《武汉理工大学理论力学课件 第九章 动量矩定理(第二版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《武汉理工大学理论力学课件 第九章 动量矩定理(第二版)（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,第九章 动量矩定理,2,第九章 动量矩定理,9.1 质点和质点系的动量矩,9.2 动量矩定理,9.3 刚体绕定轴的转动微分方程,9.4 刚体对轴的转动惯量,9.5 质点系对于质心的动量矩定理,9.6 刚体的平面运动微分方程,3,一、质点的动量矩,质点对于点O的动量矩质点Q的动量对于点O的矩。即,质点对于z轴的动量矩质点动量mv在Oxy平面内的投影 (mv)xy 对于点O的矩。即,质点Q的动量矩矢在过点O的z轴上投影，等于对z轴的动量矩。即,在国际单位制中动量矩的单位为 kg m2/s,9.1 质点和质点系的动量矩,4,二、质点系的动量矩,1. 质点系对点O的动量矩,2. 质点系对z轴的动量
2、矩,质点系对点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。,各质点对点O的动量矩的矢量和。,即,各质点对z轴的动量矩的代数和。,即,5,刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。,称为刚体对于 z 轴的 转动惯量，于是,刚体转动时，刚体对转轴的动量矩为,6,一、质点的动量矩定理,质点对定点O的动量矩,作用力F 对同一点O的矩,将动量矩对时间取一阶导数，,9.2 动量矩定理,得,7,则上式为,因为,所以,上式为质点动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。,8,上式在直角坐标轴上的投影式,9,二、质点系的动量矩定理,设质点系
3、内有n 个质点。第i个质点上的内力为Fi(i) ，第i个质点上的外力为Fi (e) 。,由质点的动量矩定理有：,这样的方程共有n个，相加后得,而,所以,0,10,上式称为质点系动量矩定理：质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和（外力对点O的主矩）。,应用时，取投影式,11,三、动量矩守恒定律,质点：,如果,则,常矢量。,如果,则,常量。,上述两种情况就是质点的动量矩守恒定律。,质点系：,如果,则,则,如果,常矢量。,常量。,上述两种情况就是质点系的动量矩守恒定律。,12,【例1】高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮的半径为R，转动惯量为J，作用
4、在鼓轮上的力偶矩M，小车和矿石总质量为m，轨道的倾角为。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车的加速度a。,13,解：取整体为研究对象,由质点系对O轴的动量矩定理，有：,因,得,14,解：取整体为研究对象,由质点系对O轴的动量矩定理,有：,15,【例3 】水轮机转轮，进口水速度 ，出口水速度 ，它们与切线夹角分别为 ， ，总体积流量 。 求水流对转轮的转动力矩。,16,现取一片分析，设经dt 时间，水由ABCD流到abcd。,设叶片数为 ，水密度为 ，,解：,动量矩改变为,17,【例4 】已知 ， ， ， ， ， ，不计摩擦。,求（1）,（2）O处约束力,（3）绳索张力 ，,18,由 ，得,解
5、：,（1）,（2）由质心运动定理,19,（3） 研究,（4）研究,20,【例5】水平杆AB长为2a，可绕铅垂轴z转动，其两端各用铰与长为l的杆AC及BD相连，杆端各连结质量为m的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂时，系统绕z轴的角速度为0 。如果此时细线拉断后，杆AC和BD各与垂线成角，不计各杆的质量，求这时系统的角速度 。,21,解：取整体为研究对象,因为,所以,常数,当= 0时，,当0时，,由LZ1=LZ2，得,22,主动力：F1 ，F2 ，Fn,轴承约束力：FN1 ，FN2,由质点系对z轴的动量矩定理，有,或,上式也可写成,或,以上各式均称为刚体绕定轴转动微分方程。
6、,转动惯量是刚体转动惯性的度量。,9. 3 刚体绕定轴的转动微分方程,23,【例6】已知： ，求 。,解：,24,【例7】飞轮对轴O的转动惯量为Jo，以角速度0 绕轴O转动。制动时，闸块给轮以正压力FN，已知闸块与轮之间的滑动摩擦因数为f，轮的半径为R，轴承的摩擦忽略不计。求制动所需的时间t。,解：以轮为研究对象,取逆时针方向为正，刚体 的转动微分方程为：,积分,解得,25,【例8】 提升装置中，均质圆轮A、B的质量分别为m1、m2 , 半径分别为 r1、r2 ,物体C 的质量为m3 ，轮A上作用常力矩M1 。求物体C上升的加速度。,26,解: 取轮A为研究对象,再取轮B和物体C为研究对象,因
7、为,得,即：,27,【例9】两根质量各为8 kg的均质细杆固连成T 字形，可绕通过O点的水平轴转动，当OA处于水平位置时, T 形杆具有角速度 =4rad/s 。求该瞬时轴承O的反力。,解：选T 字形杆为研究对象。 受力分析如图示。,由定轴转动微分方程,28,根据质心运动微分方程，得,以O为坐标原点建立如图坐标系，确定质心位置及加速度,29,刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量，刚体对任意轴z的转动惯量定义为,由上式可见，转动惯量的大小不仅与质量大小有关，而且与质量的分布情况有关。,在国际单位制中其单位为kgm2。,转动惯量恒为正值。,9. 4 刚体对轴的转动惯量,30,一、简单形状物体的转动
