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1、1,第10讲-复数在电工中的简单应用,1.正弦量的瞬时表达式,2.正弦量的相量表达式,3.RLC串联电路中的复阻抗,4. 复功率,2,学习目标,1掌握正弦量的复数表示形式，并进行计算； 2会运用复功率计算有功功率、无功功率和视在功率的计算；,3,重 点,难 点,1正弦量的复数表示形式； 2复功率的计算。,复功率的计算,4,1.正弦量的瞬时表达式,在线性正弦交流电路中，正弦交流电是指随时间按正弦规律变化的电流和电压,它的瞬时表达式就是使用三角函数的形式表示正弦交流电变化的规律。,例如正弦交流电压u(t)=Umsin(t+)在直角坐标系上是一条随时间变化的正弦曲线,其中Um为幅值，为角频率，为初相
2、角，三者构成了正弦量的三要素。,6,一个正弦量由三要素来确定，分别是频率、幅值和初相。因为在同一个正弦交流电路中，电动势、电压和电流均为同频率的正弦量，即频率是已知或特定的，可以不必考虑。只需确定正弦量的幅值(或有效值)和初相位就可表示正弦量。,而一个复数的四种表达方式均要用两个量来描述。不妨用它的模代表正弦量的幅值或有效值，用幅角代表正弦量的初相，于是得到一个表示正弦量的复数，这就是正弦量的相量表示法。,7,相量表示方法为：用复数的模值对应地表示正弦量的振幅(或有效值)；用复数的幅角对应地表示正弦量的初相，任何一个正弦量都可以对应这样的一个复数，而我们就把这个与正弦量相对应的复数称为正弦量的
3、相量，简称相量。换句话说正弦量的相量就是特指用复数来表示的、与正弦量具有一一对应关系的复数。,为了区别与一般复数的不同，相量头顶要带上标记“”， 如 。,一个正弦量的相量，就是在给定角频率条件下，用它的有效值（也可用最大值）和初相角这两个要素来表示的量。在概念上关于相量应明确如下几点：,8,(1)正弦量的相量，用有效值和初相角表示时，称为有效值相量；用最大值和初相角表示时，称为最大值相量或振幅相量。 (2)所谓相量法是用相量这一特殊复数来表示正弦量，从而将正弦量的运算转化为复数运算的方法。正弦量的相量不仅仅是时间t的函数，还是一个复数。 (3)将正弦量用相量表示实质上是一种数学变换。一个相量可
4、以充分表达正弦量的三要素，只是由于电路中各量的频率相同而省掉了频率而已。相量仅为正弦量的一种表示方法，相量并不等于正弦量。 (4)引入相量法的目的是为了简化正弦稳态电路的分析计算，相量只能用来进行同频率正弦电源电路的分析计算。注意，今后若不特别说明，相量均指有效值相量。,9,若正弦电压为,正弦电流为,有效值相量是以正弦量的有效值I或U为模、初相角为辐角，记为,最大值相量是以正弦量的最大值Im或Um为模、初相角为辐角，记为,I表示电压有效值，Im表示电压最大值或振幅,10,例1:已知对称三相正弦电压可表示为：,试证明其相量之和恒等于零。（教材P85第8题）,证明：因为电压的相量分别为,讲解例题,
5、11,例2:请写出正弦量u=311sin(314t 30) V， i=4.24sin(314t 45) A 相量形式。 解：(1) 正弦电压u的有效值为U = 0.7071 311 = 220 V 初相角为=30 所以其相量为 (2) 正弦电流i的有效值为 = 0.7071 4.24 = 3 A 初相角为= -45 所以其相量为,讲解例题,12,讲解例题,解：电流i1、i2对应的相量形式分别为,所以,而,即,13,复数形式的电阻和电抗称为复阻抗。相量分析法中的复阻抗的模对应正弦交流电路中的电阻和电抗，例如单一电阻元件电路的复阻抗为R，是一个只有实部没有虚部的复数；单一电感元件电路的复阻抗是jX
6、L，是没有实部，只有正值虚部的复数；单一电容元件电路的复阻抗是jXC，是没有实部，只有负值虚部的复数。复阻抗的模值对应正弦交流电路的阻抗；复阻抗的幅角对应正弦交流电路中电压与电流的相位差角。,。,3.RLC串联电路中的复阻抗,14,电路中的容抗为,电路中的感抗为,RLC串联电路中的复阻抗为,其中为角频率，为频率，,15,讲解例题,例4：如图所示，已知R100，L0.5H，f=50Hz，C=30F，计算总复阻抗Z和总阻抗Z|,并把结果化为复数的三角形式。(教材P76例14）,解：,所以总阻抗为,16,讲解例题,例5：一个100F的电容器接在电压为10V的正弦电源上，当电源频率为50Hz时，试写出
