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1、椭圆的简单几何性质(1),一、复习回顾：,1.椭圆的定义:,平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a （大于|F1F2 |）的动点M的轨迹叫做椭圆。,2.椭圆的标准方程：,3.椭圆中a,b,c的关系:,当焦点在X轴上时,当焦点在Y轴上时,a2=b2+c2,1椭圆标准方程,所表示的椭圆的范围是什么？,2 椭圆有几条对称轴？几个对称中心？,3上述方程表示的椭圆有几个顶点？顶点坐标是什么？,6如何通过椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度？,42a 和 2b表示什么？ a和 b又表示什么？,5椭圆离心率是如何定义的？范围是什么？,二、导学导思：,-axa, -byb 椭圆位于直线x=a,y= b所围成
2、的矩形中， 如图所示：,三、新课讲解：,1、椭圆 的范围：,由,x,2、椭圆 的对称性：,从图形上看， 椭圆关于x轴、y轴、原点对称。,从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于 轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于 轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变， 图象关于 成中心对称。,y,x,原点,坐标轴是椭圆的对称轴， 原点是椭圆的对称中心。,中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。,*长轴、短轴： 线段A1A2、B1B2分别 叫做椭圆的长轴和短轴。 它们的长分别等于2 a和2 b 。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。,3、椭圆 的顶点：,令 x=0，得
3、y=？说明椭圆与 y轴的交点为（ ）， 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点为（ ）。,0, b,a, 0,*顶点：椭圆与它的对称轴的四个 交点，叫做椭圆的顶点。,根据前面所学有关知识画出下列图形,（1）,（2）,A1,B1,A2,B2,B2,A2,B1,A1,0,0,4、椭圆的离心率,离心率：椭圆的焦距与长轴长的比,叫做椭圆的离心率。,1离心率的取值范围：,2离心率对椭圆形状的影响：,0e1,e 越接近 1，椭圆就越扁； e 越接近 0，椭圆就越圆。,3e与a,b的关系:,用e表示，即,思考：当e0时，曲线是什么？当e1时曲线又是什么？,(e用来刻画椭圆扁平程度的量),-a x a,
4、 - b y b,关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称,(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b),(c,0)、(-c,0),长半轴长为a,短半轴长为b. (ab),知识归纳,a2=b2+c2,关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称,(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b),(c,0)、(-c,0),长半轴长为a,短半轴长为b. (ab),(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a),(0 , c)、(0, -c),关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称,长半轴长为a,短半轴长为b.(ab),-a x a, - b y b,-a y a, - b x b
5、,a2=b2+c2,a2=b2+c2,例题1: 求椭圆 9 x2 + 4y2 =36的长轴和短轴的长、离心 率、焦点和顶点坐标。,椭圆的长轴长是:,离心率:,焦点坐标是:,四个顶点坐标是:,椭圆的短轴长是:,2a=6,2b=4,解：把已知方程化成标准方程,四、例题讲解：,练习:求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。,解：把已知方程化成标准方程,椭圆的长轴长是:,离心率:,焦点坐标是:,四个顶点坐标是:,椭圆的短轴长是:,2a=10,2b=8,例2: 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点（-3，0）、（0，-2）；,解： 方法一：设椭圆方程为
6、mx2ny21（m0，n0，mn），将点的坐标代入方程，求出m1/9,n1/4。所以椭圆的标准方程为,方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a3，b2，所以椭圆的标准方程为,例2: 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点（-3，0）、（0，-2）；（2）长轴的长等于20，离心率等于3/5 。,(2) 由已知得，,解：,由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为 ：,练习：书本48页第1、2、3题,关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称,(a,0)、(-a,
7、0)、(0,b)、(0,-b),(c,0)、(-c,0),长半轴长为a,短半轴长为b. (ab),(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a),(0 , c)、(0, -c),-a x a, - b y b,-a y a, - b x b,a2=b2+c2,小结,小结：,本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。,
