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1、人教版高中数学必修系列：10.3组合(备课资料)参考例题例1用0到9这十个数字可组成多少个无重复数字且能被18整除的八位数？解：因为18=29，而2与9互质，所以所求八位数的末位数应是偶数，且各位数字之和为9的倍数.因为0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，所以只能除去0与9，或1与8，或2与7，或3与6，或4与5中的一对后再进行分类.将上述情况分两类讨论：（1）去掉0与9，将2、4、6、8中任一个排在个位，有CA种；（2）去掉1与8，2与7，3与6，4与5中其中一对，有C种方法，下一步再分为 两类：0排在末位，有A种；0不排在末位（0有六个位置可选），末位可排三个，偶数其中之一，有
2、AAA种，总共有CA+ C（A+ AAA）=92160种方法.例2要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？（1）A、B、C三人必须入选;（2）A、B、C三人不能入选;（3）A、B、C三人只有一人入选;（4）A、B、C三人至少一人入选;（5）A、B、C三人至多二人入选.解：（1）只需再从A、B、C之外的9人中选择2人，所以有C=36种不同选法.（2）由于A、B、C三人都不能入选，所以只能从余下的9人中选择5人，即有C=C=126种选法.（3）可分两步：先从A、B、C三人中选出1人，有C种选法，再从其余的9人中选择4人，有C种选法.所以共有CC=378种选法.（4）（直接
3、法）可分三类：A、B、C三人只选一人，则还需从其余9人中选择4人，有CC=378种选法；A、B、C三人中选择二人，则还需从其余9人中选择3人，有CC=252种选法；A、B、C三人都选入，则只需从余下的9人中选择2人，有CC =36种选法.由分类计数原理共有378+252+36=666种不同选法.（间接法）先从12人中任选5人，再减去A、B、C三人都不入选的情况，共有C-C=666种选法.（5）（直接法）可分三类：A、B、C三人均不入选，有C种选法；A、B、C三人中选一人，有CC种选法；A、B、C三人中选二人，有CC种选法.由分类计数原理，共有C+ CC+ CC=756种选法.（间接法）：先从1
4、2人中任选5人，再减去A、B、C三人均入选的情况，即C-C=756种选法.例3六本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；（2）分为三份，每份两本；（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.解：（1）可分三步完成，先分给甲，有C种分法，再分给乙，有C种分法，余下两本给丙.由分步计数原理，共有CCC=90种不同分法.（2）由于问题（1）也可分以下两步完成：第一步：把6本书平均分成三份，设有x种分法；第二步：把分好份的书，再分给甲、乙、丙三人，有A种分法.根据
5、分步计数原理，得xA= CCC,x=15.因此把六本书分成三份，每份两本，共有15种分法.（3）分三步完成，由乘法原理可得不同分法种数为CCC=60.（4）分两步完成，第一步先分份，由（3）知共有60种不同分法.第二步将分好份的书，再分给人，有A种分法.由乘法原理共有60A=360种不同分法.（5）可分为三种情况：一是题（1）；一是题（4）；还有一种是甲、乙、丙三人，两人各拿一本，一人拿四本，有CA=90种，所以共有90+360+90=540种不同分法.例4某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲
6、、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解：（1）只需从其他18人中选3人即可，共有C=816种；（2）只需从其他18人中选5人即可，共有C=8568种；（3）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有CC+C=6936种；（4）解法一：（直接法）至少一名内科一名外科的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外.所以共有CC+CC+CC+CC=14656种.解法二：（排除法）由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C-（C+C）=14656种.例5某出版社的11名工人中
7、，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷.现从这11人中选出4人排版、4人印刷，有几种不同的选法？若只选3名只会印刷的工人，则还需从2名“全能”的工人中选1人印刷，4名排版工人只能从余下的6人中选取，有CCC种选法.若从4名只会印刷的工人中选2人，则2名“全能”的工人需都去印刷，4名排版工人只能全从5名只会排版的工人中选取，有CCC种选法.所以共有C+CCC+C CC =185种不同的选法.备课资料一、插入闸板法解组合问题例1某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种？分析：由于12个名额是不可区别的，
