八年级数学中心对称及全章复习华东师大版.doc

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1、初二数学中心对称及全章复习初二数学中心对称及全章复习华东师大版华东师大版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 中心对称及全章复习 教学目标 1. 认识中心对称图形。 2. 能运用中心对称图形的基本性质，熟练地画出已知图形关于某一点成中心对称的图形。 3. 会利用中心对称的性质解题。 4. 能灵活运用轴对称，平移或旋转或它们的组合进行图形的变换。 5. 平移、旋转的应用。 二. 重点、难点： 平移、旋转的应用。 利用中心对称性质解题。 【典型例题典型例题】 第一部分 中心对称 例 1. 如图所示，观察图中的“风车”的平面图案，其中是中心对称图形的有（ ） A. 1 个B. 2 个C.

2、 3 个D. 4 个 分析：分析：抓住图形特征，观察图形绕中心点旋转 180后能否与自身重合，则第 2 个、 第 4 个是，共有 2 个，选 B。 例 2. 如图所示，已知ABC 与CDA 关于点 O 对称，过 O 任作直线 EF 分别交 AD、BC 于点 E、F，下面的结论：（1）点 E 和点 F；B 和 D 是关于中心 O 的对称点； （2）直线 BD 必经过点 O；（3）四边形 ABCD 是中心对称图形；（4）四边形 DEOC 与 四边形 BFOA 的面积必相等；（5）AOE 与COF 成中心对称，其中正确的个数为（ ） A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 5 个 分析：分析：AB

3、C 与CDA 关于点 O 对称是两个图形的关系，但我们将这两个图形看成 一个整体，那么它就是一个关于 O 点的中心对称图形，故（3）正确。B 与 D 关于 O 对称， 图形上的两点的连线若经过中心，这两点就是对称点，同时对称点的连线必经过对称中心， 所以（1） （2）都正确；从中心对称图形的性质得知，四边形 DEOC 与四边形 BFOA 是四 对对称点所围成的图形，AOE 与COF 也是对称点所围成的图形，所以它们分别成中心 对称，故（4）和（5）都正确。选 D 例 3. 已知如下数字方阵，你能很快求出这里面所有数字的和吗？ 某同学学习了几何中的对称后，忽然想起了过去做过一道题：有一组数排成方

4、阵，如 图所示，试计算这组数的和。这个同学想，方阵就象正方形，正方形是轴对称图形，也是 中心对称图形，能不能利用轴对称和中心对称的思想来解决方阵的计算问题吗？这个同学 试了试，竟得到了非常巧妙的方法，你也能试试看吗？ 下面将这位同学的想法告诉大家，我们一起来体验一下。 从方阵中的数看出，一条对角线上的数都是 5，若把这条对角线当作轴，把正方形翻 折一下，对称位置的两数之和都是 10，这样方阵中数的和即可求。 也可考虑：把方阵绕中心旋转 180，就得到另一方阵，再加到原来的方阵上去，就 得到所有的数都是 10 的方阵，这一方阵数的和亦可求。 解法一：解法一： 解法二：解法二： 此题还可引伸成解决

5、其它数学问题。 当在求一组有规律的数的和时，经常会用到对称思想。如： 考虑： 所以 因此，数形结合是学习数学的一种重要思想方法。 例 4. 一块方角形钢板（如图所示） ，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分。 解析：解析：首先考虑分形（分成 n 个规则图形） 。 （1）该钢板可看成由上下两个矩形构成（如图所示） ，矩形是中心对称图形，过对称 中心的任一直线把矩形分成全等的两部分，自然平分其面积，而矩形的对称中心是两条对 角线的交点，因此，先作出两矩形的对称中心 A、B，直线 AB 即为所求； （2）该钢板同样可看成左右两矩形构成（如图所示） ，作出两矩形对称中心 C，D， 直线 CD 也符合

