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1、正弦定理、余弦定理,金东方高三数学组,复回顾,正弦定理：,可以解决两类有关三角形的问题：,（1）已知两角和任一边。,（2）已知两边和一边的对角。,变型：,a2=b2+c22bccosA b2= a2+c22accosB c2 =a2+ b22abcosC,cosA= cosB= cosC=,利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角； （2）已知三边，求三个角。,所以CD=asinB=bsinA, 即,同理可得,过点C作CDAB于D,此时有,若三角形是锐角三角形, 如图1,（法一）,且,仿上可得,若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗?
2、,此时也有,交BC延长线于D,过点A作ADBC，,（法二）,作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,向量的数量积 ， 为向量a 与b 的夹角,如何构造向量及等式？,则有j 与 的夹角为 ， j 与 的夹角为 . 等式,怎样建立三角形中边和角间的关系？,即,同理，过C作单位向量j 垂直于 ，可得,在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引 入单位向量？怎样取数量积？,同样可证得：,A,B,C,余弦定理的证明,证明： 在三角形ABC中，AB、BC、CA的长分别为c,a,b.,1.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若( bc)cosAacosC，则cosA _,课前热身,3.
3、在ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，则,A -19 B 19 C -38 D 38,利用正余弦定理解三角形,【例1】 在ABC中，若a18，b24，A30，则此三角形解的情况为_,已知两边a、b和其中一边a的对角A(A为锐角)，解三角形的解的情况： absinA absinAbsinAabab 无解一解两解一解,点评,变式1：在 中，已知 ，则边长C为 ,解：由余弦定理,变式2：在 中，已知 ，则角A为 ，角B为 ,解：由余弦定理推论 ， ， 由此得 ，则 。,判断三角形的形状,【例2】 已知a、b、c分别是ABC的三个内角A、B、C所对的边若accosB，且bcsinA，试判断ABC的
4、形状,点评,判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：,(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状此时要注意应用ABC这个结论 在这两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解,【变式练】 在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，请判断ABC的形状,正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用,点评,本题将三角恒等变换、求值与解三角形综合一起考查，这是近几年高考的一种命题趋势，注意综合运用应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的在解三角形中，利用正、余弦定理进行边角转化是解题的基本方法在三角函数的化简、求值中，常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用,
