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1、江西省赣州市石城中学 2020 届高三数学上学期第十三次周考试题 （B）理 满分 150 分 时间 120 分钟 一、一、 选择题：（本大题共选择题：（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1、若全集，集合，则（ ）RU 01|,16| 2 xxBxZxA)(BCA U A、 B、 C、 D、41 | xx41 | xx321 ， 32， 2.已知命题，命题若ABC中，,则， xx Rxp23 ,:q7, 8, 5cba20CABC 则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D.qpqp )（)( qp)()qp（ 3.已知，则（ ）0cos
2、2sin2sinsin3 2 A.B.C.D. 5 8 5 16 2 5 14 4、已知等差数列的前项和为，则( ) n an n S176,330,22 44 nn SSSn A、14 B、15 C、16 D、17 5.若函数，且， 3sinf xx 5 sin 2 x 2f 0f 的最小值是，则的单调递增区间是（ ） 2 f x A. B. 2 2,2 33 kk kZ 5 2,2 66 kk kZ C. D. 5 , 1212 kk kZ , 36 kk kZ 6若展开式的系数之和等于展开式的二项式系数之和，则的值为（ n yx)3( 10 7abn ） A15B10C8D5 7在中，角
3、、的对边长分别为、命题甲：，且ABCABCabcACB ，命题乙：是等腰直角三角形，且为直角则命题甲是命题乙的（ 2acbABCB ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必 要条件 8.在公比为的正项等比数列中，则当取得最小值时，（ q n a 4 4a 26 2aa 2 log q ） A. B. C. D. 1 4 1 4 1 8 1 8 9.函数 2sin(4) 2 41 x x x y 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10已知，则（ ） 6 log 2a 0.6 log0.2b 0.2 0.6c A B C D acbabcbcacab 11已知
4、函数的图像向左平移个单位长度，得到 ( )3cos()(0) 3 f xx 2 的图像，图像的相邻两条对称轴之间的距离为个单位长度，则函数 ( )g x( )g x 4 图像的一个对称中心为（ ） ( )g x AB CD (,0) 6 (,0) 3 (,0) 3 2 (,0) 3 12.（错题重现）设函数是奇函数的导函数，当时， fx f xxR 0 x ，则使得成立的的取值范围是（ ） lnx x fxf x 2 40 xf x x A. B. 2,00,2 , 22, C. D. 2,02, , 20,2 二、二、 填空题：（本大题共填空题：（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题
5、5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.已知是数列的前项和，且，则数列的通项公式为 n S n a n 3 log11 n Sn n a _ 14、设，则的最小值为 .52, 0, 0yxyx xy yx) 12)(1( 15已知直线l:y=k(x-2)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点，F为抛物线C的焦点，若 |AF|=3|BF|，则直线l的倾斜角为_. 16已知正三棱柱底面边长为，高为 3，圆是三角形的内切圆， 111 ABCABC2 3 OABC 点是圆上任意一点，则三棱锥的外接球的体积为_ PO 111 PABC 三、三、 解答题：（本大题共解答题：（本大题共 6 6 小题，
6、共小题，共 7070 分）分） 17.（错题重现）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 cos , 1sin xt yt (t为参数)， 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 . 2 2 cos30 （）写出直线l的直角坐标方程； （）设点M的极坐标为 1, 2 ，若点M是曲线C截直线l所得线段的中点，求l的斜 率 18如图所示，在三棱锥中，平面,，PABCPC ABC3PC 2 ACB 分别为线段上的点，且，,D E,AB BC2CDDE 22CEEB （1）证明：平面；ED PCD （2）求二面角的余弦值APDC P E D C B A 19、如图,在
7、梯形 ABCD 中,已知 求：的长； , 2tan, 4 ,102, 1,/ADCCADBDADBCAD CD) 1 ( 的面积 BCD)2( 20 （本小题满分 12 分） 设函数，其中 x exaxxf2 2 0a （）当时，求的极值点； 3 4 a xf （）若在上为单调函数，求的取值范围 xf1 , 1a 21 （12 分）已知椭圆过点，且左焦点与抛物线 22 22 10 xy ab ab 3 1 2 ，P 的焦点重合 2 4 yx （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于不同的两点、，线段的中点记为 :0l ykxm k MNMN ，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围 A
8、MN 1 0 8 ，G k 22.设函数. 2 1 ( )ln, 22 x f xaxaR （1）若函数在区间（为自然对数的底数）上有唯一的零点，求 ( )f x 1,e 71828 . 2 e 实数的取值范围； a （2）若在（为自然对数的底数）上存在一点，使得 1,e 71828 . 2 e 0 x 成立，求实数的取值范围. 2 0 00 0 11 22 xa f xx x a 数学参考答案（理科 B） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. 题号 123456789101112 DBABADCADACD 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13. 14.
