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1、,M0,M,垂面方程为,2o 求出 L1与此平面的交点M：,.,.,L,= t,解：,L1,1,1o 过 M0作 L1 的垂面，,d,L1,L2,方法 I 思路：,1o 过L1做平面 ，使 / L2.,2o 点M L2,点M 到平面 的距 离即为d.,M,(2),解：,.,.,先求平面 的法矢量：,取点M(2,3,4) L2,.,n,方法 II 思路：,.,解：,L1,L2,M,N,利用混合积的几何意义：,所求的 d 就是三矢量构成的 平行六面体的高.,.,.,.,(2),(3),思路I：,因为：(1) 它们共面.,(2) 它们不平行.,( L2平行于已知平面 ，但显然 L 1 不平行 于 .
2、 ),相交。,问题：L2与 L1 相交吗？,求直线的一般式方程., 2,1,L1,L2,.,M0,具体解答如下：,n,M1,思路II：,求直线的标准式方程.,L1,从思路 I 的分析知：,.,.,L2,如图：,.,n, 2,1,解：,(3),.,2. （1）,解：,= 0,= 0,(2),解：,证毕.,.,解：,(3),.,解：,(4),.,解：,.,(5),(6),解：,.,同理：,(7),解：,.,(8),A,B,C,结 论,(1, 2),(2, 1),(1, 2),(2, 1),6,6,12, 0,z(1,2)非极值,12,12,6, 0,极小值 z(2,1)=28, 6, 6,12,
3、0,z( 1, 2)非极值, 12, 12, 6, 0,极大值 z( 2, 1)=28,列表分析：,8,.,.,1(2),设D是矩形域： x , 1 y 1 .则,8,（D关于x轴对称，siny是y的奇函数.）,.,解：,1(2),证毕.,则在极坐标下的二次积分为,.,图形,2,y = x,D,1,1,x =2,.,.,.,曲边扇形,解：,即得答案.,(3),证毕.,交换二次积分的积分顺序：,.,解：,1,2,1,x+y =1,D,答案,.,.,(4),证毕.,.,解：,.,.,(5),洛必达法则,证毕.,3.计算,(1),(2),(3),(4),解答:,3.计算 (1),而且必为一个常数。,
4、只须求A.,将上式两端在 D 上作二重积分:,A =,因为 f (x,y) 连续，,.,.,解答:,3 (2),的原函数不是初等函数，必须换序。,1,y = x,D,.,.,解答:,3 (3),y = x,.,D,使用哪种坐标系？,D的边界的表示式？,.,.,a,解答:,3 (4),设 =1,.,.,.,(柱系),(球系),A(1,0),B(0,1),C(1,2),解,类型：,I 型曲线积分,三1.,其中，,.,.,.,1,4,A(1,1),B(2,4),C (1,4),解,类型：,II 型曲线积分,三2.,方法 I：,直接计算.,1,.,.,也可以用下面的方法：,1,4,A(1,1),B(2
5、,4),C(1,4),D,解,类型：,II 型曲线积分,贴补，用格林公式.,1,.,先 x,.,.,三2.,方法 II：,4,解,类型：,I 型曲面积分,三3.,Dxy,用平面极坐标,.,.,.,解,类型：,II 型曲面积分,三4.,S由第一卦限和第二卦限中的锥面S1和S2构成.,其上侧在yOz平面的投影为负；,其上侧在yOz平面的投影为正.,h,h,z = y,Dyz,Dyz 图形？,.,S1,S2,.,.,.,也可以用下面的方法：,o,x,y,z,解,类型：,II 型曲面积分,需贴补侧面S（右侧）和半圆顶面S半圆（下侧）.,h,h,Dxy 图形？,.,三4.,方法 II:,贴补，用高斯公式
6、.,S,S半圆,.,2. (1),解,方法：,2,1,L,用格林公式,.,.,0 t 2,C,.,.,2. (2),解,方法：,贴补，用高斯公式.,R,S,V,.,.,Dxy,解,.,.,.,.,.,.,三 1. 解答,用级数收敛的定义.,所以，原级数收敛，且其和为 1 a .,.,三 2. 解答,由莱布尼茨定理知级数收敛。,再由ex 的麦克劳林展开式知：,即：,.,.,.,.,三 3. 解答,.,.,三 4. 解答,1.,= 4,2,f (x),s (x),偶延拓,2,4,4,2,.,三 4. 解答,2.,2,f (x),s (x),奇延拓,2,4,4,0,2,.,例 2,.,.,解：,二 典型例题,由比值法：,由收敛的必要条件：,.,.,.,解：,例 3,解：,= 2e (e 1 ),= e + 1 .,.,.,.,展开式 1,.,例 7,解：,.,.,.,.,.,.,.,例 6,解：,= 0,n = 1, 2, ,n = 1, 2, ,.,例 8.,解：,和函数 s (x)的图形如下：,函数 f (x) 的图形如下：,.,.,.,3,3,f (x),.,s (x),例 8,
