3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用与抗震设计反应谱,一、单自由度体系的水平地震作用,对于单自由度体系，把惯性力看作反映地震对结构体系影响的等效力，用它对结构进行抗震验算1、水平地震作用基本公式,（2）,作用在质点上的惯性力等于质量m乘以它的绝对加速度（即地面加速度和质点相对加速度）,若将上式代入（2）并考虑到 远小于 而忽略不计，则得：,即,,为杆件柔度系数，某点在单位力下的侧向位移上式等号左边为地震作用时质点产生的相对位移，等号右侧为该瞬时惯性力使质点产生的相对位移因此，可以认为，在某瞬时地震作用使结构产生的相对位移是该瞬时的惯性力引起的将解微分方程所得的相对位移的解书P35式3-32代入上式得,由上式可见，水平地震作用是时间t的函数它的大小随时间而变化,在抗震设计中，不需要求出每一时刻的地震作用数值，只需要求出最大绝对值即可则取上式的最大绝对值F,设,令,（3）,代入式（3）并以 代替F，则得：,,质点加速度最大值,,地震动峰值加速度,地震系数,,,动力系数,,水平地震作用标准值,,建筑的重力荷载代表值,2、各系数的求解,a、地震系数 k是地震动峰值加速度与重力加速度之比,,峰值加速度 即地震时在某处所记录下来的加速度最大值。
很显然，与地震烈度有因果关系的影响，地面加速度越大，地震烈度一般越大不同的 对应不同的地震烈度，即有不同 对应不同烈度，从而根据《中国地震动参数区划图》所规定的地震动峰值加速度取值（与设计基本加速度取值相当） ，可得到抗震设防烈度与地震系数的对应关系参见书P38表3-1,b、动力系数 是地震作用下最大反应加速度与地面最大加速度之比,,单质点体系的最大加速度（绝对加速度）,地面最大加速度,,所以,,,因为,所以,由上式可知，动力系数 是与地面运动加速度记录的 和结构自振周期T，还有阻尼比 有关当地面加速度记录 和阻尼比 给定时，就可根据不同的T 值算出动力系数 不同的T对应不同的 从而得到一条 曲线称为动力系数反应谱曲线从 定义不难看出，动力系数曲线实质上是一种加速度反应谱曲线动力系数等于质点最大加速度与地面运动加速度之比）,下图为地震时，地面加速度记录 和阻尼比 分别为0.05、0.01、0.02、0.10时绘制的动力系数反应谱曲线分析表明，虽然在每次地震中测得的地面加速度曲线不同，但根据他们绘制的动力系数反应谱曲线却有共同的特征，这就给应用反应谱曲线确定地震作用提供了可能性，从而根据结构自振周期T，就可以方便地求出动力系数值。
当结构自振周期小于某一数值时，反应谱曲线随T增加而急剧上升；当T到达某一数值时，动力系数达到最大值；当T大于某一数值时，曲线波动下降这一数值与场地的振动卓越周期相符所以，当结构自振周期与场地卓越周期相等或相近时，地震反应最大类似于结构在动力荷载作用下的共振现象，所以结构自振周期应远离场地卓越周期不同的地震加速度记录对应不同的反应谱曲线，虽然这些曲线有共同的特征，但仍有差别在结构抗震设计中，只采用按某一次地震记录加速度绘制的反应谱曲线作为设计依据显然是不合理的根据不同的地面运动记录的统计分析表明：场地的特性、震中距的远近，对反应谱曲线有明显的影响所以，按场地类别、近震、远震，分别绘制出反应谱曲线，然后统计分析，找出每种场地、近震、远震有代表性的平均反应谱曲线，作为设计用的标准反应谱曲线c、地震影响系数为了简化计算，将上述地震系数 和动力系数 的乘积用 表示，称为地震影响系数由上式可知，地震影响系数即为单质点弹性体系在地震时最大反应加速度与重力加速度的比值另外由下式可知：,单质点体系的最大加速度（绝对加速度 ）,,,《抗震规范》是以地震影响系数作为抗震设计依据的。
其数值应根据地震烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定若没有专门规定，建筑结构阻尼比一般取0.05，则地震影响系数值可按下图采用参见书P40图3-12适用于周期小于6s的结构）,现将曲线的特征及相关系数取值情况说明如下：*周期 区段： 时， 区段：这一段取水平线，数值均为 其中， 称为设计特征周期：即设计所用的地震影响系数特征周期近年来，地震经验表明，在宏观烈度相似的情况下，处在大震级远震中距下的柔性建筑，其震害要比中、小震级近震中距的情况严重的多，理论分析也发现，震中距不同时，反应谱特征不同抗震设计中，对同样场地条件、同样烈度地震，按震源机制、震级大小和震中距远近区别对待是有必要的所以，89规范规定，设计特征周期取值根据近、远震和场地类别来确定我国绝大多数地区只考虑设计近震，需要考虑设计远震的地区很少（约占县级城镇的8%）,新规范，将设计近震、远震改称为设计地震分组，可更好地体现震级和震中距的影响，建筑工程的设计地震分为三组。
根据设计地震分组和场地类别书P39给出了特征周期数值表3-2,区段：曲线呈双曲线，且缓慢下降,区段：直线下降段,说明：关于T的计算：,,,质点重力荷载代表值,作用在质点上单位水平集中力在自由端产生的侧移,,当T=0时，因为 由于T=0所以为刚性体系，即质点本身最大反应加速度即为地面最大反应加速度， 不放大，所以 而 即 由此，,关于 的取值：地震资料统计结果表明， 受地震烈度、地震环境等影响较大 ， 而动力系数最大值 受地震烈度、地震环境影响不大《抗震规范》取 将 与不同的 值相乘，便可以得到不同设防烈度下的 值 参见书P40表3-3,当建筑阻尼比不等于0.05时，计算参见教材P40（二）计算原理同上，公式不同，注意形状参数和阻尼调整系数的确定,---特征周期；,,---曲线下降段的衰减指数；,---直线下降段的斜率调整系数；,---阻尼调整系数，小于 0.55时，应取0.55。