8、惯量计算,（1）均质细直杆对于z轴的转动惯量,设杆长为l，单位长度的质量为,取杆上一微段dx，其质量mi=dx，则,杆的质量,于是,31,（2）均质薄圆环对于中心轴的转动惯量,设圆环质量为m，质量mi到中心轴的距离都等于半径R，所以圆环对于z轴的转动惯量为,即,32,，是均质圆板单位面积的质量。因此圆板对于中心轴的转动惯量,（3）均质圆板对于中心轴的转动惯量,设圆板的半径为R，质量为m 。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环半径为ri，宽度为dri，则薄圆环的质量为,式中,或,33,二、回转半径（或惯性半径）,回转半径（或惯性半径）定义为,如已知z ，则,即: 物体的转动惯量等于该物体的质量与
9、回转半径平 方的乘积。,34,三、平行轴定理,定理 刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即,证明：设点C为刚体的质心，刚体对于通过质心的 z1 轴的转动惯量为JZc，对于平行于该轴的另一轴z的转动惯量为JZ，两轴间距离为d。分别以C、O两点为原点，作直角坐标系Cx1y1z1和Oxyz，不失一般性，可令轴y与轴y1重合。,35,因为x=x1，y=y1+d ，于是,由质心坐标公式,当坐标原点取在质心C时，yC=0，,又有,于是得,36,例：质量为m，长为l的均质细直杆如图，求此杆对于垂直于杆轴且通过质心C的轴zc的转动惯
10、量。,解：因为,应用平行轴定理，得,37,四、计算转动惯量的组合法,当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。,例:钟摆：均质直杆m1, l ；均质圆盘：m2 , R 。求 JO 。,解：,38,解：,其中,由 ，得,又如：空心圆柱体，已知： ，求 。,39,五、确定转动惯量的实验法,例如，欲求物体对于轴O的转动惯量，可将该物体在轴O悬挂起来，并使其作微幅摆动。,设j角以逆时针方向为正。物体的转动微分方程为,物体作微幅摆动，有,，得,或,此方程的通解为,j0称为角振幅，
11、q是初相位，它们都由运动初始条件确定。,40,摆动周期为,测定mg，a和摆动周期T，则物体对于轴O的转动惯量可按照下式计算：,41,点O为定点，点C为质点系的质心，质点系对定点O的动量矩为,是质点系相对于质心的动量矩。,根据质点系动量计算公式,于是得,9.5 质点系对于质心的动量矩定理,42,质点系对于定点O的动量矩定理,因,于是,即: 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数等于作用于质点系的外力对质心的主矩。这个结论称为质点系对于质心的动量矩定理。,43,引入固连于质心的平移参考系,则质点系对于质心的动量矩为,由质心坐标公式，有,显然,即,于是得,可见，计算质点系相对于质心的动量矩时，用质点相
12、对于惯性参考系的绝对速度vi，或用质点相对于固连在质心上的平移参考系的相对速度 vir，其结果一样的。,44,则刚体的运动分解为随质心C 的平移和绕质心C的转动。,平面运动刚体的位置，可由基点的位置与刚体绕基点的转角确定。,取质心C 为基点，,绕质心C 的转动是相对运动，则刚体对质心的动量矩为,9. 6 刚体的平面运动微分方程,45,设在刚体上作用的外力可向质心所在的运动平面简化为一平面力系F1、F2、Fn，则应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，得,上式也可写成,以上两式称为刚体的平面运动微分方程。 应用时，前一式取其投影式。,46,【例9】半径为r、质量为m的均质圆轮沿水平直线纯滚动。
13、设轮的惯性半径为rC，作用于圆轮的力偶矩为M。求轮心的加速度。如果圆轮对地面的静滑动摩擦系数为f，问力偶矩M必须符合什么条件方不致使圆轮滑动？,47,解：取圆轮为研究对象，平面运动微分方程为,因圆轮只滚不滑，有,解得,欲使轮只滚不滑，必须有,故,所以圆轮只滚不滑的条件为,而,又由上三式得,即,48,【例10】 均质圆柱体A和B的质量均为m，半径均为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。求 (1) 圆柱B下落时质心的加速度。(2)若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么条件下圆柱B的质心将上升。,49,解：(1)取圆柱A为研究
14、对象,(a),再取圆柱B为研究对象,(b),(c),由运动学知：,由（a）、（c）知,得,50,(2)取圆柱A为研究对象,再取圆柱B为研究对象,由运动学知：,联立上面四式，得,当M 2mgr 时，,即圆柱B的质心将上升。,51,【例11】均质实心圆柱体A和均质薄铁环B的质量均为m，半径都等于r ，两者用杆AB铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为，如图所示。如杆的质量忽略不计，求杆AB的加速度和杆的内力。,52,解：先取薄铁环B为研究对象,所以,再取圆柱体A为研究对象,所以,解得,由运动学知,由运动学知,53,例12均质圆柱，半径为r，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速度0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f ，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。,解：选取圆柱为研究对象,受力分析如图示。,根据刚体平面运动微分方程,补充方程：,运动分析：质心C不动，刚体绕质心转动。,54,由（1）、（2）式及补充方程解得：,将上述结果代入第三式，有,解得：,55,【例13】 均质圆轮半径为r质量为m ， 受到轻 微扰动后，在半径为的圆弧上往复滚动，如图所 示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。,求：质心C 的运动规律。,解:,由于,取O为弧坐标原点，则,56,其解为,式中,运动方程为,得,得,由 时,57,第九章结束,
