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1、长方体与方体长方体与方体长方体与长方体与立立方体方体 知识要点抢先看知识要点抢先看 对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计 算算，既可以很好地考查学生的空间想象能力既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以又可以 知识要点抢先看知识要点抢先看 算算，既可以很好地考查学生的空间想象能力既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以又可以 具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所 以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查。 具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所 以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查。 知识要点抢先看知识要点抢先看 如图，
2、长方体共有六个面如图，长方体共有六个面(每个每个 面都是长方形面都是长方形)，八个顶点八个顶点，十十 知识要点抢先看知识要点抢先看 H G F E 面都是长方形面都是长方形)，八个顶点八个顶点，十十 二条棱。 在六个面中，两个对面是全 二条棱。 在六个面中，两个对面是全 c b F E D C 等的，即三组对面两两全等。等的，即三组对面两两全等。 (叠放在一起能够完全重合的叠放在一起能够完全重合的 两个图形称为全等图形两个图形称为全等图形) b a BA 两个图形称为全等图形两个图形称为全等图形。) 长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积长方体的表
3、面积：S2(abbcca)；长方体的表面积长方体的表面积：S长方体 长方体2(ab bcca)； 长方体的体积：长方体的体积：S长方体 长方体 abc。 知识要点抢先看知识要点抢先看 如图，长方体共有六个面如图，长方体共有六个面(每个每个 面都是长方形面都是长方形)，八个顶点八个顶点，十十 知识要点抢先看知识要点抢先看 H G F E 面都是长方形面都是长方形)，八个顶点八个顶点，十十 二条棱。 正方体是各棱相等的长方体， 二条棱。 正方体是各棱相等的长方体， c b F E D C 它是长方体的特例，它的六 个面都是正方形。 它是长方体的特例，它的六 个面都是正方形。 如果它的棱长为如果它的
4、棱长为那么那么 b a BA 如果它的棱长为如果它的棱长为a，那么那么： S正方体 正方体 6a2，V正方体 正方体 a3。 1 知识要点抢先看知识要点抢先看 立体图形的体积计算常用公式：立体图形的体积计算常用公式： 知识要点抢先看知识要点抢先看 立体图形立体图形示例示例体积公式体积公式相关要素相关要素立体图形立体图形示例示例体积公式体积公式相关要素相关要素 长方体长方体 Vabh VSh 三要素：三要素：a、b、c 二要素：二要素：S、h 正方体正方体 Va3 VSh 一要素：一要素：a 二要素：二要素：S、h 经典例题妙解经典例题妙解 【例【例1】 经典例题妙解经典例题妙解 如图，有一个边
5、长为如图，有一个边长为20厘米的厘米的 大正方体大正方体分别在它的角上分别在它的角上大正方体大正方体，分别在它的角上分别在它的角上、 棱上、面上各挖掉一个大小相 、 棱上、面上各挖掉一个大小相 同的小立方体后同的小立方体后，表面积变为表面积变为同的小立方体后同的小立方体后，表面积变为表面积变为 2454平方厘米，那么挖掉的小 立方体的边长是多少厘米？ 平方厘米，那么挖掉的小 立方体的边长是多少厘米？ 经典例题妙解经典例题妙解 【例【例2】 经典例题妙解经典例题妙解 一个表面积为一个表面积为56cm2的长的长 方体如图切成方体如图切成27个小长个小长方体如图切成方体如图切成27个小长个小长 方体
6、，这方体，这27个小长方体个小长方体 表面积的和是表面积的和是cm2。表面积的和是表面积的和是_cm 。 经典例题妙解经典例题妙解 【例【例3】 经典例题妙解经典例题妙解 用用6块如图所示块如图所示(单位：单位：cm)的的 长方体木块拼成个大长方长方体木块拼成个大长方长方体木块拼成长方体木块拼成一一个大长方个大长方 体，有许多种拼法，其中表体，有许多种拼法，其中表 面积最小的是多少平方厘米面积最小的是多少平方厘米？ 1 2 3 面积最小的是多少平方厘米面积最小的是多少平方厘米？ 最大是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？ 3 2 经典例题妙解经典例题妙解 【例【例4】 经典例题妙解经典例题妙解