8、所以将问题转化成把排成一行的12个“0”分成7份的不同方法数，这样用6块闸板插在11个间隔中，共有C种不同的插法.所以所求选法种数为C=462种.示意图：0，|0,| 0，0，|0，0,| 0，0，|0，0,| 0，0，例26人带10瓶汽水参加春游，每人至少带1瓶汽水，共有多少种不同的带法？分析：将所求问题转化成10个相同的球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放1个球，有多少种不同的放法.即把排成一行的10个“0”分成6份的方法数，这样用5块闸板插在9个间隔中，共有C=126种.即共有126种不同的带法.例3从一楼到二楼的楼梯17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完这
9、楼梯，则有多少种不同的走法？分析：由题意可知这11步中，其中6步一步走两级，5步走一级.因此，要确定一种走法，只需确定这11步中，哪6步走两级即可，故不同的走法数为C=462种.例4如图从56方格中的顶点A到顶点B的最短路线有多少条？分析：从A到B的最短路线均需走11步（一步即为一个单位），即横向走6步，纵向走5步，因此，要确定一种走法，只需确定这11步中哪6步是横向走即可，故不同的走法数为C=462种.例5如果中日围棋擂台赛中，各方都出6名队员，按事先安排好的顺序出场，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，另一方获得胜利为止，形成一种比赛过程，问：其中中方获胜的所有可能出现的比赛过程有多少种？分
10、析：易见中方只需取得6场比赛的胜利即可，且最多只需安排11场比赛，依次记为1，2，3，11，故要确定比赛过程，只需确定这11场比赛中哪6场是中方获胜即可.故可能出现的不同的比赛过程的种数即为从1，2，11个元素中取出6个元素的组合数C=462种.二、插入法举例例1一排有10个具有编号的座位，3个人来坐，都不坐两头且两人之间至少有一个空位，问有多少种不同的坐法？分析：由于七个空座位顺序已定，它们之间有6个空挡，所以插入三个座位并坐上3个人，其不同的坐法有A=120种.例2从1，2，3，14中，按从小到大的顺序取出数a1,a2,a3,使同时满足a2-a1=3,a3-a2=3,则符合要求的不同取法有
11、多少种？分析：由于除a1、a2、a3外的11个数可形成12个空挡（含两端的），按每间隔两个元素依次插入a1,a2,a3,共有8种方法，故所求的取法有8种.例3在1，2，3，14中，按数从小到大的顺序取出a1、a2、a3,使同时满足a2-a14,a3-a24,则符号要求的不同取法有多少种？分析：本题与例4相似，不同的是增加了“至少间隔三个数”的限定.此时，可将a2前的两个数与a2合看作“一个数”，将a3前的两个数与a3合看作“一个数”，则问题可化为类型三的方法来求解.在7个数形成的8个空挡中，插入“三个数”的方法有C=56种，即符合要求的取数方法有56种.例4一座桥上有编号为1，2，3，10的十
12、盏灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯.问不同的关灯方法有多少种？分析：由于路灯都有编号（顺序已定），七盏开着的路灯之间有6个空挡，所以插入3盏不亮的路灯的方法有C=20种，即不同的关灯方法有20种.例510个人站成一排，其中甲、乙、丙三人两两不相邻且不站两端，问有多少种不同的站法？分析：除甲、乙、丙外的七个人有A种站法，七个人之间有6个空挡，插入甲、乙、丙有A种方法，所以所求的站法数有AA=100800种.三、2003年高考题=_.A.B.3C. D.6分析：分子利用组合数性质C+C=C,将C化为C,则C+C=C,C+C=C,依此
13、类推，可得分子为C=.分母变形为n(2+3+4+n)=n.则原式=.故选A.备课资料一、排列组合应用题的错误分析在解答排列、组合问题的过程中，极易把排列与组合问题错位或出现“重复”“遗漏”的错误.下面举例说明.例1有五件不同奖品发给4位先进工作者，每人至少一件，有多少种不同的发放 方法？错解一：从5件奖品中任取4件发给4个人，每人一件，再将剩余的一件发给4个人中任一人，保证了每人至少一件，共有CAA=480（种）.错解二：从5件中任取一件发给任一人，再将其余4件，每人一件发放，共有CAA=480（种）.分析：以上两种解法从形式上看，合情合理，保证了每人至少一件的分配方案，但这两种做法均出现了重
14、复现象.如：解法一中设5件奖品为a1、a2、a3、a4、a5，将4个人当作4个位置，若取4件发给4人，其中有一种可能为a1、a2、a3、a4，余a5，再将a5发给4个人中的任一人时，其中一种可能为a1a5，a2,a3,a4.同样，从5件中取4件将品发给4人，有一种可能为a5,a2,a3,a4,余a1,再将a1发给4人中任一人时，有一种可能是a5a1,a2,a3,a4,这与上面的a1a5,a2,a3,a4为同一分法，出现了重复现象.同理做法二与做法一出现同样的错误.在解排列组合综合应用题时，应先分组再排列或先分组再分配.此题正确的解法为：先将奖品分为4组，有C种分法，再将4组奖品发给4个人，有A
15、种，用乘法原理共有CA=240（种）分法.例2从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法种数共有A.140种B.84种C.70种 D.35种错解：先从甲、乙型电视机中各取1台有CC种取法；再从剩下的7台电视机中任取一台有C种取法，共有CCC=140种取法.分析：错误原因，CCC= CC（C+C）= CCC+ CCC.对于甲型电视机，相当于先从4台中任取一台，再从剩下的3台中任取1台，这是一个排列问题.而题设的取法与顺序无关.乙型电视机的取法也是先从5台中任取1台，再从剩下的4台中取1台.因此得出错误的结果.下面给出正确的解法.解法一：=70（种）.解法二：分两类：甲型电视机取1台，乙型电视机取2台；或甲型电视机取2台，乙型电视机取1台，得CC+CC=70（种）.答案：C例3从5个学生中选三人参加代表会，其中甲、乙两人中至少一人在内，共有多少不同选法？错解：先从甲、乙
