点Q的轨迹是以M,A为焦点的椭圆,且|MA|=2=2c,|MP|=4=2a,所以b=3,由椭圆的几何性质可知,Q为短轴端点时,SMQA最大,所以SMQA的最大值为122cb=3.8 / 8
