《2020届新高考数学二轮微专题突破05 隐圆问题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届新高考数学二轮微专题突破05 隐圆问题（解析版）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题05 “隐圆”问题一、题型选讲题型一 、利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)或者垂直确定隐圆题目中若已知到定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定常数，或者得到动点到两定点的夹角为直角，则可以得到点的轨迹为圆。例1、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模）已知圆O：x2y21，圆M：(xa)2(ya4)21.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得APB60，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】由题意得圆心M(a，a4)在直线xy40上运动，所以动圆M是圆心在直线xy40上，半径为1的圆；又因为圆M上存在点P，使经过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使
2、APB60，所以OP2，即点P也在x2y24上，于是2121，即13，解之得实数a的取值范围是.例2、(2017南京、盐城二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kxy20与直线l2：xky20相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线xy40的距离的最大值为_【答案】3【解析】思路分析 因为直线l1，l2分别经过定点A(0,2)，B(2,0)，且l1l2，所以点P在以AB为直径的圆C上解法1直线l1，l2分别经过定点A(0,2)，B(2,0)，且l1l2，所以点P在以AB为直径的圆C上圆C的圆心为C(1,1)，半径r.因为圆心C到直线l：xy40的距离为d2，所以点P到直线l的距离的最大值为
3、dr3.解法2 当k0时，点P(2,2)到直线xy40的距离为2；当k0时，解方程组得两直线交点P的坐标为，所以点P到直线xy40的距离为，为求得最大值，考虑正数k，则有，所以3.解后反思 直接求出l1，l2的交点P的坐标(用k表示)虽然也能做，但计算量较大找出点P变化的规律性比较好本题的解法1明显好于解法2题型二、两定点A，B，动点 P 满足确定隐圆；满足条件：两定点A，B，动点 P 满足的轨迹为圆）例3、(2019宿迁期末） 已知点A(1，0)，B(1，0)，若圆(xa1)2(ya2)21上存在点M满足3，则实数a的取值范围是_. 【答案】 2，1【解析】解法(坐标法求轨迹) 设M(x，y
4、)，因为3，所以点M的轨迹方程为(1x，y)(1x，y)3即x2y24，表示圆又因为点M在圆(xa1)2(ya2)21上，所以两圆有交点，所以2112，即a2a20，解得2a1.例4（2016年江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2y250上若20，则点P的横坐标的取值范围是_【答案】 5，1【解析】满足20，点P(x，y)的轨迹方程是x2y212x6y20.又因为x2y250，所以2xy50.点P(x，y)满足的所有约束条件是与线性规划类似，点P对应的图形是：以E(5，5)，F(1,7)为端点的左侧圆弧，圆弧在x轴上的射影为线段，点P横坐标的范围是5
5、，1题型三、两定点A，B，动点 P 满足PA2PB2是定值确定隐圆；满足条件：到两定点A，B，动点 P 满足PA2PB2是定值的轨迹为圆例5、(2018苏锡常镇调研）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则点的纵坐标的取值范围是 【答案】 【解析】思路分析：根据条件可得动点的轨迹是圆，进而可以将问题转化为圆与圆的位置关系进行处理.解题过程：设，因为所以，化简得，则圆与圆有公共点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为，代入可得 ，所以点的纵坐标的取值范围是解后反思：在解决与圆相关的综合问题时，要注意充分利用圆的几何性质或一些简单的轨迹知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的位置关系
6、问题.题型四 阿波罗尼斯圆：若给定两定点A，B，动点 P 满足APBP(0，1)的关系，则P点的轨迹为隐圆。我们称为阿波罗尼斯圆。例6、(2017徐州、连云港、宿迁三检）在平面直角坐标系中，圆若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】设点，因为为中点的弦，且，所以，在中，由得：，即，显然，所以，即所求是实数的取值范围是。题型五、有轨迹确定圆所谓轨迹法就是通过设点，根据题目中所给的条件得到轨迹方程。求轨迹方法为相关点法求轨迹常见求轨迹的方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法本题也可以利用点P运动，求出点Q的轨迹方程，再转化为曲线与曲线的位置关系问题例7、(2019南京、盐
7、城二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，B(5，0)若圆M：(x4)2(ym)24上存在唯一点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为_【答案】 或【解析】 根据直线PA，PB在y轴上的截距之积为5可得到点P所满足的条件，从而得到它的轨迹方程，再根据点P在圆M上来求出实数m的值设点P(x0，y0)，则直线PA方程为：y(x1)，它在y轴上的截距为，同理得PB在y轴上的截距为，由截距之积为5，得5，化简得(x02)2y9，由题意P的轨迹应与圆M恰有一个适合题意的点若A，B不在圆M上，则圆心距等于半径之和或差，5，解得m；或1，m无解，此时m，A，B不在圆M上；若