7、小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几 何体何体这个几何体从正面看如下图左这个几何体从正面看如下图左从上面看从上面看何体何体，这个几何体从正面看如下图左这个几何体从正面看如下图左，从上面看从上面看 如下图右。那么这个几何体至少用了如下图右。那么这个几何体至少用了_块木块。块木块。 经典例题妙解经典例题妙解 【例【例5】 经典例题妙解经典例题妙解 有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长 分别是分别是6米米3米米2米米把两堆碎石分别沉没在把两堆碎石分别沉没在分别是分别是6米米、3米米、2米米。把两堆碎石分别沉没
8、在把两堆碎石分别沉没在 中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高 了了6厘米和厘米和4厘米厘米。如果将这两堆碎石都沉没在如果将这两堆碎石都沉没在了了6厘米和厘米和4厘米厘米。如果将这两堆碎石都沉没在如果将这两堆碎石都沉没在 大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？ 3 测试题 1在一个棱长为 50 厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为 5 厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？ 2如如图，一个正方体形状的木块，棱长 l 米，沿水平方向将它锯成 3 片，每片又锯成 4 长条，每条又锯成 5
9、小块，共得到大大小小的长方体 60 块。那么，这 60 块长方体表面积的和是多少平方米？ 3如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_平方厘米。 4如图是4 5 6 正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？ 5有 6 个相同的棱长分别是 3 厘米、4 厘米、5 厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的长方体只有 1 个面是红色的，有的长方体恰有 2 个面是红色的， 有的长方体恰有 3 个面是红色的，有的长方体恰有 4 个面是红色的，有的长方体恰有 5 个面是红色的，还有一个长方体 6 个
10、面都是红色的，染色后把所有长方 体分割成棱长为 1 厘米的小正方体分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有多少个？ 答案 1答案：对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后 3 个方向考虑变化前后的表面积不变：5050615000(平方厘米)。 2答案：我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的 2 个面的面积。现在一共切了(31)(41)(51)9 刀，而原正方体一个面的面积 1l1(平方 米)，所以表面积增加了 92118(平方米)。原来正方体的表面积为 616(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为 618=24(平方米)。 3答案：(法 1)四个正方体的表面积
11、之和为： 2222 (1235 ) 639 6234(平方厘米)， 重叠部分的面积为： 222222222 13(22 1 )(321 )(321 )39 14 1440 (平方厘米)， 所以，所得到的多面体的表面积为：23440194(平方厘米)。 (法 2)三视图法。从前后面观察到的面积为 222 53238平方厘米，从左右两个面观察到的面积为 22 5334平方厘米，从上下能观察到的面积为 2 525平方厘米。表面积为3834252194(平方厘米)。 4答案：三面涂红色的只有 8 个顶点处的 8 个立方体； 两面涂红色的在棱长处，共(42) 4(52) 4(62) 436 块； 一面涂
12、红的表面中间部分：(42) (52) 2(42) (62) 2(52) (62) 252 块。 5答案：一面染红的长方体，显然应将4 5的长方体染红，这时产生 20 个一面染成红色的小正方体，个数最多。二面染红的长方体，显然应将两个4 5的长方 体染红，这时产生 40 个一面染成红色的小正方体，个数最多。三面染红的长方体，显然应将4 5，4 5，4 3的面染红，于是产生4 (5534)36 个一面染成红色的小正方体，其他方法得出的一面染成红色的正方体均少于 36 个。四面染红的长方体，显然应将4 5，4 5，4 3，4 3的面染红， 产生4 (55332 4)32 个一面染成红色的正方体，其他方法得到的一面染成红色的小正方体均少于 32 个。五面染红的长方体，应只留一个3 5 的面不染，这时就产生(32) (52)(4 1) (55332 4)27 个一面染成红色的小正方体，其他染法得到的一面染成红色的小正方体均少于 27。 六面染红的长方体，产生2(32) (52)(52) (42)(42) (32)22个一面染成红色的小正方体。 于是最多得到222732364020177个一面染成红色的小正方体。
