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1、2.5 向量的应用【教学过程】一、 引入空间向量的运算和平面向量一致，学习空间向量可帮助我们将许多立体几何问题化成简单的代数式，比如要求空间当中一条线段的长度可借助向量的模来求算，要判断两条直线之间的位置关系也可以借助两向量的夹角。二、 概念分析向量的数量积 大小aa =|a|2，位置ab ab=0三、 例题讲解例1证明以圆的直径为一边的圆内接三角形是直角三角形OABC图15-6分析 如图15-6，只需证明=0证明 设O半径为r,连结半径OA因为 ， ，,所以 （）(） r2r20因此ABAC，所以ABC是直角三角形例2即得 c2=a2+b2如图15-7，已知ABCD-A1B1C1D1为长方体
2、，棱长AB=a, AD=b, AA1=c，AC1、CA1是其两条对角线求证：若AC1CA1，则c2=a2+b2图15-7ABCDA1B1C1D1证明 因为 AC1CA1，所以=0=+，=+， =(+)(+)=+因为=-, =-, =，故=-|2-|2+|2=-a2-b2+c2=0 即得 c2=a2+b2例3如图15-8，在两个互相垂直的平面a和b 的交线上有两个点A、B，ACa且ACAB，BDb且BDAB已知AB=AC=1, BD=，求线段CD的长解 ，所以 =由两平面垂直的性质知，AC平面b，所以ACBD，=0又由条件知=0, =0所以 =1+1+2=4所以CD2四、 课堂练习1. 证明菱形的对角线互相垂直2. 已知A,B是120的二面角a- l -b棱l上的两点，线段AC，BD分别在面a, b内，且ACl，BDl已知AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长【小结】课堂小结：本节课我们运用向量的数量积形式来计算空间当中线段的长短与位置，直接通过向量的加和形式来表示空间中的线段，最后经由简单的代数运算即可判断出大小与位置关系，此种方法在某些复杂的立体结构中会显得比立体几何的方法更加的简单。2