8、A或B在圆M上，把点A代入圆M可得点A不在圆M上，把点B代入圆M，解得m，经检验也成立例8、(2017南通一调）在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2y24上两点，点A(1,1)，且ABAC，则线段BC的长的取值范围为_【答案】 ，【解析】思路分析 本题考查圆的方程和性质，考查等价转化和运算求解能力，借助直角三角形的性质，把求BC的长转化为求2AM的长，而A为定点，思路1，求出M的轨迹方程，根据圆的性质及直角三角形的性质不难求得，其轨迹为一个圆，问题就转化为一定点到圆上一点的距离，这是一个基本题型，求解即得；思路2，设出AMx，OMy，寻找到x，y之间的关系式，通过线性规划的知识去处理解
9、法1 设BC的中点为M(x，y)因为OB2OM2BM2OM2AM2，所以4x2y2(x1)2(y1)2，化简得22，所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以AM的取值范围是，所以BC的取值范围是，解法2 设BC的中点为M，设AMx，OMy.因为OC2OM2CM2OM2AM2，所以x2y24.因为OA，所以xy，xy，yx.如图所示，可得x，所以BC的取值范围是，解后反思 求线段的长度范围，如果一个端点为定点，这时可以考虑运用轨迹法，求出另外一个端点的轨迹，问题迎刃而解二、达标训练1、(2019镇江期末） 已知圆O：x2y21，圆M：(xa)2(y2)22.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条
10、切线，切点为A，B，使得PAPB，则实数a的取值范围为_【答案】2a2.【解析】 考察点P的轨迹C，轨迹C与圆M有公共点利用圆与圆的位置关系求解由PAPB，PAAO，PBOB，PAPB，得四边形PAOB是正方形，所以P的轨迹是以原点O为圆心，为半径的圆又点P也在圆M上，所以OM，得a2228，解得2a2.2、(2016苏北四市期末） 已知|，且1.若点C满足|1，则|的取值范围是_【答案】1，1【解析】如图，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则，因为|，1，所以|，由|1得|1，所以点C在以点D为圆心，1为半径的圆上，而|表示点C到点O的距离，从而|1|1，即1|1，即|的取值范围是1，
11、13、（2018江苏卷） 满足条件AB2，ACBC的三角形ABC的面积的最大值是_【答案】 2【解析】解法以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系xOy，则由AB2得A(1，0)，B(1,0)设C(x，y)，由ACBC得，即(x3)2y2(2)2，所以点C在以(3,0)为圆心，半径为2的圆上(去掉与x轴的交点)，从而ABC的面积的最大值为222.4、(2016徐州、连云港、宿迁三检） 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是互相垂直的单位向量，且(ac)(bc)1，则的最大值是_【答案】 1【解析】 首先要根据题目条件求出c(x，y)的轨迹方程，再利用|c
12、|的几何意义求解即可；另外，也可以考虑用三角换元，用三角函数的有界性求解解法1 设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，则ac(1x，y)，bc(x，y)，由题意得x(1x)y(y)1，整理得x2y2xy10，即222，它表示以为圆心，以为半径的圆，则表示该圆上的点到原点(0,0)的距离，从而|c|max1.解法2 由解法1得222，令(为参数)，则|c|2223cossin32cos()(其中tan)，所以|c|32，于是|c|max1.5、(2017苏北四市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y24x0及点A(1，0)，B(1,2)(1) 若直线lAB，与圆C相交于M，
13、N两点，MNAB，求直线l的方程；(2) 在圆C上是否存在点P，使得PA2PB212？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由思路分析 第(1)问，注意到A，B已知，MNAB，MNAB，所以直线l的斜率已知，因此，本题的本质就是已知弦长，求直线的方程问题，因此，利用弦长公式可以求出直线方程中的变量的值，由此得到直线l的方程；第(2)问，通过假设存在后，这样就增加了一个条件，注意到点P满足PA2PB212，由此可得到点P的轨迹方程，又注意到点P在已知圆上，从而问题转化为两个曲线有没有交点的问题来加以处理规范解答 (1) 圆C的标准方程为(x2)2y24，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为lA
14、B，A(1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为xym0，(2分)则圆心C到直线l的距离为d.(4分)因为MNAB2，而CM2d22，所以42，(6分)解得m0或m4，故直线l的方程为xy0或xy40.(8分)(2) 假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x2)2y24，PA2PB2(x1)2(y0)2(x1)2(y2)212，即x2y22y30，即x2(y1)24.(10分)因为|22|22，(12分)所以圆(x2)2y24与圆x2(y1)24相交，所以点P的个数为2.(14分)6、(2018南京、盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，若直线yk(x3)上存在一点P，圆x2