7、电容元件中电流的瞬时值表达式。,解：当f=50Hz时，容抗为,由题意得，电源电压的有效值表示为,故,所以,即,17,讲解例题,解：正弦电流的相量为,电感元件的感抗为,电阻电压为,电感电压为,则,即,18,练习,19,4. 复功率,由此可看出，复功率的模为视在功率，其单位是伏安（VA）， 而复功率角为电压相量和电流相量之间的夹角，就是功率因数角。,定义：电压相量 与电流共轭相量 之乘积。一般用 表示，即,其中,这样,20,复功率还可以用负载阻抗Z表示，负载阻抗Z为：,所以,，代入得,21,又因为,， 则,显然P和Q分别为复功率的实部和虚部：,P是平均功率或有功功率，它取决于负载的电阻R，而Q是无
8、功功率(或正交功率)，它取决于负载的电抗部分X。,22,比较两式,得：,有功功率P是传送到负载上去的平均功率，单位是瓦特，它是负载实际消耗的功率，是有用功。无功功率Q是电源与负载电抗部分能量交换的一个度量，单位是乏(VAR)，用以区别有功功率瓦特的单位。无功功率也是在负载和电源之间来回转换，在转换过程中没有损耗。无功功率注意如下3点： 1、Q =0，是电阻负载(pf=1)。 2、Q0，是电容性负载(超前pf)。 3、Q0，是电感性负载(滞后pf)。,23,总之，复功率的引入使我们可以由电压相量和电流相量直接得到有功功率和无功功率。,复功率：,视在功率：,有功功率：,无功功率：,24,表示 、P
9、和Q三者关系的一种习惯做法是三角形表示法，称作功率三角形，如图所示，它与表示Z，R，X关系的阻抗三角形类似。功率三角形有四项：视在/复数功率、有功功率、无功功率和功率因数角。给出其中的两相，另两项就可以很方便的由三角形得到。,无功功率注意如下3点： 1、Q =0，是电阻负载。 2、Q0，是电容性负载。 3、Q0，是电感性负载。,25,实部为平均功率、虚部（或负虚部）为无功功率的复数量，是以相量法分析正弦电流电路时常涉及到的一个辅助计算量。 由于正弦电流电路中的有功功率、无功功率、和视在功率三者之间是一个直角三角形的关系，可以通过“复功率”来表示。复功率是一个辅助计算功率的复数，它将正弦稳态电路
10、的三种功率和功率因素统一为一个公式表达，只要计算出电路中电压和电流向量，各种功率就可以很方便地计算出来。引人复功率这一概念给电力网的潮流计算带来很多方便，在谐波潮流计算中也多引用谐波复功率进行分析计算。,26,复功率是正弦交流分析相量法中的一个辅助计算量，它实际上是功率三角形的算数表示式，用来分析计算正弦交流电路中的有功功率和无功功率。它将正弦稳态电路的三种功率和功率因素统一为一个公式表达，只要计算出电路中电压和电流相量，各种功率就可以很方便地计算出来。在工程实际中，引人复功率这一概念给电力网的潮流计算带来很多方便，在谐波潮流计算中也多引用谐波复功率进行分析计算。,27,例7：有一负载，其两端
11、电压是 ，而沿电压降落方向流过负载的电流是 。求(a)复功率和视在功率，(b)有功功率和无功功率，(c)负载阻抗。,讲解例题,解:电压和电流的相量形式分别为,复功率为,视在功率为,28,又,对照 ，则有功功率为P=22.5W,无功功率为Q=38.97VAR,负载阻抗是：,这是一个电容性阻抗。,29,例8：已知RLC串联电路中，电阻R=16，感抗XL=30，容抗XC=18，电路端电压为220V，试求电路中的有功功率P、无功功率Q、视在功率S。（提示0.8+0.6j=ej36.90),解： 复阻抗(阻抗的复数形式)为,电路中的有功功率为1936W（瓦）,无功功率为1452var（容性） 视在功率为
12、2420VA（伏安）,讲解例题,30,小 结,你能总结一下本讲的主要内容吗？,31,1、一个电感为20mH的纯电感线圈，接在电压 u311sin（314t+300）V的电源上，求：电路中的无功功率是多少？ 2、一个容量为637F的电容器，接在电压 u311sin（314t600）V的电源上，求：电路中的无功功率是多少？ 3、将电感为255 mH、电阻为60的线圈接到u=311sin314t伏的电源上组成RL串联电路。求电路中的有功功率。,练 习,32,4、将一个电阻R=40和一个25微法的电容器相串联后接到u=141sin500t伏的电源上，试求电路上的有功功率P、无功功率Q、视在功率S。,5、已知RLC串联电路中，电阻R=16，感抗XL=30，容抗XC=18，电路两端电压为220V，试求电路上的有功功率P、无功功率Q、视在功率S。,33,6、已知RLC串联交流电路中，电阻R=30，电感L=127mH，电容C=40F，电路两端电压为u=311sin100t伏，试求电路上的有功功率P、无功功率Q、视在功率S。,34,祝你学习进步！,祝你工作愉快！,