6、要求； （3）将钢板补成一个完整矩形（如图所示） ，作出大矩形对称中心 E 和补上一块矩形 的对称中心 F，直线 EF 既平分大矩形，又平分补充矩形的面积，于是 EF 平分原钢板面积。 第二部分（全章复习） （平移、旋转的应用） 通过旋转图形，可将图形从一个位置旋转到另一个位置。也可以利用基本图形，通过 旋转，组成更大、更美丽的平面图案。另外，利用旋转对称图形的特性可以巧妙地解决一 些问题。 例 5. 如图所示，ABC 与ABD 都是等边三角形，且ABD 可由ABC 经过旋转而 得。若按逆时针方向旋转，则旋转中心是哪一点？旋转了多少角度？除了旋转之外，还可 以用其他方法由ABC 变换到ABD

7、吗？ 分析与解：分析与解：（1）可以以 A 点为旋转中心，将ABC 逆时针旋转 60，即可得到 ABD。 （2）亦可以以 B 点为旋转中心，将ABC 逆时针旋转 300，即可得到ABD。 （3）除了旋转方法之外，ABD 还可以由ABC 经过以 AB 为对称轴的轴对称变换 得到。 （4）通过连接 CD 与 AB 得到一个交点，以此交点为旋转中心，将ABC 旋转 180 亦可以得到ABD，并且该图形还是旋转对称图形。 例 6. 如图，ABE 和ACD 都是等边三角形，EAC 旋转后能与ABD 重合，EC 与 BD 相交于点 F，求DFC 的度数。 解析：解析：因为AEC 旋转后能与ABD 重合，根

8、据旋转图形的特征，图形中的每一点 都旋转了相同的角度，即图形中的边也旋转了相同的角度。 又因为AEC 绕点 A 逆时针旋转 60可与ABD 重合。 则 EC 同样旋转了 60，则 BD 与 EC 交角DFC60。 例 7. 如图，ACD 和BCE 都是等边三角形，NCE 经过旋转后到达MCB 的位置。 （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）如果连接 MN，那么MNC 是怎样的三角形？ 解析：解析：（1）旋转中心为点 C。 （2）NC 绕点 C 旋转后与 MC 重合 CE 绕点 C 旋转后与 CB 重合 因为ECB 为等边三角形 所以ECB60 则NCE 绕点 C 顺时针旋转 6

9、0后到达MCB 位置。 （3）如果连结 NM，则 因为NCM60，NCMC，则 NCM 为等边三角形 例 8. 如图，四边形 ABCD 是正方形，ADE 旋转后能与ABF 重合，ABF 沿 AB 对 折又与ABG 重合。问： （1）CG 与 CE 相等吗？为什么？ （2）连结 EF，AEF 是怎样的三角形？为什么？ （3）若 AE 平分DAG，则 DEBG 与图中的哪条线段相等，给出你猜想的结论， 并进行说明。 分析：分析：（1）四边形 ABCD 是正方形，则有 ABBCCDDA ADE 旋转后能与ABF 重合 ABF 沿 AB 对折又与ABG 重合 则ADE、ABF、ABG 形状大小完全相同

10、 对应线段，对应角分别相等 AEAFAG，DEFBBG 则 即 CECG （2）若连接 EF，因为 AEAF， 0 90EAF, 则AEF 是等腰直角三角形 （3）若 AE 平分DAG，则 AFG 是等边三角形 则DEBGFBBGFGAEAFAG 例 9. 已知ACD30，FEB45，CDEF，求O。 解析：解析：将已知两角想办法转移到同一顶点处。 由于 CDEF，可过 O 作 OMCD 则ACDAOM30，BEFBOM45 则AOBAOMBOM75 类似于此题作法还有如下几个题，同学们可以尝试。 （1）已知：ABCD，B110，C35，求BEC 的度数。 解：解：过 E 作 EFAB 因为