9、 15.或 16. 8,1 2 3 ,2 n n n a n 343 2 3 20 5 3 .三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） 17.解：（）当时，直线 的直角坐标方程为；（2 分） 2 l0 x 当 2 时，直线l的直角坐标方程为 tan1yx （4 分） （）点M的直角坐标为(0 1) ， ，曲线C的直角坐标方程为 22 230 xyx ， （6 分） 把 cos 1sin xt yt ， 代入曲线C的直角坐标方程，化简得 2 2(sincos )20tt ，由 12 0tt ，得tan 1 ，所以直线l的斜率为 1 （10 分） 1
10、8.（本小题满分 12 分） （1）证明：因为平面，平面，PC ABCDE ABC 所以.1 分PCDE 由得为等腰直角三角形，2,2CECDDECDE 故2 分CDDE 又，且面，面，3 分PCCDCPC PCDCD PCD 故平面4 分DE PCD （2）解：如图所示，过点作垂直于， DDFCEF 易知，又，故 1DFFCFE1EB 2FB 由，得， 2 ACB /DF AC 2 3 DFFB ACBC 故5 分 33 22 ACDF P E D C B A 以点为坐标原点，分别以，的方向分别为轴，轴，轴的正方向， CCA CB CP x y z 建立如图空间直角坐标系， 6 Cxyz 分
11、 ，(0,0,0)C(0,0,3)P 3 ( ,0,0) 2 A(0,2,0)E(1,1,0)D 7 分 1 (1, 1,0),( 1, 1,3),( , 1,0) 2 EDDPDA 设平面的法向量为，则， PAD 1111 ,nx y z 1 0n DP 即，8 分 111 11 30 1 0 2 xyz xy 令，则，故可取9 分 1 2x 11 1,1yz 1 (2,1,1)n 由（1）可知平面，故平面的法向量可取为，即. DE PCDPCD 2 n ED 2=(1, 1,0) n 10 分 则，11 分 12 12 12 13 cos, 626 | n n n n nn 又二面角为锐二
12、面角，所以二面角的余弦值为12 分 APDCAPDC 3 6 19.解：, , 在中,由正弦定理得,即,解得 , , , F y z x P E D C B A 在中,由余弦定理得, 即,解得或舍 20解：对求导得 )(xf 2 ( )212 x fxaxaxe （1 分） （）若 3 4 a，由 22 42 ( )2122 33 xx fxaxaxexxe 令，因为，则， 0)( xf 0 x e 2 42 20 33 xx 12 3 ,1 2 xx 解得 （2 分） 所以随x变化而变化的情况为： xfxf, 所以，是极大值点，是极小值 2 3 1 x1 2 x 点（5 分） （注：未注明极
13、大、极小值扣 1 分） （）若为上的单调函数，又，所以当时)(xf1 , 102)0( f1 , 1x ，即在上恒成立 0)( xf0212)( 2 xaaxxg1 , 1 （6 分） x) 2 3 ,( 2 3 ) 1 , 2 3 ( 1 ), 1 ( )(x f +0 0+ )(xf 极大值 极小值 （1）当时，符合题意；0a( )22( 1)0g xxg （8 分） （2）当时，抛物线开口向上，0a212)( 2 xaaxxg 则的充要条件是，( )0g x 01 01 g g 即，所以 043 0 a a 3 4 0 a 综合（1） （2）知的取值范围a 是 3 4 0 a （12 分
14、） 21. 22【详解】 （1），其中. 2 ( ) axa fxx xx 1,ex 当时，恒成立，单调递增， 1a ( )0fx( )f x 又，函数在区间上有唯一的零点，符合题意. 10f( )f x1, e 当时，恒成立，单调递减， 2 ae ( )0fx( )f x 又，函数在区间上有唯一的零点，符合题意. 10f( )f x1, e 当时，时，单调递减， 2 1ea1 xa ( )0fx( )f x 又， 10f()(1)0faf 函数在区间有唯一的零点， ( )f x1,a 当时，单调递增， eax ( )0fx ( )f x 当时符合题意，即， 0f e 2 1 0 22 e a
15、 时，函数在区间上有唯一的零点； 2 1 2 e a ( )f x1,a 的取值范围是. a 2 1 |1 2 e a aa 或 （2）在上存在一点，使得成立，等价于 1, e 0 x 2 0 00 0 11 22 xa f xx x 在上有解，即函数在上的最 00 00 1 ln0 a xax xx 1, e 1 ( )ln a g xxax xx 1, e 小值小于零. ， 2 2222 11(1)(1) ( )1 aaxaxaxxa g x xxxxx 当时，即时，在上单调递减，所以的最小值为， 1ae 1ae ( )g x1, e( )g x( )g e 由可得，； 1 0 a g eea e 2 1 1 e a e 2 1 1 1 e e e 2 1 1 e a e 当时，即时，在上单调递增，所以的最小值为，由 1 1a 0a ( )g x1, e( )g x 1g 可得
