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1、昆明第一中学2014届高三开学考试数学(理)试题本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷1至4页,第卷5至8页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。满分150分,考试用时120分钟。注意事项:1答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号,在规定的位置贴好条形码。2每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上的答案无效。第卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项
2、中,只有一项是符合题目要求的1若复数是纯虚数,其中是实数,则= A B C D2 已知,则的值为 A B C D3公比不为等比数列的前项和为,且成等差数列若,则A B C D俯视图正视图侧视图4如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边长均为1,则该几何体的表面积为 A B C D5变量与相对应的一组样本数据为,由上述样本数据得到与的线性回归分析,表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,则 = A B C1 D36已知a是实数,则函数的图象可能是xyO12ABxOy12D21xyOC21-2-2xyO-1-17某班有24名男生和26名女生,数据,是该班50名学生在一
3、次数学学业水平模拟考试的成绩,下面的程序用来同时统计全班成绩的平均分:A,男生平均分:M,女生平均分:W;为了便于区别性别,输入时,男生的成绩用正数,女生的成绩用其成绩的相反数那么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的A,B,C,D,8若曲线与曲线在交点处有公切线, 则A B C D9已知函数,若,则实数的取值范围是 A 或 B C 或 D10已知数列满足(),, ,记,则下列结论正确的是 A, B, C, D,11在平面直角坐标系中,抛物线的焦点为,是抛物线上的点,若的外接圆与抛物线的准线相切,且该圆面积为,则 A B C D12设函数满足且当时,又函数,则函数在上的零点个
4、数为 A B C D 第卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答。第(22)题第(24)题为选考题,考生根据要求做答。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡上。13变量,满足条件,求的最大值为 14已知是双曲线的右焦点,若双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为 15已知向量的夹角为,且,则向量在向量方向上的投影是 16已知、四点在半径为的球面上,且,则三棱锥的体积是 三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17(本小题满分12分)在ABC中,角,的对边分别
5、为, 若() 求证:、成等差数列;() 若,求的面积18(本小题满分12分)气象部门提供了某地今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下:日最高气温t (单位:)t2222t2828t32天数612 由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y和Z数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月份的日最高气温不高于32的频率为0.9某水果商根据多年的销售经验,六月份的日最高气温t (单位:)对西瓜的销售影响如下表:日最高气温t (单位:)t2222t2828t32日销售额(千元)25 68() 求, 的值;() 若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额的期望和方差;() 在日最高气温不高于32时,求日销售额不低
6、于5千元的概率ABCDMP19(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,为平行四边形,且平面,为的中点, () 求证:/; () 若, 求二面角的余弦值20(本小题满分12分)已知平面内与两定点,连线的斜率之积等于的点的轨迹为曲线,椭圆以坐标原点为中心,焦点在轴上,离心率为()求的方程;()若曲线与交于、四点,当四边形面积最大时,求椭圆 的方程及此四边形的最大面积.21(本小题满分12分)设(且)()讨论函数的单调性;()若,证明:时,成立请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。22(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,已知与圆相切于
7、点,直径,连接交于点()求证:;()求证:23本小题满分10分)选修44;坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是(为参数)与直线的参数方程是(为参数)有一个公共点在轴上以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立坐标系()求曲线普通方程;()若点在曲线上,求的值24(本小题满分10分)选修:不等式选讲已知函数()当时,已知,求的取值范围;()若的解集为,求的值参考答案一选择题:1 2 3 4 5 6C7 8 9D 10 11 12二、填空题:13 14 15 16 8三、解答题:17解:证明:()证法一:即由正弦定理得:即 由正弦定理得:整理得:故a、b、c成等差数列 6分证法二:整理得:故、成等差数
8、列解:()由,及余弦定理得:又由(1)知,代入上式得 ,解得 的面积 12分18解:() 由已知得: 4分 () 2568P0.20.40.30.1六月份西瓜销售额X的分布列为 9分() ,由条件概率得:ABCDMPFGO= 12分19解:()证明: 连接,设与相交于点,连接, 四边形是平行四边形,点为的中点 为的中点,为的中位线,/ , 2分,/ 4分() 解法一 : 平面,/, 则平面,故,又, 且, 6分取的中点,连接,则/,且 作,垂足为,连接,由于,且, 为二面角的平面角 9分由,得,得,在中, 二面角的余弦值为 12分() 解法二: 平面, 则平面,故,又, 且, 6分以点为坐标原
9、点,分别以所在直线为轴,轴和轴,建立空间直角坐标系 则, , , 求得平面的法向量为, 又平面的一个法向量为, PQOxyMNBA . 二面角的余弦值为. 12分 20解:()设,则, 则,方程为4分()如图,设椭圆的方程为,设,由对称性得四边形的面积为,8分当且仅当,解得10分则,解得,椭圆的方程为,四边形的最大面积为4. 12分21解:()函数的定义域为,当时,函数在上是增函数;当时,又;由得,;由得,函数在上是增函数;在上是减函数4分()当时,要证时成立,由于,只需证在时恒成立,令,则设,在上单调递增,即;即,使在上单调递减,在上单调递增,而,当时,恒成立,即原命题得证12分22解:()证明:解法一:与圆相切于点,是圆的直径,又, 4分解法二:连接,与圆相切于点,又,()据(1),又, 10分23解:() 直线的的普通方程为:,与轴的交点为,又曲线的普通方程为:,所以,故所求曲线普通方程是:4分()因点在曲线C上,即点在曲线上 10分24解:()因为,等号成立当且仅当,即,故的取值范围为4分()因为当时,不等式解集为,不合题意;当时,不等式的解为 或 即 或,又因为解集,解得10分12