11、ABCD，则 EFABCD B1180，170，2C35 则BEC105 （2）已知：如图 ABCD，BEFGD 是折线。 求证： 解析：解析：分别过 E、F、G 作 AB 的平行线，则 有 即 例 10. 如图，在ABC 的边 BC 上取两点 D、E，使 BDCE，请你运用三角形三边的 关系和平移的知识，观察与之间的长度关系，提出一个设想，并加以证明。 分析：分析：四条线段 AB、AC、AD、AE 分布在ABD 和ACE 中，要比较它们的大小， 就要将这四条线段相对集中，为此，可设想AEC 沿 EB 方向平移到BDF 的位置。 解：解：将AEC 沿 EB 方向平移到BDF 的位置 由平移的特

12、征知：经过平移，对应线段平行且相等。 FBAE，FDAC，设 FD 与 AB 的交点为 O 在AOD 中， 在FOB 中， 例 11. 已知 P 是等边ABC 内部一点，APB，BPC，CPA 的大小之比是 5：6：7，求以 PA、PB、PC 的长为边的三角形的三个内角的大小之比。 解析：解析：要想解决 PA、PB、PC 的长为边的三角形的三个内角的大小之比，必须先将 AP、BP、CP 相对集中，这样，我们将ABP 以点 A 为旋转中心，逆时针旋转 60，则 得到ACE。此时，BPCE，APAE，且PAE60 APE 为等边三角形 PA、PB、PC 三边构成的三角形为CEP 因为APB、BPC

13、、APC 三角之和为 360 APB：BPC：APC5：6：7 所以APB100，BPC120，APC140 则根据APBAEC100 BPC120，APC140 于是， 则以 PA、PB、PC 为边的三角形的三个内角的大小之比为 2：3：4 【模拟试题模拟试题】 1. 如图所示，正方形 ABCD 经平移后成为正方形 CEFG，则该图形为_对 称图形，对称中心为_。D 点的对称点为_。G 点的对称点为 _。图中三点在一直线上的有_。 2. 如图所示，为中心对称图形的是（ ） 3. 我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案。如图，我国四大银行 的商标图案中既是轴对称图形又是中心对称

14、图形的有（ ） A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 4. 如图，既是轴对称图形又是旋转对称图形的有（ ） A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 5. 如图，矩形绕其一点顺时针旋转 90后成另一个矩形的是（ ） A. （1） （2）B. （2） （3） C. （2） （4）D. （1） （4） 6. 如图所示，两个边长为 1 的正方形沿边 DC 叠在一起，正方形 ABCD 到正方形 CDEF 能通过旋转来实现吗？若能，指出旋转中心及旋转的角度。 7. 已知：如图正方形 ABCD 中，E 为 CD 上的一点，F 为 BC 延长线上一点，CECF。 （1）FDC 与EBC

15、相等吗？ （2）DCF 能与BCE 重合吗？ （3）BE 与 DF 垂直吗？ 8. 有两个正方形的花坛，准备把每个花坛都分成形状相同的四块，且成中心对称图形， 再分别种上不同的花草。如图左边的两个图案是设计示例。请你在右边的两个正方形中再 设计两个不同的图案。 9. 已知 P 为正三角形 ABC 内的一点，APB113，APC123。 求证：以 AP、BP、CP 为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形各内角的度 数。 10. ABC、DCE 均为等边三角形，试在图中找出BCD 绕点 C 旋转后的图形，并指 出旋转角度，进一步探索图中还有哪些三角形可以经过旋转互相重合，指明旋转中心，旋 转方向及旋转角度。 【试题答案试题答案】 1. 中心对称；点 C；E；B；A、C、F，B、C、G，D、C、E 2. B 3. B 4. B 5. C 6. 分析：分析：正方形 ABCD 到正方形 CDEF 能通过旋转来实现，这一点我们容易理解。从 图形可知，旋转中心可以是点 D 或点 C。绕点 D 逆时针旋转 90或顺时