地震影响系数；,---地震影响系数最 大值；,---结构周期；,,回顾抗震设计原则：三水准：（小震不坏、中震可修、大震不倒） 两阶段：第一阶段设计：按小震（50年设计基准期，超越概率为63%的地震）作用效应和其他荷载效应的基本组合演算结构构件的承载能力，以及在小震作用下验算结构的弹性变形，以满足第一水准抗震设防目标的要求第二阶段设计：在大震（50年设计基准期，超越概率为2%-3%的地震）作用下验算结构的弹塑性变形，以满足第三水准抗震设防目标的要求第二水准，不进行计算，用构造措施满足中震（50年设计基准期，超越概率为10%的地震，即基本设计烈度也通常作为国家的抗震设防烈度）,解：,（1）求结构体系的自振周期,（2）求水平地震影响系数,查表确定,查表确定,查表确定,（3）计算结构水平地震作用,周期计算,,F=1,,,,,,,,,,5m,,,,,,,12m,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,F=0.5,F=0.5,F=0.5,F=0.5,+,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、重力荷载代表值的确定,结构的重力荷载代表值等于结构和构配件自重标准值Gk加上各可变荷载组合值。
第i个可变荷载标准值；,---第i个可变荷载的组合值系数；,多自由度地震作用分析又称作振型分解反应谱法,顾名思义不难想到是利用振型分解反应谱来解决多自由度体系的地震反应.,1、反应谱理论的适用条件实际上反应谱理论有如下三个假定: 1) 结构的地基是刚性盘体. 这一假定对一般建筑物由于其长度远小于地震波的波长,可认为近似满足.但对于大跨度桥梁和大型水坝等结构,这一假定是不合理的.,3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析 —振型分解反应谱法,3) 地面运动过程可以用地震记录来表示. 虽然地震仪在高频和低频部分有失真,但是除地震记录外,没有更可靠的资料能说明地震地面运动的规律.,2) 结构是理想弹性体. 在小震作用下,结构不破坏,可近似看作弹性体.但在大震、罕遇地震作用下,我国抗震设计原则是“大震不倒”,允许结构进入非弹性状态,此时反应谱理论不适用.,2、计算简图,对于多层框架结构，应按集中质量法将上下层之间的结构重力荷载、楼面（或屋面）可变荷载集中于楼面（或屋面）标高处设他们的质量为mi 并假设这些质点由无重量的弹性直杆支承于地面上，即可将多层框架简化成多质点弹性体系实际工程中，多层或高层工业与民用建筑可简化成多质点体系来计算。
3、多质点体系的运动状态,,,m2,mn,m1,mi,mn-1,,,,Xg(t),与单质点体系类似：其中xg(t)表示地面水平位移，是时间的函数，它的变化规律可以由地震时地面运动实测记录求出； xi(t)表示质点对于地面的相对弹性位移，是求解的重点,解:,例.求图示体系的频率、振型. 已知:,,（1）多自由度弹性体系动力分析回顾,显然，这一比值与时间t无关体系按振动过程中，任一时刻各质点的位移比值 等于 即始终保持不变同理取 时得到下面的式子：,,第一振型第二质点的振幅,第一振型第一质点的振幅,,第二振型第二质点的振幅,,第二振型第一质点的振幅,,,显然，这一比值也与时间无关，体系按 振动过程中，任一时刻各质点的位移比值 等于 ，也始终保持不变综上所述，对应于频率 和 的运动方程的特解是相应于这样的两种振动：前者各质点按 的比值作简谐调振动；后者各质点按 的比值作简谐振动他们在各自的振动过程中，振动形式保持不变，而只改变大小和方向。
上面两式非常重要，在后面计算振型参与系数 时会用到按振型振动时的运动规律,按i振型振动时，质点的位移为,质点的加速度为,质点上的惯性力为,质点上的惯性力与位移同频同步振型可看成是将按振型振动时的惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移2）振型的正交性(证明见书P47),i振型,i振型上的惯性力,j振型,i振型上的惯性力在j振型上作的虚功,i振型,j振型,j振型上的惯性力,j振型上的惯性力在i振型上作的虚功,由虚功互等定理,主振型的正交性:两个不同的主振型的对应位置上的质点位移相乘,再乘以该质点的质量,然后将各质点所求出的上述乘积作代数和,其值等于零.,（3）求解多质点弹性体系,Xi(t),设不考虑阻尼影响，根据叠加原理，可写出质点mi的位移表达式：,可以写成下面的形式：,—单位力F=1作用在质点k上，质点i产生的水平位移， 称为柔度系数对于n个质点的体系，线性微分方程组的通解可写成：,单质点体系在谐波的作用下的振型称为基本振型由上式可知，任一地震波都可以分解为若干谐波的叠加，多质点体系按振型分解法计算地震作用时，可以简化为具有基本振型的等效单质点体系进行分析一个多质点体系会有多个振型。
是不是所有振型都需要考虑呢？需要指出的是，实验结果表明，振型越高，阻尼作用所造成的衰减越快，所以通常高振型只在振动初始才比较明显，以后则逐渐衰减。